Feuille de TD 3 : Distributions - Op´ erations et convolution

Institut Galil´ee 2010-2011 Fili`ere MACS2

Math´ematiques, Th´eorie G´en´erale I

Feuille de TD 3 : Distributions - Op´ erations et convolution

Exercice 1

SoitH la fonction indicatrice deR+. 1. a. Montrer queH⁰ =δ₀ dansD⁰(R).

b. Montrer que (log|x|)⁰= vp _x¹

dansD⁰(R).

c. Montrer que, dansD⁰(R), vp

1 x

0

= lim

ε→0

Z

|x|>ε

ϕ(x)

x² dx−2ϕ(0) ε

!

= Pf 1

x²

.

2. Soit m ∈ N. Calculer les d´eriv´ees successives dans D⁰(R) de la fonctionx7→ ^x_m!^mH(x).

Exercice 2

1. Montrer quexvp ¹_x

= 1.

2. SoitT ∈ D⁰(R) telle quexT = 0.

a. Soit ϕ∈C₀^∞(R) telle que ϕ(0) 6= 0. D´emontrer qu’il existe une constante Cϕ telle que, pour toute fonction φ∈C₀^∞(R) ´egale `a 1 sur le support deϕ,C_ϕ=< T, φ >.

b.Montrer que si,ϕet ˜ϕsont deux fonctions dansC₀^∞(R) telles que ϕ(0)6= 0 et ˜ϕ(0)6= 0, alorsCϕ=Cϕ˜.

c. En d´eduire toutes les solutions de l’´equationxT = 0.

3. R´esoudre l’´equationxT = 1.

4. SoitT ∈ D⁰(R). Montrer que (sinx)T = 0 si et seule- ment s’il existe une suite (cn)_n∈Z de nombres complexes telle que,

T =X

n∈Z

cnδnπ.

Exercice 3

1. SoitT ∈ D⁰(R). Calculer (xT)⁰.

2. R´esoudre, dansD⁰(R), l’´equation diff´erentielle : xT⁰+T = 0.

Exercice 4

On note T_n, pour tout n ∈ N, la distribution associ´ee

`

a la fonction localement int´egrablet7→ ^sin(nt)_πt . Montrer que la suite (Tn)_n∈N converge dansD⁰(R) vers la distri- bution δ0. Indication : on pourra se servir de l’identit´e R∞

0 sint

t dt= ^π₂.

Exercice 5

Montrer que la suite de distributions (Tn)n≥1d´efinie par :

∀n≥1, Tn=n(δ¹

n −δ₋¹

n),

converge dansD⁰(R). L’ordre de la limite d’une suite de distributions d’ordremest-il toujoursm?

Exercice 6

Calculer les limites, dans D⁰(R), des suites de distribu- tions suivantes :

A_n= sin(nx), B_n =ng(nx) o`ug∈L¹(R),

C_n= 1 n

n−1

X

p=0

δ^p

n, D_n=e^inxvp 1

x

.

Exercice 7

1.Calculerδ₀⁰ ? δ⁰₀pour δ₀∈ D⁰(R).

2.Soient a, b∈R. Calculerδ_a⁰ ⊗δ⁰_b dansD⁰(R²).

3. SoitT ∈ D⁰(R). Montrer qu’il existe une distribution E∈ D⁰(R), `a support compact, telle queE ? T =T<sup>(k)</sup>. 4.SoientT etSdansD<sup>0</sup>(R),S´etant suppos´ee `a support compact. Pourn∈N, on d´esigne par Xⁿ la fonction de RdansR,x7→xⁿ. D´emontrer la formule suivante :

Xⁿ(T ? S) =

n

X

k=0

C_n^k(X^kT)?(X^n−kS).

Exercice 8

On noteD⁰₊(R) = {T ∈ D⁰(R); supp T ⊂[0,+∞[}. Soit χ∈C^∞(R) telle que,χ= 1 sur ]−¹₂,+∞[ etχ= 0 sur ]− ∞,−1[.

1.a. Soitϕ∈C₀^∞(R). Montrer que l’application ϕ^∆: (x, y)7→χ(x)χ(y)ϕ(x+y),

est dansC₀^∞(R²).

b.Soient T, S∈ D₊⁰ (R). On d´efinit

< T ? S, ϕ >=< Tx⊗Sy, ϕ^∆> .

Montrer que T ? S est bien d´efinie et est ind´ependante du choix deχ.

c.Montrer que T ? S∈ D₊⁰ (R).

2. On dit que T ∈ D⁰₊(R) est inversible, s’il existe S∈ D⁰₊(R) telle queT ? S =δ0. On noteS=T⁻¹. a.Montrer queδ⁰₀ est inversible et calculer son inverse.

b. Montrer que, siT ∈C₀^∞(]0,+∞[),T n’est pas inver- sible.

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