II.2 Op´ erations sur les parties d’un ensemble

Fondements des math´ ematiques : un peu de logique et de vocabulaire ensembliste

Nous allons d´efinir dans ce chapˆıtre un vocabulaire et pr´esenter des propri´et´es utiles dans tous les domaines des math´ematiques.

Ces notions ne sont pr´esent´ees de fa¸con ni exhautive ni mˆeme compl`etement rigoureuse. Nous nous contenterons de saisir ce qui est indispensable `a l’approche des math´ematiques que nous ´etudierons par la suite.

I Quelques ´ el´ ements de logique

Une assertion est vraie (V) ou fausse (F), mais pas simultan´ement. La construction math´ematique repose sur l’´etablissement de la v´eracit´e d’assertions, `a partir d’ assertions connues (et au d´epart d’assertions dont la v´eracit´e est suppos´ee : ce sont les postulats, ou axiomes) et de r`egles de d´eduction que nous allons aborder un peu plus loin.

Un th´eor`eme (appel´e aussi, selon son importance, proposition, lemme, corollaire. . . ) est une assertion vraie.

La n´egation d’une assertionpest l’assertion not´ee non(p) et d´efinie par la table de v´erit´e suivante : p non(p)

V F

F V

(tableau indiquant les valeurs induites (V ouF) d’une ou plusieurs assertions en fonction des valeurs des asser- tions de d´epart).

Nous utiliserons 4 connecteurs logiques : la conjonction^hhetⁱⁱ , la disjonction^hhouⁱⁱ , l’implication^hh⇒ⁱⁱ et l’´equi- valence logique^hh⇔ⁱⁱ , d´efinis par la table suivante :

p q petq pouq p⇒q p⇔q

V V V V V V

V F F V F F

F V F V V F

F F F F V V

Remarques :

1. La disjonction (^hhouⁱⁱ ) correspond `a ce que l’on appelle commun´ement le<sup>hh</sup>ou inclusif<sup>ii</sup> : au moins l’une des deux assertions est vraies, les deux pouvant ˆetre vraies simultan´ement. A ne pas confondre avec le<sup>hh</sup>ou exclusif<sup>ii</sup> du c´el`ebre^hhfromageoudessert ?ⁱⁱ

2. Dans l’assertion^hhp⇒qⁱⁱ ,pest l’hypoth`ese etqla conclusion.

(a) Cette assertion s’exprimera souvent par ^hhsip, alorsqⁱⁱ , ou ^hhpour que p, il faut queqⁱⁱ ou encore^hhpour queq, il suffit quepⁱⁱ . Nous trouvons ici la premi`ere occurrence de condition n´ecessaire et de condition suffisante, notions qu’il convient de maˆıtriser d`es `a pr´esent.

(b) Remarquons que (p⇒q) est vraie `a partir du moment o`upest faux. Ceci ne signifie absolument pas que la conclusionq soit vraie, mais que toute implication `a partir d’une hypoth`ese fausse est vraie.

3. L’assertion^hhp⇔qⁱⁱ s’exprimera par^hhpsi et seulement siqⁱⁱ ou encore ^hhpour queq, il faut et il suffit quepⁱⁱ . 4. Attention `a ne pas utiliser abusivement les notations =⇒et⇐⇒. Celles-ci n’ont leur place que dans une assertion

pr´ecise et non dans le corps d’une d´emonstration : les math´ematiques se r´edigent en fran¸cais.

Donnons, `a titre d’exemples, quelques n´egations qui nous seront tr`es utiles par la suite (et donc qu’il convient de maˆıtriser parfaitement) :

Soientpet qdeux assertions.

T₁ : ( non (pet q)⇐⇒(( nonp) ou ( nonq)).

Preuve : D´emontrons l’assertionT1 `a l’aide d’une table logique :

p q pet q non (pet q) nonp nonq (nonp) ou (nonq) T₁

V V V F F F F V

V F F V F V V V

F V F V V F V V

F F F V V V V V

T2 : ( non (pouq)⇐⇒(( nonp) et ( nonq)).

Preuve : toujours `a l’aide d’une table logique :

p q pouq non (pouq) nonp nonq (nonp) et (nonq) T2

V V V F F F F V

V F V F F V F V

F V V F V F F V

F F F V V V V V

T3 : non (p⇒q)⇐⇒(pet ( nonq)).

Cette derni`ere assertion s’appelle leraisonnement par l’absurde. En pratique, une fa¸con de proc´eder pour ´etablir que p⇒q est vraie, est de supposer pvraie,q fausse et de montrer que cela entraine une contradiction. Il est alors

´

etabli que (pet ( nonq) est fausse, et donc par l’´equivalenceT₃, ( non (p⇒q)) aussi, donc (p⇒q) est vraie.

T₄ : (( nonp)⇔( nonq))⇐⇒(p⇔q).

Exercice 1 D´emontrer les th´eor`emes logiques T<sub>3</sub>,T<sub>4</sub>, ainsi que les th´eor`emes suivants : a) (p⇔q)⇐⇒(q⇔p).

b) (p⇒(q⇒r))⇐⇒((petq)⇒r).

c) ((pouq)⇒r)⇐⇒((p⇒r)et(q⇒r)).

d) ((p⇒q)et(q⇒p))⇐⇒(p⇔q).

(Ce th´eor`eme sera utilis´e pour prouver une ´equivalence.)

II Les ensembles

II.1 D´ efinitions

Notons `a nouveau que notre but n’est pas de donner une d´efinition ou un cadre pr´ecis et complet de la th´eorie des ensembles, chose ardue d´epassant l’ambition de ce texte. Nous nous contenterons d’en appr´ehender les principales notions qui nous seront utiles dans la suite de l’expos´e.

De fa¸con tr`es intuitive, nous nous contenterons de d´efinir un ensemble comme une collection d’objets.

Par exemple : ensemble des joueurs d’une ´equipe de football, ensemble des clubs de football d’un championnat, ensemble des championnats nationaux de football, etc. . .

D´efinir ainsi un ensemble revient `a d´efinir les objets qui le constituent, c’est `a dire ses ´el´ements, mˆeme si cette d´efinition n’est pas explicite : les ´el´ements d’un ensemble (et donc l’ensemble) seront g´en´eralement d´efinis par une propri´et´e commune.

Notations :

– nous noterons un ensemble ainsi :E={x| R(x)}, ce qui se lit :

hhE est l’ensemble des objetsxv´erifiant (tel que) la propri´et´esRⁱⁱ ; – x∈Esignifiexappartient `a (ou est ´el´ement de)E;

– ∅est l’ensemble vide, c’est `a dire l’ensemble qui n’a aucun ´el´ement ; – un ensemble `a un ´el´ement est appel´e singleton et est not´eE={x}.

D´efinition II.1 Etant donn´´ e deux ensemblesE et F, nous dirons que E est inclus dans F (ou E est une partie de F,F contientE. . . ), ce que nous noteronsE⊂F, si tout ´el´ement de E appartient `aF¹.

Par convention,∅ est inclus dans tous les ensembles.

SiE⊂F etF ⊂E, alorsE=F.

1Remarque culturelle : nous pouvons apercevoir ici pourquoi notre d´efinition d’un ensemble n’est pas suffisante. Par exemple, elle n’´evite pas un c´el`ebre paradoxe du `a Bertrand Russel et qui repose sur la construction possible d’ensembles d’ensembles. Construisons l’ensemble Ades ensembles qui ne sont pas inclus dans eux-mˆemes (noter que cela n’est possible que parce qu’un ensemble est ici `a la fois ensemble et objet).Aest encore un ensemble, et siA∈A, par d´efinition deA,A /∈Aet de mˆeme siA /∈Aalors, toujours par d´efinition deA,A∈A.

Or, nous avons vu en logique que (pet (nonp)) est toujours faux (tiers exclu). . .

L’ensemble de tous les sous-ensemble deE (ensemble des parties deE) est not´eP(E).

L’assertion non (E⊂F) se noteE 6⊂F.

Exemples :P(∅) =∅;P({0,1}) ={∅,{0},{1},{0,1}}.

D´efinition II.2 D´efinissons les quantificateurs universels suivants, toujours de mani`ere intuitive : – ∀ qui se lit ^hhpour toutⁱⁱ ou^hhquel que soitⁱⁱ ;

– ∃ qui se lit^hhil existe un . . .ⁱⁱ (sous-entendu au moins un . . . ) ; – ∃! qui se lit^hhil existe un unique. . .ⁱⁱ .

La d´efinition II.1 s’´ecrit alors, pour tous ensemblesE etF, de la fa¸con suivante : (E⊂F)⇐⇒(∀x∈E, x∈F).

Remarque importante : la lettre qui suit un quantificateur est muette, c’est `a dire que l’on peut la remplacer par n’importe quel symbole (non encore utilis´e) sans rien changer au sens de l’assertion. Par exemple l’assertion (∀x∈Z, x∈Q) est ´equivalente `a (∀toto∈Z, toto∈Q).

Proposition II.3 Soient E,F et Gdes ensembles.

1. ∅ ⊂E,E⊂E.

2. SiE⊂F etF ⊂G, alorsE⊂G.

D´emonstration :

1. La premi`ere partie est dans la d´efinition II.1, et la seconde est ´evidente.

2. R´edigeons ce raisonnement, afin de se familiariser avec la formalisation math´ematique : supposons queE ⊂F etF ⊂G.

Soitx∈E.

CommeE ⊂F, d’apr`es la d´efinition II.1,x∈F et commeF ⊂G, le mˆeme argument montre quex∈G.

Nous venons d’´etablir que∀x∈E, x∈Get donc la d´efinition II.1 permet de conclure :E⊂G. CQFD² N´egation d’une phrase quantifi´ee : soientEun ensemble etP une propri´et´e que peut v´erifier les ´el´ements deE (ce que nous noterons P(x)). Nous avons alors les ´equivalences suivantes, fondamentales pour la suite de notre expos´e :

– (non (∀x∈E, P(x))⇐⇒(∃x∈E tel que (nonP(x))) ; – (non (∃x∈E, P(x))⇐⇒(∀x∈E tel que (nonP(x))).

II.2 Op´ erations sur les parties d’un ensemble

Dans toute cette partie,Eest un ensemble.

D´efinition II.4 SoientA, B∈ P(E). D´efinissons les parties de E suivantes :

– C_E(A) ={x∈E|x /∈A}, compl´ementaire deAdans E, not´e ´egalement quelquefoisA; – A∪B={x∈E|x∈A oux∈B}, union deA et deB;

– A∩B={x∈E|x∈A etx∈B}, intersection de A et deB; – A−B ={x∈E|x∈Aetx /∈B}, diff´erence de Aet deB. Proposition II.5 Soient A, B, C∈ P(E).

a) CE(∅) =E;CE(E) =∅;CE(CE(A)) =A.

b) ∪est commutative :A∪B =B∪Aet associative :A∪(B∪C) = (A∪B)∪C.

A∪ ∅=A;A∪E=E; (A∪B=B)⇒A⊂B.

c) ∩est commutative :A∩B =B∩Aet associative :A∩(B∩C) = (A∩B)∩C.

A∩ ∅=∅;A∩E=A; (A∩B =B)⇒B⊂A.

d) ∪est distributive par rapport `a∩: (A∩B)∪C= (A∪C)∩(B∪C).

∩est distributive par rapport `a∪: (A∪B)∩C= (A∩C)∪(B∩C).

2CQFD signifie ^hhCe Qu’il Fallait D´emontrerⁱⁱ et sert ainsi de conclusion abgr´eg´ee `a une d´emonstration bien ficel´ee. Les latinistes pourront lui pr´ef´erer QED.

D´emonstration : aucune de ces ´egalit´es d’ensembles ne posent de r´eelle difficult´e, si ce n’est justement comment d´emontrer une ´egalit´e d’ensembles ? Nous allons nous appuyer `a nouveau sur la d´efinition II.1 et donc proc´eder par double inclusion.

Par exemple, ´etablissons l’´egalit´e : (∗) (A∩B)∪C= (A∪C)∩(B∪C).

Commen¸cons par montrer que (A∩B)∪C⊂(A∪C)∩(B∪C) : Soitx∈(A∩B)∪C; alorsx∈A∩B oux∈C.

– 1er cas :x∈A∩B. Alorsx∈Aetx∈B. Donc, commeA⊂A∪C etB⊂B∪C, nous obtenonsx∈A∪Cet x∈B∪C. Finalement,x∈(A∪C)∩(B∪C).

– 2nd cas :x∈C. CommeC⊂A∪Cet C⊂B∪C,C⊂(A∪C)∩(B∪C), d’o`ux∈(A∪C)∩(B∪C).

Dans tous les cas, x∈(A∪C)∩(B∪C).Ce qui prouve l’inclusion recherch´ee.

R´eciproquement, montrons que (A∪C)∩(B∪C)⊂(A∩B)∪C : Soitx∈(A∪C)∩(B∪C) ; alorsx∈(A∪C) etx∈(B∪C).

– 1er cas :x∈C. Alors, comme C⊂(A∩B)∪C,x∈(A∩B)∪C.

– 2nd cas : x 6∈ C. Alors x ∈ A∪C implique que x ∈ A, et x ∈ B ∪C que x ∈ B. Donc x ∈ A∩B, donc x∈(A∩B)∪C.

Dans tous les cas, x∈(A∩B)∪C.L’inclusion r´eciproque est donc v´erifi´ee, et donc l’´egalit´e (*).

Les autres ´egalit´es sont laiss´es en exercice. ]]

D´efinition II.6 SoitP ∈ P(P(E)).

P est une partition deE si et seulement si : i) ∀A∈P,A6=∅;

ii) ∀A∈P,∀B∈P, (A6=B)⇒(A∩B=∅); iii) ∀x∈E,∃A∈P telle quex∈A.

Exemples :

1. pour toute partieA∈ P(E),PA={A, CE(A)}, est une partition deE; 2. P1={{x} |x∈E}est une partition deE;

3. {R^∗−,{0},R^∗+} est une partition deR.

Les op´erations ensemblistes et les connexions logiques sont ´etroitement li´ees. Montrons comment la conjonction, la disjonction ainsi que la n´egation de propri´et´es portant sur les ´el´ements d’un ensemble peuvent s’interpr´eter en termes ensemblistes : soient P et Qdeux propri´et´es portant sur les ´el´ements deE,

{x∈E|P(x) etQ(x)}={x∈E|P(x)} ∩ {x∈E|Q(x)}

{x∈E|P(x) ouQ(x)}={x∈E|P(x)} ∪ {x∈E|Q(x)}

{x∈E|nonP(x)}=C_E({x∈E|P(x)}).

Proposition II.7 Soient P et Qdeux propri´et´es sur les ´el´ements deE.

Il y a ´equivalence entre les ´enonc´es : (i) ∀x∈E, (P(x)⇒Q(x)) ;

(ii) {x∈E|P(x)} ⊂ {x∈E|Q(x)}.

D´emonstration : commen¸cons par montrer que (i)⇒(ii). Supposons donc que∀x∈E, (P(x)⇒Q(x)).

Soitx∈ {y|P(y)}. Alorsx v´erifie la propri´et´eP, donc l’hypoth`ese (i) montre que xv´erifie la propri´et´e Q : x∈ {y∈E|Q(y)}.Ceci prouve que{x∈E|P(x)} ⊂ {x∈E|Q(x)}, et ´etablit la premi`ere implication.

D´emontrons maintenant (ii)⇒(i) :

supposons que{x∈E|P(x)} ⊂ {x∈E|Q(x)}.

Soitx∈Ev´erifiantP. Alors x ∈ {y ∈ E | P(y)} et donc par l’hypoth`ese (ii), x ∈ {y ∈ E | Q(y)}, donc xv´erifieQ.L’implication r´eciproque est v´erifi´ee. CQFD

Exercice 2 Soient Eun ensemble etA, B∈ P(E) 1. Montrer queCE(A∩B) =CE(A)∪CE(B) ; 2. Montrer que (A∪B=A∩C)⇐⇒(B⊂A⊂C).

Exercice 3 Soient E, F et Gdes ensembles. D´emontrer que : a. E∩F =E⇔E⊂F.

b. E∪F =E⇔F ⊂E.

c. (E−F)∪(E−G) =E−(F∩G).

On rappelle queE−F={x∈E|x /∈F}.

En cherchant ces exercices, ainsi que les propositions laiss´ees en exercice, mettre l’accent d`es `a present sur la rigueur du raisonnement bien sˆur, mais aussi de la r´edaction.

II.3 Ensembles Produits

SoientE etF des ensembles.

D´efinition II.8 Six, y∈E, le couple (x, y) est le sous-ensemble deE (x, y) ={{x},{x, y}}.

Cette d´efinition permet d’´etablir en ordre entrexety qui n’existe pas dans la paire{x, y}: (x, y)6= (y, x).

Proposition II.9 Soient x, x⁰, y, y⁰∈E.

Il y a ´equivalence entre les ´enonc´es : (i) (x, y) = (x⁰, y⁰) ;

(ii) x=x⁰ ety=y⁰.

D´emonstration : (ii)⇒(i) est ´evident.

D´emontrons la r´eciproque (i)⇒(ii) : supposons que (x, y) = (x⁰, y⁰), c’est `a dire {{x},{x, y}}={{x⁰},{x⁰, y⁰}}.

Nous allons raisonner par l’absurde : supposons quex6=x⁰.

Alors{x} 6={x⁰} donc n´ecessairement,{x} ={x⁰, y⁰}. Mais dans ce cas, {x} ={x⁰, y⁰} est un singleton, donc x⁰ =y⁰, et par suite{x⁰}={x⁰, y⁰}={x} : contradiction.

Il en r´esulte quex=x⁰, donc{x}={x⁰}puis{x⁰, y⁰}={x, y}et finalementy=y⁰. CQFD D´efinition II.10 Le produit cart´esien deE parF (ou ensemble produit) est :

E×F ={(x, y)|x∈E ety∈F}.

Notation :E²=E×E.

Proposition II.11 Pour tousx, y∈E,

((x, y)∈E×F)⇐⇒(x∈E ety∈F). D´emonstration : (⇒) est ´evident.

(⇔) :Soit (x, y)∈E×F. Par d´efinition (II.10) du produit cat´esien, il existeu∈E etv∈F tel que (x, y) = (u, v).

Mais la proposition II.9 montre alors quex=uety=v, donc en particulierx∈E ety∈F.CQFD Proposition II.12 Pour tous ensemblesE,F,G,H, nous avons :

1. (E×F =∅)⇔(E=∅ ouF=∅) ;

2. (E×F =F×E)⇔(E=∅ouF =∅ouE=F) ; 3. (E×F)∪(E×G) =E×(F∪G) ;

4. (E×F)∪(G×F) = (E∪G)×F; 5. (E×F)∩(G×H) = (E∩G)×(F∩H).

D´emonstration : nous admettrons 1. et 2. Les trois ´egalit´es suivantes sont laiss´ees en exercice. ]]

ATTENTION : en g´en´eral, (E×F)∪(G×H)6= (E∪G)×(F∪H).

Par exemple,E =F ={1} et G =H = {−1}, ou encore E = F = [0,1], G= H = [2,3], donnent des contre- exemples. Faire des dessins pour s’en convaincre, avant d’´ecrire la d´emonstration.

Exercice 4 On poseE= [−1,4] ={x∈R| −16x64}etF = [0,6] ={x∈R|06x66}.

a. Repr´esenter sur un mˆeme dessin (dans le planR²=R×R) les ensembles C_E×F(A×B) etC_E(A)×C_F(B) dans le cas o`u A= [0,3] etB= [1,2].

b. Que peut-on en d´eduire de l’´enonc´e suivant

E, F ´etant des ensembles,∀A⊂E etB⊂F, C_E×F(A×B) =C_E(A)×C_F(B) ? c. D´emontrer queCE×F(A×B) = (CE(A)×F)∪(E×CF(B)).

II.4 Relations binaires sur un ensemble

Dans cette partie,Eest `a nouveau un ensemble.

D´efinition II.13

– Une relation binaireRsur E est une partie deE×E :R ∈E×E.

– Deux ´el´ements xety deE sont dits en relation parRsi(x, y)∈ R. Nous notons alors cecixRy.

Exemples :

(1) La relation6surN:

a6bsi et seulement si∃m∈Ntel que a+m=b; (2) La relation6surZ:

a6bsi et seulement sib−a∈N; (3) La congruence modulo 2πsurR:

x≡y[2π] si et seulement si∃k∈Ztel quex=y+ 2kπ.

(4) l’inclusion⊂surP(E).

D´efinition II.14 Une relation binaire RsurE est dite : – r´eflexive si∀x∈E, xRx;

– sym´etrique si ∀x, y∈E,(xRy)⇒(yRx);

– antisym´etrique si ∀x, y∈E,((xRy)et(yRx))⇒(x=y); – transitive si∀x, y, z∈E,((xRy)et (yRz))⇒(xRz).

Reprenons les exemples qui suivent la d´efinition II.13 : (1), (2) et (4) sont r´eflexives, antisym´etriques et transitives ; (3) est r´eflexive, sym´etrique et transitive.

D´efinition II.15

– Une relation d’´equivalence surE est une relation binaire surE, transitive, sym´etrique et transitive.

– Une relation d’ordre surE est une relation binaire surE, transitive, antisym´etrique et transitive.

Nous dirons souvent^hhordreⁱⁱ au lieu de^hhrelation d’ordreⁱⁱ . Un ensembleE munit d’une relation d’ordre6donne un couple (E,6) que nous appelerons ensemble ordonn´e.

D´efinition II.16 Soit(E,6)un ensemble ordonn´e.

– Deux ´el´ements xety deE sont comparables si et seulement si x6y ouy6x.

– Si tous les ´el´ements de E sont comparables, nous dirons que l’ordre est total surE.

– S’il existe des ´el´ements deE non comparables, alors l’ordre sera d´efini comme partiel.

Exemples :

1. les ordres^hhclasiquesⁱⁱ 6surN, Z,Rsont des ordres totaux sur ces ensembles ; 2. (P(E),⊂) est un ensemble ordonn´e, dont l’ordre est partiel. Le d´emontrer.

D´efinition II.17 Soient (E,6)un ensemble ordonn´e etA∈ P(E).

1. (a) xest un majorant de A (ouxmajoreA) si pour touta∈A,a6x.

Nous dirons alors queAest major´ee dans(E,6).

(b) y est un minorant deA (ouy minore A) si pour touta∈A,y6a.

Nous dirons alors queAest minor´ee dans(E,6).

2. (a) xest le plus grand ´el´ement deA si (x∈Aet xest un majorant de A).

On note alorsx= max(A)

(b) y est le plus petit ´el´ement de Asi ( y∈Aety est un minorant deA).

On note alorsy= min(A).

Remarques :

– Un ensemble n’a pas forc´ement de majorant :R+= [0,+∞[ n’est pas major´e dans (R,6), par exemple ; – Une partie major´ee n’a pas forc´ement de plus grand ´el´ement : [0,1[ dans (R,6) par exemple.

Exercice 5 Soit(E,6)un ensemble ordonn´e etA∈ P(E). On suppose queA admet un plus grand ´el´ement α.

D´emontrer que siβ est un plus grand ´el´ement deA, alors α=β.

Cet exercice prouve l’unicit´e (s’il existe !) du plus grand ´el´ement d’une partie d’un ensemble ordonn´e, justifiant ainsi l’utilisation a priori abusive de l’article^hhleⁱⁱ dans la d´efinition II.17.

D´efinition II.18 Soient (E,6)un ensemble ordonn´e etA∈ P(E).

1. SiA est major´ee, on noteM(A) l’ensemble des majorants deA.

On dit que A admet une borne sup´erieure si l’ensemble M(A) poss`ede un plus petit ´el´ement et on note alors sup(A) = min(M(A)).

2. SiA est minor´ee, on notem(A)l’ensemble des minorants de A.

On dit que A admet une borne inf´erieure si l’ensemble m(A) poss`ede un plus grand ´el´ement et on note alors inf(A) = max(m(A)).