E649 – Distribution égalitaire Problème proposé par Jean Drabbe
On attribue un nombre réel à chacun des points du plan de manière telle que pour tout triangle, le réel associé au centre du cercle inscrit soit la moyenne arithmétique des valeurs attribuées aux trois sommets.
Montrer que tous les points du plan se voient attribuer le même nombre réel.
Solution proposée par Patrick Gordon
Soit un triangle ABC et a b c les réels respectifs associés à ses sommets.
Soit I1 le centre du cercle inscrit à ABC.
Le réel x1 associé à I1 est (a+b+c) / 3.
Soit maintenant I2 le centre du cercle inscrit à ABI1. Le réel associé à I2 est :
x2 = [(a+b+c) / 3 + a+b] / 3 = [4(a+b) + c] / 9.
Si l'on procède ainsi de proche en proche, on trouve que la valeur associée à In est : xn = [(3n – 1) / 2 × (a+b) + c] / 3n
Comme xn s'écrit aussi :
xn = [(3n – 1) / 3n] (a+b)/2 + c / 3n il apparaît que xn tend vers (a+b) / 2.
Par ailleurs, In étant toujours à l'intérieur du triangle AB In-1, son centre du cercle inscrit In
tend vers un point du segment AB.
Et comme ce résultat ne dépend pas de c (donc pas de C), il est valable pour tout point du segment AB obtenu comme limite de cette construction en série.
Il n'est pas nécessaire de montrer que, inversement, tout point du segment AB peut
effectivement être la limite de cette construction, car le résultat vaut en particulier pour A et B eux-mêmes, qui sont de telles limites pour C à l'infini, du côté de A et de celui de B
respectivement.
Donc a = b = (a+b) / 2.
Il est ainsi établi que deux points quelconques du plan reçoivent le même réel.
Nota : le résultat serait le même si, au lieu du centre du cercle inscrit, on avait considéré le centre de gravité, mais non l'orthocentre ni le centre du cercle circonscrit, car le premier reste intérieur aux triangles successifs mais pas les seconds.
