Anneaux Z/nZ - Applications
Dans tout ce donument, n∈N∗.
1 Relation de congruence et d´ efinition de l’ensemble Z/nZ
D´efinition 1.1
Soienta, b∈Z. On dit queaest congru `abmodulonlorsquendivisea−b. On note alorsa≡b (mod n).
Proposition 1.2
La relation de congruence modulonest une relation d’´equivalence surZ.
Notation 1.3
On noteZ/nZl’ensemble des classes d’´equivalence pour la relation de congruence modulon.
Proposition 1.4
Pour touta∈Z, il existe un unique entierb∈J0 ;n−1Ktel quea≡b (modn).best le reste de la division euclidienne deaparn.
Corollaire 1.5
Z/nZa exactementn´el´ements :0,1, . . . , n−1.
2 Structure alg´ ebrique de Z/nZ
Proposition 2.1
Soienta, a0, b, b0∈Ztels quea≡a0 (mod n)etb≡b0 (mod n). Alorsa+a0≡b+b0 (mod n)etab≡a0b0 (modn).
D´efinition 2.2
Soientα, β∈Z/nZ,a, b∈Ztels queα=aetβ =b. On d´efinit+et×par :α+β=a+betα×β=a×b.
Remarque 2.3
La proposition pr´ec´edente assure que le r´esultat de α+β et α×β est ind´ependant des repr´esentants respectifsaet bdeαetβ.
Th´eor`eme 2.4
(Z/nZ,+,×)est un anneau commutatif.
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Proposition 2.5
Soitk∈Z.kest inversible dansZ/nZsi et seulement sik∧n= 1.
Corollaire 2.6
Z/nZest un corps si et seulement sinest premier.
3 Applications
3.1 Crit` eres de divisibilit´ e
Th´eor`eme 3.1 Soita∈N∗.
(i) aest divisible par 2 si et seulement siase termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ; (ii) aest divisible par 5 si et seulement siase termine par 0 ou 5 ;
(iii) aest divisible par 3 (respectivement par 9) si et seulement si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3 (respectivement par 9) ;
(iv) aest divisible par 4 si et seulement si le nombres form´e par les deux derniers chiffres est divisible par 4 ;
(v) aest divisible par 10 si et seulement siase termine par 0.
3.2 Groupes cycliques
Proposition 3.2
Un groupe cyclique `an´el´ements est isomorphe `a(Z/nZ,+).
3.3 Equation diophantienne
L’´equationx2−y2= 18, d’inconnue (x , y)∈Z2 n’a pas de solution dansZ2
3.4 Th´ eor` eme chinois
Th´eor`eme 3.3
Soit(a, b)∈(N∗)2. Les anneauxZ/abZet Z/aZ×Z/bZsont isomorphes si et seulement sia∧b= 1.
3.5 Th´ eor` eme des restes chinois et syst` emes de congruences
Th´eor`eme 3.4
Soientp∈N∗,n1, . . . , np des entiers naturels deux `a deux premiers entre eux et(a1, . . . , ap)∈Zp. Alors le syst`eme de congruences d´efini par : ∀k∈ J1, pK, x ≡ak (modnk) admet une unique solution modulo N =n1. . . np, donn´ee parx≡
p
P
k=1
ukNkak, o`u pour toutk∈J1, pK, Nk= nN
k et uk ≡Nk−1 (modnk).
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3.6 Indicatrice d’Euler
D´efinition 3.5
On supposen>2. On noteϕ(n)le nombre d’entiers compris entre 1 etnet premiers avecn.ϕest appel´e indicatrice d’Euler.
Proposition 3.6
(i) Soientp, q∈N∗, avecp∧q= 1. Alorsϕ(pq) =ϕ(p)ϕ(q); (ii) Si
N
Y
k=1
prkk est une d´ecomposition denen produit de facteurs premiers, on a :
ϕ(n) =
N
Y
k=1
(prii−prii−1) =n
N
Y
k=1
1− 1
pi
3.7 Le petit th´ eor` eme de Fermat
Th´eor`eme 3.7
Soitpun nombre premier. Alors pour toutn∈N,np≡n (modp).
3.8 Cryptage RSA
Proposition 3.8
Soient pet q deux nombres premiers distincts. On posen=pq. Soient c et ddeux entiers naturels tels quecd≡1 (modϕ(n)). Alors pour tout t∈Z,tcd≡t (mod n).
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