Chapitre 4 : « Théorème de Thalès ; agrandissement et réduction »

Chapitre 4 : « Théorème de Thalès ; agrandissement et réduction »

I Théorème de Thalès (version 4 )

1/ Activité

Objectif

• Rappel : dans un triangle, si une droite est parallèle à un côté et elle passe par le milieu d'un deuxième côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.

• Mais, que se passe-t-il, lorsque la parallèle ne passe plus par le milieu ? Comment traduire cette propriété de parallélisme ?

Cas particulier

Construis un triangle ^ABC tel que AC=6 cm ; AB=4 cm et ^{BC=7 cm}. M est un point de [AC] tel que ^{AM=1,5 cm}. Trace la parallèle à BC passant par M. Elle coupe

[AB] en ^N.

En plaçant M à 1,5cm de A, on a placé M au quart de _AC puisque _1,5×4=6. On remarque que cette proportion est la même pour le point N et AB :

AN=1 cm et _{1×4=4 cm}.

Autrement dit : AN AB=1

4 et AM AC =1,5

6 =1

4 donc AN AB=AM

AC .

Mais, on remarque que NM est environ le quart de BC : 1,7×4 est proche de 7 . Finalement : AN

AB=AM

AC =NM BC .

2/ Énoncé du théorème

Configuration du théorème de Thalès

C'est la figure dans laquelle on peut appliquer le théorème : « Deux demi-droites de même origine et deux droites parallèles »

Théorème de Thalès

Si [AB et [AC sont de même origine et si MN et BC sont parallèles alors AM

AB =AN AC=MN

BC ou AB AM =AC

AN= BC MN .

Exemples

• Configuration : [KD et [KR sont de même origine, AB et DR sont parallèles.

• Quotients de Thalès : KA

KD=KB KR= AB

DR

• Configuration : [UM et [UO sont de même origine, YA et MO sont parallèles.

• Quotients de Thalès : UY

UM =UA UO= YA

MO

Point méthode

• Le schéma fléché ci-contre permet de retrouver les quotients de Thalès :

AM AB =AN

AC=MN BC

• Dans les deux premiers quotients, il y a A l'origine commune des deux demi-droites.

Dans le dernier quotient, on retrouve les points des deux premiers quotients sans le A.

3/ Exemple d'application

On considère la configuration suivante. Les lon­

gueurs sont en centimètre. L'objectif est de calcu­

ler la longueur manquante _AB.

• 1 ^ère étape : « On décrit la configuration de Thalès »

[AB et [AC sont de même origine. MN et BC sont parallèles.

• 2 ^ème étape : « On donne les quotients en citant Thalès » D'après le théorème de Thalès, on a les quotient suivants :

AM AB =AN

AC=MN BC

• 3 ^ème étape : « On remplace par les valeurs numériques » 2

AB=3 8=MN

BC

• 4 ^ème étape : « On fait les calculs avec les deux quotients utiles » 2

AB=3 8

3×AB=2×8 (c'est le produit en croix, voir la suite du cours) 3×AB=16 (Dans ¹⁶ combien de fois 3 , c'est 16÷3)

AB=16 3

AB≈5,3 cm (Arrondi au millimètre près)

4/ Méthodes de calcul sur les quotients

Produits en croix

a, ^b, c et d représentent quatre nombres non nuls.

Si a b=c

d alors a×d=b×c (ou _ad=bc) Remarque

Deux quotients égaux se transforment en deux produits égaux.

Exemples d'utilisation

Résoudre les équations suivantes 3

x=5 7 3×7=5×x 21=5x

x=21 5 x=4,2

9 5= y

15 5×y=9×15 5y=135

y=135 5 y=27

3 11=9

t 3×t=9×11 3t=99 t=33

AB 11= 9

22

11×9=AB×22 99=AB×22

AB=99 22 AB=9

2 AB=4,5

5/ A savoir par cœur : les étapes de la rédaction pour appliquer Thalès

• On décrit la configuration.

• On cite « Thalès » d'une façon ou d'une autre.

• On donne trois quotients.

• On remplace par les valeurs numériques.

• Avec deux quotients, on fait le produit en croix.

• On calcule puis on donne le résultat sous la forme d'un quotient. Parfois, on donne une valeur approchée.

Rappels : arrondis d'un nombre décimal

On considère le nombre ≈3,14159265. Il faut savoir que _ a une partie décimale infinie.

On va donner des valeurs approchées de ce nombre .

• A l'unité : pour arrondir à l'unité le nombre , il faut trouver la plus proche valeur à l'unité ; puisque _34 et que ₃ est le plus proche, c'est ₃ l'arrondi à l'unité.

• Au dixième : puisque _{3,13,2} et que _3,1 est plus proche de _, c'est _3,1 l'arrondi au dixième.

• Au centième : _3,14

Application

Donne une valeur approchée au dixième des nombres suivants :

• 12

7 ≈1,7 (la calculatrice _12÷7=1,714285714)

• 4

11≈0,4 (la calculatrice 0,36363636)

II Agrandissement et réduction

Exemple 1

On considère un triangle ABC tel que AB=6 cm, BC=4,2 cm et _{CA=3,5 cm}.

On veut agrandir ce triangle et en construire un autre une fois et demie plus grand. Pour cela, on va multiplier la longueur par 1,5 :

A' B'=6×1,5=9 cm, A' C '=3,5×1,5=5,25 cm et B ' C '=4,2×1,5=6,3cm.

À retenir

Le nombre par lequel on multiplie pour agrandir est appelé coefficient d'agrandissement. Ce coefficient est généralement noté k et il est supérieur à 1 : k1.

Exemple de calcul d'un coefficient d'agrandissement

On cherche « combien de fois 2,5 dans 7 ». La réponse est k= 7

2,5= 7×2 2,5×2=14

5 =2,8 .

Rappel

On obtient des écritures fractionnaires égales en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre : 3,5

4 =3,5×2 4×2 =7

8 ; 8

22= 8÷2 22÷2= 4

11 .

Exemple 2

Soit le triangle IJK tel que ^IJK=80°, IJ=2cm et

JK=4cm. Construis ci-dessous un agrandissement de rapport 1,25 de ce triangle.

Pour construire le nouveau triangle, on multiplie toutes les lon­

gueurs par le coefficient d'agrandissement k=1,25 :

• _AB=1,25×IJ=1,25×2=2,5 cm

• _{BC=1,25×JK=1,25×4=5 cm}

• Puisque _{IK≈4,1 cm} (mesure à la règle), on a AC≈4,1×1,25≈5,2cm

Construisons ABC :

Pour lundi 3/01/2011

Vérification des cahiers de cours

I J I' J'

K K'

2,5 cm 7 cm