La Théorème central limite - Cours 8 pdf

7. Loi normale et th´ eor` eme central limite

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Plan

1. Loi normale

2. Loi normale centr´ee r´eduite 3. Approximation d’une binomiale 4. Loi lognormale

5. Th´eor`emes limites

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1. Loi normale

2. Loi normale centr´ee r´eduite 3. Approximation d’une binomiale 4. Loi lognormale

5. Th´eor`emes limites

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Loi normale

On dit qu’une variable al´eatoire continueX suit une loi normalede param`etres µet σ² si sa fonction de densit´e est

f_X(x) = 1 σ√

2π exp

−(x−µ)² 2σ²

pour toutx .

On d´enote ceci X∼N(µ, σ²).

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Loi normale : propri´ et´ es

Propri´et´es de f_X : 1. lim

x→±∞fX(x) = 0.

2. f_X(µ+x) =f_X(µ−x) (sym´etrie par rapport `a l’axe x=µ).

3. f_X atteint son maximum enx=µ (µest le mode deX).

4. Les points d’inflexion du graphe de f_X sontx=µ±σ.

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Loi normale : propri´ et´ es (suite)

SiX∼N(µ, σ²) alors

1. P(X < µ−x) =P(X > µ+x).

2. F_X(µ−x) = 1−F_X(µ+x).

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Moyenne et variance de la loi normale

SiX∼N(µ, σ²) alors

1. E(X) =µ.

2. V(X) =σ².

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-4 -2 0 2 4

0.00.10.20.30.4

fonction de densité de X~N(0,1)

x

f(x)

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-4 -2 0 2 4

0.00.20.40.60.81.0

fonction de répartition de X~N(0,1)

x

F(x)

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Loi normale : calcul avec des logiciels

I Excel :

f_X(x) = LOI.NORMALE(x,µ,σ, 0).

FX(x) =LOI.NORMALE(x,µ,σ, 1).

I R :

fX(x) = dnorm(x, mean=µ, sd=σ).

F_X(x) =pnorm(x, mean=µ, sd=σ).

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1. Loi normale

2. Loi normale centr´ee r´eduite 3. Approximation d’une binomiale 4. Loi lognormale

5. Th´eor`emes limites

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Loi normale centr´ ee r´ eduite

Lorsqueµ= 0 etσ² = 1, la loi normale N(0,1)est appel´eecentr´ee r´eduite et on la d´enote par Z.

Sa fonction de densit´e est

φ(z) = 1

√ 2πe^−z

2 2 .

Sa fonction de r´epartition est Φ(z) = 1

√2π Z _z

−∞

e^−t

2 2 dt .

Puisque cette int´egrale est difficile `a ´evaluer, on a recours `a une table de loi normale pour calculerΦ(z). Voir livre page 476 (2`eme

´edition) / page 512 (3`

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Loi normale centr´ ee r´ eduite (suite)

SiX∼N(µ, σ²) alors

Z = X−µ

σ ∼N(0,1).

On peut donc ramener toute loi normale `a une loi centr´ee r´eduite.

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M´ ethodes de calcul

SiZ ∼N(0,1)

I Si b≥0alors P(Z ≤b) = Φ(b).

I Si b <0alors

Φ(b) =P(Z ≤b) = 1−P(Z ≤ −b) = 1−Φ(−b).

I P(Z ≥b) = 1−P(Z ≤b) = 1−Φ(b).

I P(a≤Z ≤b) =P(Z ≤b)−P(Z ≤a) = Φ(b)−Φ(a).

SiX∼N(µ, σ²), alors P(X≤b) = Φ b−µ

σ

et

P(a≤X ≤b) =P

a−µ

σ ≤Z ≤ b−µ σ

= Φ

b−µ σ

−Φ

a−µ σ

.

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Exemples

I Exemple 1 : V´erifier queµ= 0 et σ² = 1 siX ∼N(0,1).

I Exemple 2 : D´eterminer Q₁,Q₂ etQ₃ siX ∼N(0,1).

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Exemple 3

SiZ ∼N(0,1), calculer 1. P(Z ≤1.25).

2. P(Z ≤ −0.52).

3. P(Z >−1).

4. Si X∼N(µ= 100, σ²= 4), calculerP(98< X ≤104).

5. Si P(Z ≤b) = 0.6628, d´eterminer b.

6. Si P(Z ≤b) = 0.3446, d´eterminer b.

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Additivit´ e

SoitX₁, X₂, . . . , X_ndes variables al´eatoires ind´ependantes avec Xi∼N(µi, σ_i²) pour touti.

SoitY =a0+a1X1+a2X2+· · ·+anXn. AlorsY ∼N(µ, σ²), o`u

µ = a₀+a₁µ₁+a₂µ₂+· · ·+a_nµ_n , σ² = a²₁σ₁²+a²₂σ₂²+· · ·+a²_nσ_n² .

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Exemple 4

Un assemblage consiste `a ins´erer un arbre dans un palier selon le sch´ema ci-dessous.

1 X

X ₂

SiX1∼N(1.5,0.0016) etX2 ∼N(1.48,0.0009) sont les deux diam`etres, le jeu entre les deux ´el´ements est Y =X1−X2. Les v.a.X₁ etX₂ sont ind´ependantes.

L’assemblage ´echoue siX₁ < X₂.

Dans quel pourcentage de cas l’assemblage ´echoue-t-il ?

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Approx. d’une loi binomiale par une loi normale

SoitX∼B(n, p) une variable al´eatoire suivant une loi binomiale.

AlorsX est la somme de variables de Bernoulli ind´ependantes de param`etrep.

Sinest grand alors X suit approximativement une loi normale N(µ=np, σ² =np(1−p)).

Cette approximation est bonne si

I np >5 lorsquep≤ ¹₂.

I n(1−p)>5 lorsquep > ¹₂.

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Approx. d’une binomiale par une normale (suite)

PuisqueX ∼B(n, p)est une variable discr`ete, on cherche `a calculer des probabilit´es commeP(X =x).

Or ceci n’a pas de sens pour une v.a. continue et on doit corriger la valeur cherch´ee pour pouvoir utiliser l’approximation deX par une loi normale.

Par exemple

Valeur cherch´ee Valeur corrig´ee P(X =x) P(x−¹₂ ≤X≤x+¹₂) P(a≤X≤b) P(a−¹₂ ≤X≤b+¹₂)

Cette correction est appel´eecorrection pour la continuit´e.

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Exemple 5

On lance une pi`ece 200 fois. Quelle est la probabilit´e d’obtenir au moins 110 piles ?

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Loi lognormale

Une variable al´eatoire X suit une loi lognormalede param`etres µ_Y etσ²_Y si

Y = ln(X)∼N(µ_Y, σ_Y²) .

C’est ´equivalent `a d´efinirX = exp(Y).

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Loi lognormale : fonction de densit´ e

La fonction de densit´e d’une variable al´eatoire lognormaleX de param`etres µ_Y,σ²_Y est

fX(x) =









 1 xσ_Y√

2πexp

−(ln(x)−µ_Y)² 2σ_Y²

six >0 ,

0 sinon.

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Loi lognormale : fonction de r´ epartition

La fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire lognormaleX de param`etres µ_Y,σ²_Y est

FX(x) =









 Φ

ln(x)−µY

σ_Y

si x >0 ,

0 sinon.

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Loi lognormale : moyenne et variance

SoitX une variable al´eatoire lognormale de param`etresµY,σ²_Y. Alors :

1. E(X) = exp(µ_Y +¹₂σ²_Y).

2. V(X) = exp(2µ_Y +σ_Y²) exp(σ_Y²)−1 .

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Loi lognormale : propri´ et´ es

SoitX₁, X₂, . . . , X_ndes variables al´eatoires lognormales ind´ependantes de param`etres µYi, et σ²_Yi pour i= 1,2, . . . , n.

Alors

W =bX₁^a1X₂^a2· · ·X_n^an suit une loi lognormale de param`etres

µY = ln(b) +

n

P

i=1

aiµYi

et σ_Y² =

n

P

i=1

a²_iσ²_Y

i.

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Exemple 6

Soit

Y₁ = ln(X₁)∼N(4,1) Y2 = ln(X2)∼N(3,0.5) Y₃ = ln(X₃)∼N(2,0.4) Y4 = ln(X4)∼N(1,0.01) et

W =e^1.5 X₁^2.5X₂^0.2X₃^0.7X₄^3.1 . CalculerP(2×10⁴ ≤W ≤6×10⁵).

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Loi des grands nombres

SoientX1, X2, . . . , Xn des variables al´eatoires ind´ependantes ayant la mˆeme distribution, avec E(X_i) =µpouri= 1,2, . . . , n.

Alors pour toutε >0,

n→∞lim P









n

P

i=1

Xi

n −µ

> ε









= 0 .

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Th´ eor` eme central limite (TCL)

SoitX1, X2, . . . , Xnune suite de variables al´eatoires ind´ependantes, avec E(Xi) =µi et V(Xi) =σ_i² pour i= 1,2, . . . , n.

Alors la variable al´eatoire Z =

Pn

i=1(X_i−µ_i) qPn

i=1σ²_i

suit approximativement une loi normale N(0,1)si nest grand.

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TCL : cas particulier

SoitX1, X2, . . . , Xnune suite de variables al´eatoires

ind´ependantes et identiquement distribu´ees, avec E(X_i) =µet V(Xi) =σ² pour i= 1,2, . . . , n.

Alors la variable al´eatoire Z =

Pn

i=1Xi−nµ σ√

n

suit approximativement une loi normale N(0,1)si nest grand.

Autres formulations (pour n→ ∞) :

n

X

i=1

Xi∼N(nµ, nσ²), ou

X = 1 n

n

X

i=1

X_i ∼N(µ, σ²/n) .

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Exemple 7

On lance un d´e 100 fois. Quelle est la probabilit´e que la somme des r´esultats soit entre 340 et 360 ?

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Th´ eor` eme central limite : quelle valeur de n est assez grande ?

I Si les lois des Xi sont proches d’une loi normale alors pour n≥4 l’approximation donn´ee par le th´eor`eme central limite est bonne.

I Si les lois des X_i sont moyennement proches d’une loi normale (p. ex. loi uniforme) alors pourn≥12l’approximation donn´ee par le th´eor`eme central limite est bonne.

I Si les lois des Xi ne sont pas proches d’une loi normale alors pour n≥100l’approximation donn´ee par le th´eor`eme central limite sera bonne (par exemple fonction de densit´e tr`es asym´etrique).

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