Fiche 1

ECE2 Fiche 1 : pr´ eparation aux parisiennes

Exercice 1.

[HEC 1994]

Pour tout entiernon notefn la fonction d´efinie sur [0,1] par :

f_n(x) = Z x

0

e^nt2dt− Z 1

x

e^−nt2dt.

1. (a) Montrer quefn est d´erivable sur [0,1].

(b) ´Etudier le sens de variation de fn.

2. Montrer qu’il existe un unique r´eelcn de [0,1] tel que : Z cn

0

e^nt2dt= Z 1

c_n

e^−nt2dt

et donner la valeur dec₀.

3. On consid`ere la suite (c<sub>n</sub>)<sub>n≥0</sub> d´efinie `a la question pr´ec´edente ; montrer qu’elle est d´ecroissante et qu’elle converge vers une limite` appartenant `a [0,1].

4. (a) Montrer que pour tout nombre r´eel fix´erde ]0,1],

n→+∞lim Z r

0

e^nt2dt= +∞

(On pourra prouver que e^x≥x)

(b) Montrer que pour tout entier naturelnon a Z 1

cn

e^−nt2dt≤1.

(c) En d´eduire la valeur de`.

Exercice 2.

[ESSEC Maths III 1995]

On d´esigne parnun entier naturel non nul et l’on se propose d’´etudier les racines positives de l’´equation suivante que l’on note (E_n)

e^x=xⁿ A cet effet, on introduit la fonction` fn d´efinie par

fn(x) = 1−xⁿe^−x. 1. Etude des racines positives des ´equations (E₁) et (E₂)

(a) ´Etudier et repr´esenter sur [0,+∞[ les fonctionsf1et f2.

(b) ´Etudier l’existence de racines positives pour les ´equations (E1) et (E2).

On rappelle que 2< e <3.

2. Etude des racines positives de l’´equations (E3) (a) ´Etudier et repr´esenter sur [0,+∞[ la fonctionf₃.

On donne les valeurs approch´ees :e²'7,4; e³'20,1; e⁴'54,6; e⁵'148,4

En d´eduire que l’´equation (E3) admet deux racines positivesuet v telles que 1< u < v, et encadrer chacune d’elles par deux entiers cons´ecutifs.

(b) Soit la suite (yn) d´efinie par la condition initialey0∈Ravecy0> uet la relation y_n+1= 3 ln(y_n)

i. Montrer que siu < y0≤v, alors pour toutn∈N, u < yn≤v.

ii. Montrer que siv≤y0, alors pour toutn∈N, v≤yn.

iii. ´Etudier le signe deyn+1−yn en fonction du signe deyn−y_n−1.

iv. En d´eduire selon la position dey0par rapport `av,le sens de variation de la suite (yn). v. ´Etudier la convergence et la limite de la suite (yn)

(c) On choisit d´esormaisy₀= 4

i. Ecrire en Scilab un algorithme permettant le calcul de y_n pour un entierndonn´e.

ii. Etablir pour toutn∈Nque

0≤v−y_n+1≤0,75(v−y_n) puis que

0≤v−yn ≤(0,75)ⁿ

iii. Comment suffit-il de choisirnpour quey_n constitue une valeur approch´ee dev `a 10<sup>−5</sup> pr`es ? iv. Ecrire en Scilab un algorithme permettant le calcul d’une valeur approch´ee dev `a 10<sup>−5</sup> pr`es.

3. Etude des racines positives de l’´equation (E_n) pour n≥3.

(a) Etudier sur [0,+∞[ la fonctionfn.En d´eduire que l’´equation (En) admet deux racines positivesun etvn telles que

1< u_n < v_n

(b) D´eterminer pourn≥4,le signe defn(u_n−1). D´eduire des variations de la fonctionfn,le sens de variation de la suite (un) puis prouver la convergence de celle-ci.

(c) Montrer que

u_n=e^unn En d´eduire la limiteLde la suite (un), puis montrer que lim

n→+∞n(un−L) = 1.

(d) D´eterminer, pourn≥4 le signe defn−1(vn).D´eduire des variations de la fonctionfn,le sens de variation de la suite (vn),puis ´etudier la limite de celle-ci.

(e) On pose pour tout r´eelx >1 :

g(x) =x−ln (x) i. Montrer queg r´ealise une bijection de ]1,+∞[ sur ]1,+∞[.

ii. Etablir queg(v_n/n) = ln (n),montrer `a l’aide deg⁻¹(bijection r´eciproque deg) quev tend vers +∞,puis montrer que

n→+∞lim vn

nln(n)= 1