Cours Seconde Ordre dans l'ensemble des réels
1. Définition: La relation c < b signifie que c est strictement inférieur à b. La relation c b signifie que c est inférieur ou égal à b.
Une droite munie d'un repère (O, I) définit un axe, appelé aussi axe des réels. Un point de cette droite correspond à un unique réel.
Le point O a pour abscisse 0 et I a pour abscisse 1. Les nombres réels (abscisses des points de la droite) sont rangés dans l'ordre croissant de la gauche vers la droite. (O, I) est un repère de l'axe.
2. Intervalles de :
L'ensemble des réels x tels que a x b est l'intervalle fermé [a; b].
L'ensemble des réels x tels que a < x b est l'intervalle semi-ouvert ]a; b].
L'ensemble des réels x tels que a x < b est l'intervalle semi-ouvert [a; b[.
L'ensemble des réels x tels que a < x < b est l'intervalle ouvert ]a; b[.
L'ensemble des réels x tels que x b est l'intervalle semi-fermé ] – ; b].
L'ensemble des réels x tels que a < x est l'intervalle ouvert ]a; +[.
Les quatre premiers intervalles sont bornés (les bornes sont des réels); les deux derniers sont des intervalles non bornés (une au moins des bornes est l'infini).
3. Comparaisons et opérations
Si a < b alors a + c < b + c ; ajouter un même nombre réel aux deux membres d'une inégalité conserve l'ordre.
Si a < b alors a – c < b – c ; soustraire un même nombre réel aux deux membres d'une inégalité conserve l'ordre.
Si a < b et c > 0 alors ac < bc ; multiplier un même nombre réel strictement positif aux deux membres d'une inégalité conserve l'ordre.
Si a < b et c < 0 alors ac > bc ; multiplier un même nombre réel strictement négatif aux deux membres d'une inégalité change l'ordre.
Si a < b < 0 alors a² > b² ; les carrés de deux réels strictement négatifs sont dans l'ordre inverse de ces deux nombres.
Si 0 < a < b alors a² < b² ; les carrés de deux réels strictement positifs sont dans le même ordre que ces deux nombres.
Si a < b et de même signe alors 1 a > 1
b ; les inverses de deux réels de même signe sont dans l'ordre inverse de ces deux nombres.
4. Encadrements
Définition: Encadrer un réel x , c'est trouver deux réels a et b tels que a x b.
L'amplitude de l'encadrement est b – a.
Exemples: 1,7 <
3 < 1,8 est un encadrement de 3 d'amplitude 1,8 – 1,7 = 0,1 ou un dixième.3,14 < < 3,15 est un encadrement de d'amplitude 0,01.
Encadrement d'une somme: Si a x b et c y d , alors a + b x + y b + d.
Encadrement d'un produit: Si les nombres a, b, c et d sont positifs, et si a x b et c y d , alors ac xy bd.
Valeurs approchées: Dans l'encadrement 3,14 < < 3,15, le nombre 3,14 est une valeur approchée de à 0,01 près par défaut, et le nombre 3,15 est une valeur approchée de à 0,01 près par excès.
5. Valeur absolue
Définition: Sur un axe gradué de père (O,I), on considère les points A et B d'abscisses respectives a et b. La distance entre les points A et B est le nombre a – b ou b – a , appelé valeur absolue de a – b et noté | a – b |.
On a donc AB = | a – b | = | b – a |.
Soit M le point de l'axe d'abscisse x. Alors la distance OM est égale à | x – 0 | = | x |, appelé valeur absolue de x.
Si x est positif, alors | x | = x . Si x est négatif, alors | x | = – x .
Propriétés: Si | x | = 0 alors x = 0 ; Si | x | = | y | alors x = y ou x = – y . Exemples: | – 3 | = 3 ; | 2 – 7 | = 5; | 2 – | = 2 .
