MPSIA 2012/2013 Programme de colles de math´ematiques, semaine 17 (du lundi 18 au vendredi 22 f´evrier) lyc´ee Chaptal
Formules de Taylor
Formule de Taylor-Young `a l’ordren ena∈I pour une fonction de classe Cn sur I. Exemples avec les fonctions usuelles `a diff´erents ordres ena= 0.
Formule de l’´egalit´e de Taylor-Lagrange `a l’ordre n pour une fonction de classe Cn+1. In´egalit´e.
Application m´ethode de Newton d’approximation d’un z´ero d’une fonction. Majo- ration de l’erreur.
D´ eveloppements limit´ es
I. D´ eveloppement limit´ es en 0 (1) : d´ efinition
D´efinition, unicit´e du d´eveloppement limit´e (D.L.) `a l’ordrenen 0 d’une fonction.
Application fondamentale : recherche d’´equivalents.
Exemples fondamentaux : 1−x1 et les fonctions usuelles par Taylor-Young : ex, ln(1 +x), sin(x), cos(x), (1 +x)α, etc. . .
II. D´ eveloppements limit´ es en 0 (2) : m´ ethodes d’obtention
Op´erations sur les D.L : sommes, produits, inverses, quotients, D.L d’une primitive.
Exemples pratiques d’obtention de D.L par composition.
III. D´ eveloppements limit´ es autres qu’en 0
D´efinition et m´ethodes d’obtention de D.L. en a ∈ R et en ±∞. Exemples de d´eveloppements asymptotiques.
IV. Applications
Exemples de calculs d’´equivalents.
Recherche de la tangente en un point d’une courbe, position par rapport `a cette tangente. Exemple d’´etude d’un point singulier : position locale d’une courbe pa- ram´etr´ee.
Comportement asymptotique : recherche d’asymptotes ´eventuelles et position de la courbe par rapport `a ces asymptotes.
Fonctions convexes
D´efinition, interpr´etation g´eom´etrique.
In´egalit´e de convexit´e g´en´eralis´ee (ou de Jensen). Application : in´egalit´e arithm´etico-g´eom´etrique.
Lien entre la convexit´e et taux d’accroissement.
Lien entre la convexit´e et les d´eriv´ees dans le cas d’applications de classeC1,C2. Positions relatives de la courbe repr´esentative d’une fonction convexe et de ses tangentes.
Questions de cours
Q1. D´emonstration de la formule de Taylor-Lagrange.
Q2. Expos´e de la m´ethode de Newton de calcul approch´e d’un z´ero d’une fonction : calcul de la valeur approch´ee, interpr´etation qualitative de l’approximation.
Majoration de l’erreur commise, interpr´etation quantitative.
Q3. Calculer le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 5 en 0 dex7→ 1 cos(x). Q4. Calculer le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 5 en 0 dex7→tan(x).
Q5. Calculer le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 en 0 dex7→esin(x). Q6. D´eterminer les asymptotes def :x7→q
x3 x−1.
Q7. D´eterminer un d´eveloppement asymptotique (2 termes significatifs au moins) de la suite (xk) o`u pour tout naturelk,xk est l’unique solution de l’´equation x+ ln(x) =k.
Q8. D´emontrer l’in´egalit´e de convexit´e g´en´eralis´ee (ou de Jensen) : sif est convexe sur un intervalle I, si n ∈ N∗, x1, ..., xn ∈ I et α1, ..., αn ∈ [0,1] tels que
n
P
k=1
αk = 1, alorsf(
n
P
k=1
αkxk)6
n
P
k=1
αkf(xk).
Q9. D´emontrer l’in´egalit´e arithm´etico-g´eom´etrique.
Q10. Enoncer et d´´ emontrer une condition n´ecessaire et suffisante portant sur les taux d’accroissements def pour quef soit convexe surI.
A venir : alg`` ebre lin´eaire.
