feuilles du questionnaire (y compris le verso). L'emploi de feuilles de brouillon est interdit.
En cas de nécessité, demandez une feuille supplémentaire aux surveillants, qui vous en fourniront. L'emploi de calculettes est également interdit pour cette partie. A 11h, les feuilles concernant cette partie doivent obligatoirement être remises aux surveillants.
2. Deuxième partie:
Durée: de 11h à 12h.
Cette partie comporte une seule question (question 4), qui vous sera remise à 11h. Pour cette question, vous pouvez utiliser une calculette (une calculette scientifique non programmable suffit), ainsi que des feuilles de brouillon (feuilles blanches, éventuellement quadrillées) de votre choix.
Recommandations générales :
N'oubliez pas d'inscrire vos nom, prénom et numéro d'inscription sur chaque feuille utilisée.
Les précisions sur les questions sont à poser aux responsables de cet examen: Mr J.-F.
Thimus et P. Van Dooren, qui circuleront dans les différents auditoires. En cas de nécessité, faites-les appeler par les surveillants.
La résolution des questions ne requiert que l'utilisation des formules de base, rappelées ci-dessous. Toute autre formule utilisée sera explicitée, et les éléments de sa démonstration seront indiqués.
Formules de base de la trigonométrie : La formule fondamentale :
sin2 a + cos2 a = 1 Formules donnant :
sin (-a), cos (-a), tg (-a); sin (π±a), cos (π±a), tg (π±a);
sin (π/2±a), cos (π/2±a), tg (π/2±a);
sin (a±b), cos (a±b), tg (a±b), sin 2a, cos 2a, tg 2a; 1 ± cos 2a;
en fonction de sin a.
sin a, cos a, tg a en fonction de tg a/2.
sin p ± sin q, cos p ± cos q;
Les transformations de a cos x + b sin x en E cos (x+p).
Les relations entre les angles et côtés d'un triangle rectangle et d'un triangle quelconque (règles des sinus et règles en cosinus).
Dans le triangle ABC, rectangle en A, on donne l’hypoténuse a et le produit m² des bissectrices des angles B et C.
1/ Démontrer que
² 4
² sin 2
sin 2
a m C
B =
2/ Etant donné m et a, quelles sont les conditions d’existence d’une solution pour B et C (on fait l’hypothèse que B > C) ?
Si a + b + c = π, vérifier que
cos2 sin2 cos2 4 1 cos cos
cos a b c
c b
a− + + =
Pour les affirmations suivantes, cochez vrai si l'affirmation est toujours vraie, ou faux si l'affirmation est toujours fausse, ou, à défaut, donnez les conditions nécessaires et suffisantes qui rendent l'affirmation vraie :
Si deux triangles ont les mêmes angles, alors leurs surfaces sont égales
toujours vrai
R
toujours fauxR
vrai si :
La somme des angles A, B, C et D d’un quadrilatère quelconque est égal à 2 π
toujours vrai
R
toujours fauxR
vrai si :
Dans un triangle avec des angles A, B et C, cos(B + C) + cos(A) = 0
toujours vrai
R
toujours fauxR
vrai si :
Pour 0 < A < π, 1 / tg A < cos A
toujours vrai
R
toujours fauxR
vrai si :
Je veux faire un parterre de fleurs dans le coin de mon jardin et j’ai acheté autant de pétunias rouges que de blancs. Je veux faire un arrangement dans la forme d’un triangle rectangulaire ABC avec un cercle inscrit comme indiqué dans le schéma suivant :
C
a b
A c B
Les fleurs rouges iront dans le cercle, les fleurs blanches rempliront le reste du triangle.
1. Quelles sont les valeurs possibles de l’angle B pour que je puisse planter autant de fleurs rouges que de blanches ?
2. Ensuite, donner le rayon r du cercle et les côtés a, b et c du triangle si j’ai acheté pour 2 m2 de fleurs et si je veux les utiliser toutes ?
Les angles d’un triangle ABC vérifient la relation suivante :
sin sin
sin cos cos
B C
A B C
= +
+
Démontrer que le triangle est rectangle.
Si dans un triangle, on connaît a, b et A, il existe 2 solutions : le triangle AB’C et le triangle AB’’C.
1. Calculer, en fonction de a, b et A, la différence AB’ – AB’’
2. Calculer, en fonction de a, b et A, l’aire du triangle B’CB’’
3. Si C’ et C’’ sont les 2 valeurs de C, montrer que
' '' (tan ) (tan ) 1
2
A C C + =
Pour les affirmations suivantes, cochez vrai si l'affirmation est toujours vraie, ou faux si l'affirmation est toujours fausse, ou complétez par une condition qui rende l'affirmation vraie :
On peut toujours couper un triangle quelconque en deux triangles rectangles.
toujours vrai
R
toujours fauxR
vrai si :
tg (A/2)= (1 – cos A)/sin(A)
toujours vrai
R
toujours fauxR
vrai si :
pour π < A < 2π, sin 2 A > cos A
toujours vrai
R
toujours fauxR
vrai si :
dans un triangle ABC rectangle en A, on a sin B cos B = sin C cos C
toujours vrai
R
toujours fauxR
vrai si :
Trois avions (A, B et C) volent en formation triangulaire à une altitude de h mètres. Leur distance mutuelle est de 100 mètres. Un observateur (O) sur terre mesure par GPS sa distance aux avions respectifs : OA=1050 mètres et OB=OC=1000 mètres. On suppose la terre plate pour simplifier le problème.
1/ Donnez un dessin pour schématiser le problème.
2/ Calculez l’altitude h à laquelle les avions volent.
3/ Sous quels angles avec la verticale l’observateur voit-il les avions ?
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