A
B
C I
J
K G
A
B
C E
D C'
B' ABC est un triangle. I, J et K les points tels que IB→→→→ = -1
2 IC→→→→ , JA→→→→ = -2
3 JC→→→→ , KB→→→→ = -3 4 KA→→→→ , Montrer que les droites (KC), (AI) et (BJ) sont concourantes.
Construction : IB→ = -1
2 IC→⇔ 2IB→ + IC→ = o→ donc I est le barycentre de (B,2)(C,1) et BI→ = 1 3 BC→ (pour la construction) JA→ = -2
3 JC→ ⇔ 3JA→ + 2JC→ = o→ donc J est le barycentre de (A,3)(C,2) et AJ→ = 2 5 AC→ KB→ = -3
4 KA→ ⇔ 4KB→ + 3KA→ = o→ donc K est le barycentre de (A,3)(B,4) et AK→ = 4 7 AB→ Recherche :
si (KC), (AI) et (BJ) sont concourantes, elles le sont en un point G barycentre des points A, B et C.
soit G barycentre de (A, ? )(B, ? )(C, ? )
recherche des coefficients : il faut (A,3)(B,4)(C,?) pour introduire le barycentre partiel K il faut (A,3)(B,?)(C,2) pour introduire le barycentre partiel J il faut (A,?)(B,2)(C,1) pour introduire le barycentre partiel I démonstration :
soit G barycentre de (A,3)(B,4)(C,2) ; G existe car 3+4+2 ≠ 0
1. K est le barycentre de (A,3)(B,4) donc G est le barycentre de (K,7) et (C,2) d’où G ∈ (KC) 2. J est le barycentre de (A,3)(C,2) donc G est le barycentre de (J,5) et (B,4) d’où G ∈ (BJ)
3. I est le barycentre de (B,2)(C,1) donc de (B,4)(C,2) donc G est le barycentre de (I,6) et (A,3) d’où G ∈ (AI) G étant sur les 3 droites, (KC), (AI) et (BJ) sont concourantes en G.
ABC est un triangle. E barycentre de (B,2)(C,1), D barycentre de (A,3)(B,2),
C’ milieu de [AB], B’ milieu de [AC]. Montrer que les droites (CD), (AE) et (B’C’) sont concourantes.
Construction :
E est le barycentre de (B,2), (C,1) donc BE→ = (1/3)BC→ D est le barycentre de (A,3)(B,2) donc AD→ = (2/5)AB→
C’ est le milieu de [AB] donc C’ est le barycentre de (A,2) (B,2) B’ est le milieu de [AC] donc B’ est le barycentre de (A,1) (C,1) recherche :
si (CD), (AE) et (B’C’) sont concourantes, elles le sont en un point G barycentre des points A, B et C.
soit G barycentre de (A, ? )(B, ? )(C, ? )
recherche des coefficients : il faut (A,3)(B,2)(C,?) pour introduire le barycentre partiel D il faut (A, ?)(B,2)(C,1) pour introduire le barycentre partiel E
on aura alors (A,2)(A,1)(B,2)(C,1) pour introduire les barycentres partiels C’ et B’
Démonstration :
Soit G le barycentre de (A,3)(B,2)(C,1).
G est le barycentre de [(A,3)(B,2)](C,1) donc de (D,5)(C,1) donc G ∈ (DC) G barycentre de (A,3)[(B,2)(C,1)] donc de (A,3)(E,3) donc G ∈ (AE)
G barycentre de [(A,2)(B,2)][(A,1)(C,1)] donc de (C’,2)(B’,2) donc G ∈ (B’C’)
D est barycentre de A et B avec quels coefficients ? I est barycentre de C et D avec quels coefficients ? En déduire que I est barycentre de A, B et C.
D’après la figure : 2DA→ + DB→ = o→ donc D barycentre de (A,2)(B,1) 3IC→ + ID→ = o→ donc I barycentre de (C,3)(D,1) I barycentre de (C,3)(D,1) donc de (C,9)(D,3) donc de (C,9)(A,2)(B,1)
B D
A
I C
