Le barycentre dans le plan pdf

www.etude-generale.com 1ère S Matière : Mathématiques

Professeur : Yahya MATIOUI

Le barycentre dans le plan

Barycentre de deux points pondérés

Point pondéré

Soit Aun point du plan et aun nombre réel. Le couple (A; a)s’appelle unpoint pondéré, et le réel a s’appelle la masse du point A.

Propriété et dé…nition 1 Soit(A; a)et(B; b)deux points pondéré du plan tels quea+b6= 0. Il existe un unique pointG véri…ant: aGA!+bGB!=!0:Le pointG s’appelle le barycentre des points pondérés (A; a) et (B; b):

Remarque 2 Le point G s’appelle aussi le barycentre du système pondéréf(A; a) ; (B; b)g: Démonstration 3 .

Soit (a; b)2R²:

aGA!+bGB! = !0

() aGA!+b GA!+AB! =!0 () aGA!+bGA!+bAB!=!0 () (a+b) !

GA+b ! AB =!0 () (a+b)AG!=bAB! Si a+b 6= 0 alors l’équation équivaut à: !

AG= _a+b^b !

AB: Le point G est unique.

Sia+b = 0alors l’équation équivaut à:bAB!=!0:Cette équation n’admet pas de solution si A6=B et 6= 0 et en admet une in…nité si A=B ou = 0:

Exemple 4 Deux points A et B étant données, palcer G le barycentre du système pondéré f(A;2) ; (B;1)g:

On a G est le barycentre du système pondéré f(A;2) ; (B;1)g: 2GA!+GB! = !0

() 2 ! GA+ !

GA+ ! AB=!0 () 3 !

GA+ ! AB=!0 () !

AG= 1 3

AB! Alors on a

A G B

Propriétés du barycentre de deux points

Homogénérité :

Propriété 5 Si G est le barycentre de (A; a) et (B; b) alors G est aussi le barycentre de (A; ka) et (B; kb) pour tout réel k non nul.

Démonstration 6 Soit G le barycentre du système pondéré f(A; a) ; (B; b)g: Soit k2R :

aGA!+bGB! = !0

() k aGA!+bGB! =k:!0 () ak !

GA+bk ! GB =!0:

Donc G est aussi le barycentre de (A; ka) et (B; kb) pour tout réel k non nul.

Propriété caractéristique :

Propriété 7 Soit (A; a) et (B; b) deux points pondéré du plan tels que : a+b6= 0: G est le barycentre des deux points pondérés (A; a) et (B; b) si et seulement si pour tout point M du plan on a :

aM A!+bM B!= (a+b)M G! Démonstration 8 Soit M 2(P):

aM A!+bM B! = a M G!+GA! +b M G!+GB!

= aM G!+aGA!+bM G!+bGB!

= (a+b) !

M G+a !

GA+b !

| {z GB}

=!0

= (a+b)M G!

Exemple 9 Soit G le barycentre du système pondéré f(A;2) ; (B;5)g: Exprimer ! AG en fonction de AB:!

On applique la propriété caractéristique, pour tout point M du plan on a 2M A!+ 5M B!= (a+b)M G!

Si M =A alors

5 !

AB = 7 !

AG () !

AG= 5 7

AB!

Exemple 10 Soit E; F et K trois points du plan tels que : !

F K = ¹₃ ! F E:

1. Déterminer deux réels et pour que K soit le barycentre de (E; ) et (F; ):

2. Déterminer le réel x pour que K soit le barycentre de (E; 2) et (F; x): On cherche et :

On a

F K! = 1 3

F E! () F K!= 1

3

F K!+KE! () F K! 1

3

F K!= 1 3

KE! () 2

3

F K! 1 3

KE!=!0 () 2KF!+KE!=!0:

Puisque (2 + 16= 0) alors K est le barycentre de (E;1) et (F;2) d’où = 1 et

= 2:

On cherche x pour que K soit le barycentre de (E; 2) et (F; x):

On a K est le barycentre de (E;1) et (F;2) donc K est aussi le barycentre de (E; 2)et(F 4):(On a multiplié les coe¢ cients par un même réel non nul ( 2)); d’où x= 4:

Barycentre de trois points pondérés

Les dé…nitions et propriétés du paragraphe précédent s’étendent au cas de trois points pondérés.

Propriété et dé…nition 11 .

Soit (A; a) , (B; b) et (C; c) trois points pondérés tels que : a+b+c6= 0: Il existe un et un seul point G véri…ant : a !

GA+b !

GB+c ! GC =!0:

Le point G s’appelle le barycentre des points pondérés (A; a) , (B; b) et (C; c): Démonstration 12 La démonstration est identique au cas de deux points.

Exemple 13 On considère les pointsA; B, C et D tels que : !

AD= ¹₂ !

AB ²₃ !

AC; détermi- nons les réels a; b et c tels queD soit le barycentre de (A; a) , (B; b) et (C; c):

On a

AD! = 1 2

AB! 2 3

AC! () AD!= 1

2

AD!+DB! 2 3

AD!+DC! () AD!= 1

2

AD! 2 3

AD!+ 1 2

DB! 2 3

DC! () AD!= 1

6

AD!+1 2

DB! 2 3

DC! () 7

6

AD! 1 2

DB!+2 3

DC!=!0 () 7AD! 3DB!+ 4DC!=!0 () 7DA!+ 3DB! 4DC!=!0:

Puisque (7 + 3 46= 0) alors D est le barycentre des points (A;7) , (B;3) et (C; 4): Donc a = 7, b= 3 et c= 4:

Exemple 14 SoitABC un triangle etG un point tel que: 2 !

AC = 3 !

AG !

GB: Montrer que G est le barycentre des points (A;1); (B;1) et (C;2):

On a

2AC! = 3AG! GB!

() 2 AG!+GC! = 3AG! GB! () 2 !

AG+ 2 !

GC = 3 !

AG !

GB () AG!+ 2GC!+GB!=!0 () GA!+GB!+ 2GC!=!0:

Puisque (2 + 1 + 2 6= 0); donc G est le barycentre des points pondérés (A;1); (B;1) et (C;2):

Propriétés

Propriété de l’homogénéité 15 Si G est le barycentre des points pondérés (A; a), (B; b) et (C; c) alors pour tout réel k non nul G est aussi le barycentre des points pondérés(A; ka) , (B; kb) et (C; kc):

Propriété caractéristique 16 Soit(A; a), (B; b)et (C; c)des points pondérés du plan tels que a+b+c 6= 0 et G un point du plan. G est le barycentre des points pondérés (A; a) , (B; b) et (C; c) si, et seulement si, pour tout point M du plan on a :

aM A!+bM B!+cM C!= (a+b+c)M G:!

Exemple 17 Soit ABC un triangle rectangle isocèle enA: Déterminer ( ), l’ensemble des points M du plan tels que :

M A!+M B!+ 2M C! = 4

Soit M un point du plan.

On cherche à réduire l’expression de gauche et puisque ( 1 + 1 + 26= 0) alors en intro- duisant le point G barycentre des points (A; 1), (B;1) et (C;2), on a alors

M A!+ !

M B+ 2 !

M C = ( 1 + 1 + 2) !

M G= 2 ! M G donc

2M G! = 4 d’où

M G= 2:

Ceci signi…e que l’ensemble ( ) est donc le cercle de centre G et de rayon 2cm. Pour tracer( ), il faut d’abord placerG puis déterminer si le cercle passe par un point particulier.

Associativité du barycentre

Propriété 18 Soit(A; a), (B; b)et(C; c)des points pondérés du plan tels que:a+b+c6= 0 et a+b6= 0.

Si G est le barycentre des points(A; a) , (B; b) et (C; c) et H est le barycentre des points (A; a) et (B; b), alorsG est le barycentre des points (H; a+b) et (C; c):

Démonstration 19 On suppose que :

G est le barycentre des points (A; a) , (B; b) et (C; c): H est le barycentre des points (A; a) et (B; b):

Alors

(a+b) !

GH +c !

GC = !0

() aGH!+bGH!+cGC!=!0

() a GA!+AH! +b GB!+BH! +cGC!=!0 () aGA!+aAH!+bGB!+bBH!+cGC!=!0 () a !

GA+b !

GB+c !

| {z GC}

=!0

+a !

AH+b !

| {z BH}

=!0

=!0

() !0:

Ceci signi…e que G est le barycentre des points (H; a+b) et (C; c): Exemple 20 Soit ABC un trinagle

G le barycentre des points pondérés (A; 2) ; (B;3) et (C;3); K le barycentre des points pondérés (A; 2) et (B;3);

H le barycentre des points pondérés (A; 2) et (C;3);

I le milieu du segment [BC]:

Montrer que G est le barycentre de (K;1) ; (C;3)et que G est le barycentre de (B;3) ; (H;1)et G est le barycentre de (A; 1) et (I;3):

On aK est le barycentre des points pondérés(A; 2)et(B;3);etGest le barycentre de(A; 2) ; (B;3)et (C;3):D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre des points pondérés (K;1)et (C;3):

De même on aH est le barycentre des points pondérés (A; 2)et (C;3); et Gest le barycentre de(A; 2) ; (C;3) et(B;3):D’après l’associativité du barycentre on en déduit queG est le barycentre des points pondérés (H;1) et (B;3):

I est le milieu de [BC], donc I est le barycentre de (B;1) et (C;1) donc I est aussi le barycentre de (B;3) et (C;3) et comme G est le barycentre de (A; 2) ; (B;3) et (C;3); donc d’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre des points pondérés (I;6) et (A; 2): D’où G est le barycentre de (A; 1) et (I;3):

Remarque 21 Si a =b =c, alors le barycentre des points pondérés (A; a), (B; b) et (C; c) est appelé l’isobarycentre des points A; B et C. C’est le centre de gravité du triangle ABC:

Barycentre de quatre points pondérés

On dé…nit le barycentre de quatre points et ses propriétés comme la dé…nition et les propriétés de barycentre de trois points.

Exemple 22 Soit ABCD un quadrilatère.

Montrer que les points (A; 1); (B;3) ;(C;1) et (D;1) admettent un barycentre.

Le barycentre des points pondérés existe si et seulement si la somme des coe¢ cients est non nulle.

On a( 1 + 3 + 1 + 16= 0)donc le barycentre des points(A; 1); (B;3);(C;1)et(D;1) existe.

D’une façon génerale. On appelle barycentre des points pondérés (A; a) ; (B; b) ; (C; c)et (D; d) le pointG dé…ni par :

a !

GA+b !

GB+c !

GC +d !

GD =!0 avec a+b+c+d6= 0

Coordonnées du barycentre

Le plan est rapporté à un repère O;!i ;!j , soit (A; a); (B; b); (C; c) et (D; d) des points pondérés. Soit A(x_A; y_A); B(x_B; y_B); C(x_C; y_C) etD(x_D; y_D):

Coordonnées du barycentre de deux points pondérés

Propriété 23 Si G est le barycentre des points pondérés (A; a) et (B; b), alors les coordon-

nées de G sont : 8

<

:

x_G= ^axA_a+b^+bxB y_G= ^ayA_a+b^+byB Démonstration 24 Soit M 2(P):

On a

aM A!+bM B!= (a+b)M G! en particulier pour M =O: Donc

aOA!+bOB!= (a+b)OG! de plus

OG!= a a+b

OA!+ b a+b

OB!

les coordonnées de !

OA sont x_A

y_A et les coordonnées de !

OB sont x_B y_B : On en déduit que les coordonnées de OG! sont

axA

a+b +^bx_a+b^B

ayA

a+b +_a+b^byB c’est-à-dire

axA+byB

ay_Aa+b+by_B a+b

:

Exemple 25 Soit A(2;3) et B( 1;5), les coordonnées du point G barycentre des points pondérés (A;4) et (B; 3) sont

x_G= 4x_A 3x_B

4 3 = 11 et y_G = 4y_A 3y_B

4 3 = 3

donc

G(11; 3):

Exemple 26 On donne les pointsA(1;3)etB(2;1). Déterminer les coordonnées des points M barycentre des points pondérés (A; 1) et (B;3):

Les coordonnées du point M barycentre de (A; 1) et (B;3) sont x_M = x_A+ 3x_B

1 + 3 = 5

2 et y_M = y_A+ 3y_B 1 + 3 = 0 donc

M 5 2;0 :

Coordonnées du barycentre de trois points pondérés

Propriété 27 Si G est le barycentre des points pondérés (A; a); (B; b) et (C; c) alors les coordonnées de G sont : 8

<

:

x_G= ^axA+bx_a+b+c^B+cxC y_G = ^ayA+by_a+b+c^B+cyC

Démonstration 28 La démonstration est identique au cas de deux points.

Exemple 29 SoitA(1;1)et B(2;5)et C( 1;0)les coordonnées du point G barycentre des points pondérés (A;2) ; (B; 1) et (C;4)sont

x_G = 2x_A x_B+ 4x_C

2 1 + 4 = 4

5 et y_G = 2y_A y_B+ 4y_C

2 1 + 4 = 3 5 Donc

G 4

5 ; 3 5 :

Coordonnées du barycentre de quatre points

Propriété 30 SiG est le barycentre des points pondérés(A; a); (B; b); (C; c)et (D; d)alors les coordonnées de G sont : 8

<

:

x_G = ^axA+bx_a+b+c+d^B+cxC+dxD y_G = ^ayA+by_a+b+c+d^B+cyC+dyD

Exemple 31 Soit A( 2;1) et B(0; 3); C(1; 1) et D( 3; 2) les coordonnées du point G barycentre des points pondérés A;¹₂ ; (B;2) ; (C;1) et (D; 1;5) sont

x_G =

1

2x_A+ 2x_B+x_C 1;5x_D

1

2 + 2 + 1 1;5 = 9

4 et y_G =

1

2y_A+ 2y_B+y_C 1;5y_D

1

2 + 2 + 1 1;5 = 7 4 Donc

G 9 4; 7

4 :

Barycentre de n points

On peut généraliser la notion de barycentre à n points distincts.

On appelle barycentre des points pondérés (A₁; a₁), (A₂; a₂),:::,(An; a_n) le point G dé…ni par :

a₁GA!₁+a₂GA!₂+:::+a_nGA!_n =!0 aveca₁+a₂+:::+a_n6= 0

SiGest le barycentre des points pondérés(A₁; a₁),(A₂; a₂),:::,(An; a_n)alors pour tout réel knon nulGest aussi le barycentre des points pondérés(A₁; ka₁),(A₂; ka₂),:::,(An; ka_n):

Pour tout pointM du plan.

a₁M A!₁+a₂M A!₂+:::+a_nM A!_n = (a₁+a₂ +a₃+:::+a_n)M G! Dans le cas d’un repère du plan, on obtient :

8>

<

>:

x_G = ^a1xA1_a^{+a2xA2+:::+anxAn}

1+a2+:::+an

x_G= ^a1yA1_a^{+a2yA2+:::+anyAn}

1+a2+:::+an

FIN

Pr : Yahya MATIOUI

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