Résistance électrique des solénoides pour des courants de haute fréquence - (2 e Note)

HAL Id: jpa-00241249

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00241249

Submitted on 1 Jan 1907

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Résistance électrique des solénoides pour des courants de haute fréquence - (2 e Note)

A. Battelli

To cite this version:

A. Battelli. Résistance électrique des solénoides pour des courants de haute fréquence - (2 e Note). J.

Phys. Theor. Appl., 1907, 6 (1), pp.701-710. �10.1051/jphystap:019070060070101�. �jpa-00241249�

,

Chaque

^tube

représente sensiblement ’

^du

^couple

^{du navire.}

Avec tous les

amortisseurs,

^{le modèle écarté de sa} flottaison droite

s’y

^{arrête de} nouveau au bout due 2 à 3 oscillations au maximum.

Il est bien certain que,

malgré

les résultats

encourageants

^obtenus

sur des

modèles,

^des

expériences

^{à la mer}

pourront

seules déter- miner la valeur

pratique

^{de ce}

procédé.

RÉSISTANCE

ÉLECTRIQUE

^DES SOLÉNOIDES POUR DES COURANTS DE HAUTE

FRÉQUENCE

(2e NOTE)

[Travail

^de l’Institut de Physique ^{de Pise} (Direct. ^A. Battelli)];

Par M A. BATTELLI.

Les considérations

générales

que

j’ai exposées

^{dans une de mes}

notes

précédentes ( ~ )

^me

permettent d’établir,

dans leurs

lignes prin- cipales,

^{les lois}

d’après lesquelles

^les courants de haute

fréquence

^se

distribuent dans la section d’un fil enroulé en solénoïde.

En

pratique,

les solénoïdes sont formés en enroulant un fil mé-

tallique

^à section circulaire sur un

cylindre

^sur

lequel

l’axe du fil forme une hélice de pas ^constant p.

Toutefois,

_pour

plus

^de

simplicité,

^nous supposerons que les dif- férentes

spires

^sont de forme circulaire

parfaite.

^En considérant une

quelconque

^{de ces}

spires, je prends

^{comme axe des la}

tangente

au fil au centre 0

(Iîg. 1)

d’une section méridienne de la

spire. Alors

u _-_ v = o ⁼ p ^et le

problème

^{est réduit à} déterminer w en

fonction de ^x et y.

Dans le

plan

^xy,

je prends

pour ^axe des x la

perpendiculaire

^à

l’axe

PQ

^{du solénoïde et} pour ^axe des _y la

parallèle

^à

PQ.

Désignons

par

y) ^{= o}

une des

lignes

^sur

lesquelles u)

^{= Cte. Il}

s’agit

d’abord de mettre

grossièrement

^{en évidence la forme de ces}

lignes. Evidemment

^elles

(1) ^{J. de} Phys., ^ce volume, p. ^559.

Article published online by EDP Sciences and available at

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019070060070101

702

coïncident avec celles sur

lesquelles

^{la force}

électrique

^{a une valeur}

constante. Or cette dernière se compose de deux

termes,

^{l’un cons-}

tant pour ^tous les

points

du conducteur et dû à la force électromo- trice extérieure

appliquée

^{aux deux} extrémités du

solénoïde,

^et

l’autre variable en même

temps

que ^et y. Ce dernier

représente

^la

FIa. 1.

force électromotrice induite en

chaque point

^{du solénoïde} par le courant variable

qui

circule dans les autres

points

^{de la même}

spire

^{et des}

spires

voisines. Cette force électromotrice induite M

se compose elle-même de deux ^{termes :}

l’un, F~ , dépendant unique-

ment du courant

qui

circule dans la

spire

^à

laquelle appartient

^le

point considéré; l’autre, F2, dépendant

^{du courant}

qui

^{circule dans}

les autres

spires.

^En

indiquant

par p la distance ^d’un

point

^du

conducteur à l’axe du

fil,

^on

peut

^{avoir une}

expression approxi-

mative de

F~ ,

^en admettant pour ^{un moment} que le courant est

703

uniformément distribué autour de l’axe même. Dans ce cas,

F, dépend uniquement

^de p. D’autre

part,

^en

supposant F2 développé

par ^la formule de

Taylor

^{selon les}

puissances

croissantes de x et y, et en

négligeant

^{les termes de}

degré supérieur

^{à on}

peut

poser :

D’autre

part,

pour des raisons de

symétrie,

la valeur de

M,

^et _par

conséquent

^{celle de}

F2,

^{doit rester} invariable

quand

^on

remplace

^y

par ^{- y,} d’où :

J’admets que

l’équation

^des

lignes

^sur

lesquelles

^{la densité u~ du}

courant est constante est

réellement représentée

par ^une

équation

du

type (2),

^{où tous} les coefficients ont une valeur constante sauf

qui

varie d’une

ligne

^{à l’autre.}

Soit maintenant un arc s

qui

^{soit en}

chaque point orthogonal

^{à la}

famille des surfaces s

Ona:

Or, pour l’équation (1),

^{on a :}

En substituant dans

on

^{a :}

Légalité précédente,

^{en se servant des} coordonnées

polaires p

^{et b,}

c’est-à-dire en

posant :

est du

type :

où p et q

^{sont seulement}

^fonctions

^de p.

704

On en tire :

Or,

^en coordonnées

polaires,

^{on a :}

, en outre :

En ne tenant

compte

d’abord que des

points

^{situés sur la surface}

du

conducteur,

pour

lesquels

p ⁼

Cte,

^et par

conséquent,

^{dans le}

passage d’un

point

^à l’autre du contour :

d’où O ^O

Pour de

petites

valeurs de

0,

^{on a :}

Donc,

^en attribuant à s la valeur à zéro au

point

^A

(fl g. 2)

^de

coordonnées _p ⁼ _o, 0 = o.

La

valeur 80

^{de s sur le contour du} conducteur et

près

^{de A est :}

où l’on a fait :

Pour avoir la valeur de _s,

toujours

^au

voisinage

^de

^A,

^{mais à}

l’intérieur du

conducteur, j’abaisse

^du

point

^{P la}

perpendiculaire ^{P P 0}

au contour et

je désigne par ~

la distance

PPo.

^En

développant s

par la formule de

Taylor,

pour des valeurs suffisamment

petites,

^{on a :}

705

Pour calculer

considérons

la surface de densité de courant uni- forme

passant

par

Po,

^{et soit}

Po

^{sa normale au}

point Po.

11 est clair que :

Fm. 2.

D’autre

part,

^on

peut

^retenir

qu’au voisinage

^du

point

^{A les sur-}

faces

d’égale

densité de courant sont

parallèles

^{à l’axe du solénoïde.}

Il en résulte que

près

^du

point

^A

l’angle

Donc :

Qu’on applique

maintenant le résultat

général exprimé

par la for- mule

(10)

établie dans ma

précédente

^{note et}

qu’on

observe que, dans

ce cas, o ^{= w.} En

indiquant

^{par Wo cos wt} la densité du courant au

point A, on

^a pour ^les

points

^{voisins :}

Cette formule donne une idée très claire de la loi

d’après laquelle

706

le courant est distribué dans la section du fil :

l’amplitude

^{de la den-}

sité du courant est :

et, ^{comme on le}

voit,

^cette

amplitude

décroît suivant une loi exponen-

tielle,

^{soit avec} l’accroissement de la distance ~ du

point

^{du contour}

du

conducteur,

^{soit avec}

l’augmentation

de l’azimut 6.

Ces variations de la densité sont d’autant

plus

considérables que la valeur de « est

plus grande

^et, par

conséquent,

que la

fréquence

des courants est

plus

^élevée.

Quant

^{à ce}

qui

^se

rapporte

^aux

points qui

^{ne sont} pas voisins de

A,

^{on ne}

peut

^{affirmer si} la formule

(7)

^{continue à}

s’appliquer rigoureusement.

Qu’on observe, toutefois,

que l’on sait

déjà, a priori, d’après

^ce

qui

^{a été demontré à ce} propos par Wien et par

Sommerfeld, qu’il

^est

superflu

^{de se}

préoccuper

^{de ces}

points,

^car la densité du courant est

pratiquement négligeable.

Comme la formule

(7) s’applique

^{à ce cas,}

j’admettrai,

^{dans la}

suite, qu’elle

^est valable aussi pour les

grandes

valeurs de ~ et de 6.

D’après

^cette

^formule,

^on

peut

^{dire que,} pour de très hautes fré- quences, que le courant reste localisé autour des

points

^{situés le}

plus près

de l’axe du solénoïde. Dans la

figure 3,

^la

partie

^{de la sec-}

tion du fil

qui

^{est utilisée}

pratiquement

pour le passage du ^courant est

parsemée

^de

petits points.

Je _passe maintenant au calcul de

’la

résistance R du solénoïde. En

désignant

par W la chaleur

dégagée

par le ^courant dans le circuit

en une

seconde,

^{on a :}

est l’élément de

volume, w n

la moyenne des valeurs du ^carré de w

pendant

^une

période. L’intégration

^{est étendue à tout le volume}

occupé

par le conducteur.

Soit 1 la longueur

^du

conducteur,

^{et a le} rayon de ^sa section : danc :

On entend dans ce cas que

l’intégration

par

rapport

^{à ~ s’étend de} zéro et celle se

rapportant

^{à 0 de - x à}

+

^x.

707 11 sera aussi

superflu

^de

s’occuper

du deuxième

terme,

c’est-à-dire de En effet il est

négligeable

^{vis-à-vis du}

premier

pour ^les

points qui

^{sont à} peu de distance de

A ;

^au delà de cette

distance, zo 2

^devient

négligeable ^et,

par

conséquent,

^{sans altérer}

notablement les

résultats,

^on

peut

poser :

où,

pour la

(7) :

En

substituant,

^{on obtiont :}

h’IG. 3.

Quant

^{aux limites}

d’intégration,

^{comme il est dit}

plus haut,

^elles

sont 0 ^{et a} pour la

première intégrale,

^{- 7t et}

^{+ 7t}

pour la deuxième.

708

Qu’on

remarque toutefois que les fonctions

intégrantes ^e-2~*À

^et

e2013~.~ tendent

asymptotiquement

^{vers zéro par} l’accroissement de a et de ^{+ 0.} Pour les

fréquences

^très

élevées,

c’est-à-dire pour de

grandes

valeurs de _«, les valeurs de ces fonctions sont sensiblement différentes de zéro que dans le ^{cas où} les valeurs des variables 7, et e sont très voisines de zéro. Il s’ensuit que la valeur des inté-

grales

^en

question

^reste sensiblement

inaltérée,

^{même si on}

prend

comme limites

d’intégration

^{pour la}

première intégrale

^{0 et} oc , ^et pour la deuxième - ^oc et

+

^00.

Il s’ensuit que : ^’

et,

par

conséquent:

D’autre

part,

^en

désignant

par ¹ l’intensité totale du courant, ^{on a :}

oiv dS est l’élément d’aire de la section du

fil,

^{soit :}

Par des considérations

analogues

^{à celles}

indiquées

pour le calcul de

y~,

^{on obtient :}

La valeur moyenne du ^carré de 1 dans le cours d’une

période

^est

donc :

-

-

Le

rapport W donne,

^{comme on le}

sait,

la résistance du conduc-

12

^In

teur On a donc :

où T

désigne

^la

période

^{du courant.}

Si le même fil était étendu en

ligne ^droite,

^on

trouverait,

^selon la formule bien connue de Lord

Rayleigh,

pour ^sa résistance

R’,

^la valeur

et,

par

conséquent :

Le résultat

exprimé

par la formule

(9)

^diffère essentiellement de celui trouvé par

Sommerfeld,

^{et rend}

compte

^{d’une très}

importante

circonstance

qui

^{se vérifie en}

pratique,

c’est-à-dire de la variation du

rapport 2013R

R ^{avec la}

^fréquence

^{des courants. Comme on le voit} par la formule

(9),

la valeur de ce

rapport

^croît

proportionnellement

à la racine

quatrième

^{de la}

fréquence.

Pour se rendre

compte

^{de ce}

qu’on

^{obtient au}

point

^{de vue}

expé- rimental,

^{il suilit de}

jeter

^un coup d’oeil ^sur le tableau

suivant,

^où

sont résumés les résultats des

expériences

peu nombreuses

qu’on

connaît sur cette

question.

^Ces

expériences

^{ont été faites} par moi ^et

se trouvent dans mon travail sur les

décharges

oscillatoires

(1).

On voit que, conformément ^{à ma}

conclusion,

par l’accroissement de la

fréquence

^{la valeur du}

rapport #, ^augmente.

Mais il y ^a

plus

^{encore :} même la loi

quantitative exprimée

par ^, la

formule, peut

^être considérée comme sensiblement confirmée par

ces

expériences.

^En

effet,

^{selon ma}

formule, l’expression

devrait,

pour les hautes

fréquences,

^{conserver une valeur constante.}

Or,

^{si avec} les données établies

plus

^{haut on} calcule la valeur de (1) ^Loc. cil., p. 374.

710

la constante 1

Comme on le

voit,

^surtout pour les deux

premières fréquences,

la concordance entre ma formule et les

expériences,

^si elle n’est pas due ^au

hasard,

^est

parfaite.

^,

PHILOSOPHICAL MAGAZINE ;

Tome XXII ; fin du 2e semestre 1906.

THOMAS LYLE et J.-M. BALDWIN. - Experiments ^{on the}

propagation

^{of lon-} gitudinal ^{waves of} magnetic ^flux along ^iron wires and rods (Expériences ^{sur la} propagation ^d’ondes longitudinales ^{de flux} magnétique ^le long ^{de fils et de} tiges

de fer). ^{- P. 433.}

L’objet

^des

expériences

^était de déterminer les modifications

apportées

dans les coefficients des termes de la série

harmonique capable

^de

représenter

^{une «} onde de flux

magnétique

^»

quand

^cette

onde passe ^{à travers une}

tige

^{de fer.}

Le

sujet

^a

déjà

^été étudié par divers ^auteurs

(Oberbeck, Zenneck).

En

désignant

^{par T la}

période

^des

oscillations, par +

la différence de

phase

^{en deux}

points

distants de 1

centimètres,

^la

quantité

représente

^{la «} vitesse de

propagation

de l’aimantation ».

Les auteurs cités ont trouvé que

l’amplitude Fx

^du flux résultant

aux différents

points pouvait

^être

représentée

par ^la relation :

où X est une constante

qui dépend

^{de la nature du métal de la}

tige,

mais est

indépendante

de l’aire de la section.