ATS 2021-22 Chapitre EM7
EM7 - Lois de l’induction
Les phénomènes d’induction illustrent une nouvelle interaction entre électricité et magnétisme. Ils per- mettent de transformer une énergie mécanique en énergie électrique (ou vice versa) et sont à l’origine de 99%
de la production d’électricité mondiale !
1 Les phénomènes d’induction
1.1 Expériences
Le physicien anglais Faraday a réalisé dans la première moitié du 19eme siècle des expériences consistant à observer la tension aux bornes d’un circuit conducteur fermé lorsqu’on en approche un aimant. Dans le cas étudié ci-dessous le conducteur est constitué d’une série de N spires (une sorte de bobine plate) :
Dans la série d’expériences qui suivent, on approche l’aimant de la spire à partir de la date t1, on le stoppe, puis on le ramène à sa position initiale, la fin du mouvement se produisant à la date t2. Puis on change un paramètre : dans le cas (b) l’aimant est déplacé plus lentement, et dans le cas (c) on a doublé le nombre de spires.
La conclusion (révolutionnaire !) de ces expériences est l’apparition d’une tension électrique dans un circuit (comme si un générateur y était présent) suite à un changement de l’état magnétique du milieu. En effet, le champ magnétique créé par un aimant décroît avec la distance :
de sorte qu’éloigner ou approcher l’aimant des spires revient à faire varier l’intensité du champB~ au niveau des spires.
La seconde observation porte sur le signe de la tension produite : un accroissement deB (cas où l’aimant s’approche) produit l’effet opposé d’une diminution de B (cas où l’aimant s’éloigne). On pourrait également reprendre l’expérience en retournant l’aimant de 180◦ et voir que cela retourne aussi le signe des tensions observées. Bref, le signe deU et le sens deB~ vont devoir être précisés avec une grande rigueur dans la suite.
Les expériences (b) et (c) permettent d’affiner les paramètres d’influence du phénomène :
- la vitesse de l’aimant gouvernant la rapidité à laquelleB~ varie, on s’attend à ce queU dépende de dBdt. -U croît visiblement avec la surfaceS captant le champB.~
Enfin, que se passe-t-il si au lieu d’approcher l’aimant de la spire on approche la spire de l’aimant ? Intui- tivement la même chose car on passe d’une situation à l’autre par simple changement de point de vue. Lorsque
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les spires s’approchent de l’aimant elles ressentent un champ magnétique de plus en plus intense, exactement comme lorsqu’on approche l’aimant des spires.
Sachant qu’un circuit parcouru par une intensité est l’analogue d’un aimant car il produit un champ magnétique, dessinez l’allure deU(t) observée dans les spires si on remplace l’aimant par un solénoïde et qu’au lieu de déplacer celui-ci on établit un courant constant dans le solénoîde à la datet1, qu’on coupe à la date t2.
1.2 Synthèse des phénomènes
Même si ce découpage est artificiel, on scinde les situations où se manifeste l’induction en deux ensembles.
En réalité les deux effets peuvent se mélanger...
Il se produit un phénomène d’induction :
1. lorsqu’un circuit fixe est soumis à un champ magnétique non stationnaireB~(t) 2. ou lorsqu’un circuit est en mouvement dans un champ magnétique stationnaireB~
Ce phénomène se traduit par l’apparition dans le circuit d’une tensione, qualifiée "d’induite", et appelée fem(pour force électromotrice). Si le circuit est fermé, cette tension crée un courant "induit".
Attention lafem est un faux ami, ce n’est pas une force mais une tension (en Volt).
Les cas 1 et 2 sont illustrés par deux des expériences étudiées précédemment : aimant approché des spires (1), spires approchées de l’aimant (2).
1.3 Modélisation pratique
L’apparition d’une tension induite e dans un circuit sera modélisée par la présence d’un générateur de tension e dans son schéma électrique équivalent. Si par exemple le circuit soumis au phénomène d’induction comporte une résistanceR et une capacitéC, etc... son schéma électrique sera :
Par convention,esera toujours orienté enconvention générateur avec l’intensitéi du circuit.
Attention à ne pas confondre schéma électrique et schéma géométrique. Sur le premier on fait figurer les grandeurs décrivant l’aspect électrique du problème (courant, tensions, composant équivalent R, L, C, généra- teurs, etc...), et sur le second on s’applique à représenter spatialement le circuit à l’aide d’un repère, de distances, d’angles, etc... La seule grandeur à être présente sur les deux schémas est l’intensitéi, pour les conventions.
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2 Loi de Faraday
2.1 Enoncé
En cas d’induction (cf 1.2), il apparaît une femedans le circuit : e=−dΦ
dt avec Φ =
¨
S
B ~~ds , ds~ ⊥S et S = surface du circuit Φ est donc le flux magnétique à travers le circuit.
Convention indispensable pour calculer Φ :ds~ et isont en convention main droite. Exemple ci-dessous :
2.2 Exemple d’utilisation
Reprenons l’exemple de la spire soumise au champ magnétique d’un solénoïde parcouru parIs(t) et cher- chons à déterminer l’expression du courant induitidans la spire. Imaginons que le solénoïde soit parcouru par un courant sinusoïdalIs(t) =Iocos(ωt).
On fait l’approximation selon laquelle le champ magnétique créé par le solénoïde est uniforme dans la zone de la spire et vaut (nétant son nombre de spires par mètre) :
B~s=µonIs.~uz
Le matériau constituant la spire n’étant pas un conducteur parfait, on noteR sa résistance électrique totale.
La spire étant fixe dans un champ magnétique non stationnaireB~s=µonIocos(ωt).~uz, elle va être le siège d’un phénomène d’induction. Vu l’orientation deichoisie pour l’étude et la convention, le flux magnétique que capte la spire s’écrit :
Φ =
¨
S
B ~~ds=
¨
S
µonIocos(ωt).~uzds(+u~z) =µonIocos(ωt)
¨
S
ds=µonIocos(ωt).πa2
en effet, la surface totale de la spire est celle d’un disque de rayona. On a donc, d’après la loi de Faraday : e=−dΦ
dt =−µonIo(−ω) sin(ωt).πa2
Il ne reste plus qu’à exprimer i, grâce au schéma électrique équivalent de la spire :
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Une simple loi des mailles assortie d’une loi d’Ohm donne (attention aux orientations néanmoins) : e−Ri= 0 ⇒ i= µonIoω.πa2
R sin(ωt)
Bien comprendre qu’on aurait très bien pu prendre le sens inverse pouri. On aurait évidemment trouvé l’opposé de l’expression précédente. Une fois le sens de ichoisi (arbitrairement), il faut par contre respecter scrupuleu- sement les deux conventions (avecds~ et e).
Reprenez cet exercice en changeant le sens deiétudiée.
3 Loi de Lenz
La loi de Lenz est qualitative, en ce sens qu’elle ne permet pas d’exprimer les grandeurs induites mais seulement de prédire leur signe. Elle s’énonce ainsi :
Les courants induits tendent, par leurs conséquences, à s’opposer à la cause qui leur a donné naissance.
L’application de cette loi est délicate car elle requiert une rigueur particulière. En outre elle s’appuie sur un résultat du chapitre de magnétostatique : le sens du champ B~ produit par une spire de courant parcouru pari >0 vérifie avecila règle de la main droite.
Exemple d’application : reprenons la situation du paragraphe précédent et déterminons le signe dei(t) en imaginant queIs=cstet qu’on coupe subitement l’alimentation du solénoïde de sorte queIsdécroisse jusqu’à devenir nulle. Bien entendu cela implique que le champ magnétique Bs=µonIs décroisse jusqu’à devenir nul.
Le contexte dans lequel on va appliquer la loi de Lenz est donc celui-ci :
Le flux magnétique à travers la spire étant en train de varier, il y a induction et donc apparition d’un courant induiti qui selon la loi de Lenz doit s’opposer à cette diminution deB~s. En l’occurence,idoit, par ses consé- quences, "éviter" ou "ralentir" la décroissance deB~s. C’est le cas si le champ magnétiqueB~i induit paripointe vers la droite. Sachant qu’un courant circulant dans une spire produit un champ B~ conforme à l’orientation rappelée 10 lignes plus haut, il faut donc quei >0 pour limiter la baisse deB~s...
Prédisez le signe deilors de l’établissement de Is dans le solénoïde.
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