ANNEAUX Z/nZ. APPLICATIONS.

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�� ANNEAUX Z /n Z . APPLICATIONS.

SoitnœN^ú. On désigne parPl’ensemble des nombres premiers.

I. Structure de Z /n Z

I. A. Le groupe ( Z /n Z , +)

[Rom��, §�.�-�/�.�/��.�, p��–��/��/��] [Per��, §�.�/�.�, p��/��]

D��. Deux entiersx, ysont dis congrus modulonsix≠yœnZ. C’est une relation d’équivalence surZ. On notexla classe dexetZ/nZ=)0, . . . , n≠1*.

P��. (Z/nZ,+)est un groupe cyclique ànéléments engendré par1.

A��. Tout groupe cyclique ànéléments est isomorphe àZ/nZ.

E��. UⁿƒZ/nZ: considérerZ/nZ≠æUⁿ, k‘≠æe^2ikﬁ/n.

P��. L’ordre dekœZ/nZest_kⁿ_·_n.

C��. (Z/nZ,+)est engendré par lesktels quek·n= 1.

E��. Z/8Zest engendré par1,3,5et7.

D��. [�� ’E��]

PournØ2, on définitÏ(n)le nombre de générateurs de(Z/nZ,+).

E��. PourpœP, on aÏ(p^–) =p^–(p≠1)pour–œN^ú.

P��. [��-�� Z/nZ]

Pourd| n, il existe un unique sous-groupe deZ/nZd’ordred, engendré parⁿ_d et formé des éléments dont l’ordre divised.

P��. Sid|n,Z/nZcontientÏ(d)éléments d’ordred.

A��. n=q

d|nÏ(d)

T��. [�� ]

SoitGun groupe abélien fini. Alors il exister Ø 1et2 Æ d1 | · · · | druniques tels que Gƒrr

i=1Z/diZ.

E��. Les groupes abéliens d’ordre24sont isomorphes àZ/24Z,Z/12Z◊Z/2Zet Z/6Z◊(Z/2Z)².

I. B. L’anneau ( Z /n Z , +, ◊ )

[Rom��, §��.�-�, p��–��] [Per��, §�.�, p��–��]

P��. Les idéaux deZsont les(kZ)kœN.

D��. L’ensemble des classes modulonest muni d’une structure d’anneau : on définit l’anneau commutatif(Z/nZ,+,◊).

R��. Les idéaux de l’anneauZ/nZsont les sous-groupes du groupeZ/nZ. A��. SoitAun anneau commutatif unitaire. Il existe un unique entier positif, ap- pelé caractéristique deA, notécar(A), tel que le sous-anneau premier deAest isomorphe à Z/car(A)Z.

P��. Les inversibles de(Z/nZ,+,◊)sont lesktels quek·n= 1. Ils forment un groupe àÏ(n)éléments.

A��. On a l’isomorphisme(Aut(Z/nZ),¶)ƒ((Z/nZ)^◊,◊).

P��. Z/nZest intègre si et seulement si c’est un corps si et seulement sinœP. [Rom��, §��.�, p��–��]

T��. [�� ]

Si n, m Ø 1, alors on a l’isomorphisme d’anneaux Z/nmZ ƒ Z/mZ ◊ Z/nZ si et seulement sin·m= 1.

C��. Sin = rr

i=1p^–_iⁱ, alors(Z/nZ)^◊ ƒ rr

i=1(Z/p^–_iⁱZ)^◊et on en déduit Ï(n) =rr

i=1Ï(p^–_iⁱ) =rr

i=1p^–_iⁱ^≠1(pi≠1).

T��. SipœP,((Z/pZ)^◊,◊)est cyclique.

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��– AnneauxZ/nZ. Applications.

II. Application à l’arithmétique dans Z

II. A. Tests de primalité

[Rom��, §��.�/��.�-�, p��–��/��–��] [Gou��, §�.�, p��–��]

T��. [�� ’E��]SoitaœZpremier avecn. Alorsa^Ï(n)©1 modn.

T��. [�� F��]

SoitpœPetaœZtels quep-a. Alorsa^p≠1©1 modp.

R��. La réciproque est fausse! Par exemple avec561. En revanche, pour tout aœZ, on aa^p©1 modp.

D��. [�� C��]

Un entiern >1non premier est deC��si’aœZ, a·n= 1 =∆a^n≠1©1 modn.

P��. Un nombre deC��est impair et sans facteur carré.

A��. [��RSA]

Alice veut envoyer un message privé à Bob.

• Bob choisit deux entiers premiers distinctsp, qœPet posen=pq, puis il choisit ensuite d, e œ Ztels quede©1 modÏ(n)(on aÏ(n) = (p≠1)(q≠1)et il su�it de trouverd premier àÏ(n)et son inverse).

• Bob di�use la clé publique(n, d)à tout le monde et converse la clé secrète(n, e).

• Pour envoyer son messagem modn, Alice envoie le message chi�réM ©m^d modn.

• Bob déchi�re le messagem=M^e modnd’après le théorème d’E��.

Le succès de cet algorithme réside dans la di�iculté de factorisation d’un entier.

T��. [�� W��]SinØ2, on anœP ≈∆(n≠1)!© ≠1 modn.

II. B. Équations arithmétiques

[Rom��, §��.�-�, p��–��]

Soientn, mØ2.

T��. Soita œ N^ú, b œ Z. On note” = a·net on écrita = ”a^Õetn = ”n^Õ. L’équationax © b modna des solutions entières si et seulement si” | bet dans ce cas, si b = ”b^Õ, les solutions sont lesb^Õx^Õ₀+kn^Õaveck œ Zetx^Õ₀est une solution particulière de a^Õx©1 modn^Õ.

T��. Dans le Théorème��, l’isomorphisme est donné parÂ:a modnm‘≠æ(a modn, a modm)de réciproqueÂ^≠1 : (a modn, b modm)‘≠æunb+vma modnm où l’on a choisitu, vœ Ztels queun+vm= 1.

A��. Soita, bœZet(S)le système d’équations;

x©a modn

x©b modm d’inconnue xœZ. Sin·m= 1, alors

• on cherche une relation deB��un+vm= 1avecu, vœZ,

• on a alors une solution particulière deS:x₀=unb+vma,

• les solutions deS sont les(x0+knm)_kœZ. E��. Les solutions de;

x©2 mod 3

x©4 mod 5 sont les(14 + 15k)kœZ.

II. C. Résidus quadratiques modulo p

[Rom��, §��.�-�, p��–��] [Per��, §�.�, p��–��]

SoitpœP. On noteF^ple corpsZ/pZ, puisF²p=)

x²|xœF^p*etF^úp2=F²pﬂF^úp. P��. Sip= 2, alorsF²p=F^p. Sinon, on a--F²p

--=^p+1₂ .

A��. Poura, bœF^úpetcœF^p,ax²+by²=cadmet des solutions dansF^p. On suppose dans la suitepimpair.

L��. On axœF^úp2

≈∆x^p^≠1² = 1.

E��. DansZ/7Z,2est un carré mais par3.

On aimerait savoir rapidement si un entieradonné est un carré modulop, donc savoir six²©a modpadmet ou non une solution entière.

D��. [�� L��]

SoitaœZ, on appelle symbole deL��(deamodulop) l’entier : 3a

p 4=

Y] [

1 six²©a modpest résoluble etp-a 0 sip|a

≠1 sinon

P��. On a1

a p

2©a^p≠1² modppour toutaœZ.

(3)

E��. ≠1est un carré modulopsi et seulement sip©1 mod 4.

P��. 1

a p

2=1_a+kp

p

2pour touta, kœZ. On peut donc définirxœF^p‘≠æ1

x p

2. C’est l’unique morphisme de groupes non trivial de(F^úp,◊)vers({±1},◊).

R��. PouraœZ, le nombre de solutions dex²=adansF^pest1 +1

a p

2.

T��. [�� ]

Soientp”=qdes nombres premiers impairs. Alors1

p q

2 1q p

2= (≠1)^p^≠1² ^q^≠1² .

P��. Pourppremier impair, on a1₂

p

2= (≠1)^p²⁸^≠1. Ainsi2est un carré modulo

psi et seulement sip©±1 mod 8.

On peut donc calculer1

n p

2pour tout entiern.

E��. !₂₆

307"

=! ₂

307" !₁₃

307"

=≠(≠1)^13≠1² ^307≠1² !₃₀₇

13"

=≠!₈

13"

=≠!₂

13" !₄

13"

=≠1

Ainsi26n’est pas un carré modulo307.

III. Applications aux polynômes et à la théorie des corps

III. A. Irréductibilité dans Z [X] et Q [X], réduction modulo p

[Rom��, §��.��.�, p��–��] [Per��, §�.�-�.�, p��–��] [FGN��, §�.��, p��–��]

P��. Un polynôme de degré supérieur ou égal à1est irréductible dansZ[X]

si et seulement si il est de contenu1et irréductible dansQ[X].

P��. [�� ’E��]

SoitP = qr

i=0aiXⁱ œ Z[X]. Soitp œ P. Sip - ar,’i < r, p | aietp² - a0, alorsPest irréductible dansQ[X].

E��. Sim œ Za un facteur premier sans carré alorsXⁿ≠mest irréductible dans Z[X]pour toutnœN.

P��. SoitpœPetP =qr

i=0aiXⁱ œZ[X]. SoitPla réduction dePmodulo p. Sip-anet siPest irréductible dansF^p[X], alorsPest irréductible dansQ[X].

E��. X³+462X²+2433X≠67691est irréductible dansZ[X], tout commeX^p≠X≠1 pour toutpœP.

D��. [�� ]

On définit len-ième polynôme cyclotomique n œCⁿ[X]par n(X) =r

’œU^◊ⁿ(X≠’).

P��. nœZ[X].

T��. nest irréductible surZet donc surQ. C��. On a[Q[e^2iﬁ/n] :Q] =Ï(n).

III. B. Corps finis

[Per��, §�.�, p��–��] [Rom��, Ch��, p��]

P��. SiKest un corps fini, sa caractéristique est un nombre premierpœPet son sous-corps premier est isomorphe àF^p.

C��. SiKest un corps fini, alorsKest unFp-espace vectorieloùp= car(K), de cardinalpⁿoùn= dim_Fp(K). De plus, tout sous-corps deKest de cardinalp^dpour und|n et réciproquement pour toutd|nil existe un unique sous-corps deKde cardinalp^d.

T��. Il existe un corps fini àq=pⁿéléments pour toutpœP, nœN^ú. Il s’agit du corps de décomposition deX^q ≠XsurF^pou de tout autre polynôme irréductible deF^p. Ce corps est unique à isomorphisme près.

E��. F2[X]/(X²+X+ 1)est un corps à4éléments de caractéristique2.

C��. Tout corps de rupture d’un polynômePirréductible surFp[X]est un corps de décomposition dePsurF^p.

(4)

��

Lorsque l’on fait de l’arithmétique dansZ, on s’intéresse rapidement à l’arithmétique modulaire, c’est-à-dire le reste d’un nombre modulon. La puissance de l’arithmétique modulaire provient surtout des di�érentes structures deZ/nZ, naturellement héritées de la structure de Z.

Dans la première partie, on quotienteZparnZ. Tout groupe cyclique est de ce type, et on connaît précisément ses générateurs. En ajoutant la multiplication, on obtient une structure d’anneau. On peut alors déterminer les inversibles deZ/nZ, ce qui set par exemple pour les équations arithmétiques. Le cas particulier des corps (npremier) et le théorème chinois sont des résultats très utiles.

Ensuite, on s’intéresse à l’arithmétique dansZ, avec le théorème deF��, dont la réciproque est fausse et les contre-exemples sont les nombres deC��. Les applications en cryptographie sont importantes comme par exemple l’algorithme RSA, mais. De nombreux résultats sur les équations diophantiennes découlent également de notre étude. Enfin le cas particulier des corps mène à la loi de réciprocité quadratique afin de savoir rapidement si un nombre est un carré ou non dansZ/pZ.

Enfin, l’étude deZ/nZamène des avancées dans d’autres domaines de l’algèbre, notamment des résultats d’irréductibilité de polynômes et la construction de tous les corps finis à partir d’un polynôme à coe�icients dansZ/pZ.

��

Pour les tests de primalité et les algorithmes de chi�rement, voir aussi [Zé��].

Il faut connaître :

• les morphismes de groupes deZ/nZdansZ/mZs’identifient au groupeZ/(n·m)Z. Si m | nle seul morphisme d’anneaux deZ/nZdansZ/mZestkn ‘≠æ km. Sinon, il n’y a aucun morphisme,

• les diviseurs de0de l’anneau(Z/nZ,+,◊)sont leskaveck·n= 1. Les éléments nilpotents forment l’idéal deZ/nZengendré parp₁. . . proùn=p^–₁¹. . . p^–_r^r,

• savoir ce que devient le théorème chinois sinetmne sont plus premiers entre eux,

• savoir que la réciproque du théorème de réduction moduloppour les polynômes deZ[X] est vraie : voir pourX⁴+ 1dans [Per��].

��

Q Démontrer la proposition�.

Q Quel est l’ordre maximal d’un élément de(Z/nZ◊Z/mZ,+)? R PPCM(m, n).

Q Quelle est la caractéristique deZ/aZ◊Z/bZpoura, bœN? Et der

kœN^úZ/kZ? R PPCM(a, b)puis0, bien quer

kœN^úZ/kZ« contienne » tous lesZ/nZ. Q Expliciter l’isomorphisme du théorème chinois.

R On trouve une relation deB��(3+5≠7 = 1) ou on résout deux systèmes puis on ajoute le troisième.

Q Quels sont les nilpotents deZ/nZ? R Écrivons n = rr

i=1p^–_iⁱ. Si m œ rr

i=1piZ, alors m est nilpotent d’ordre au plus max1ÆiÆr–i. Réciproquement simest nilpotent alors pour tout1ÆiÆr, on api|m.

Attention : être nilpotent ne signifie pas être non inversible! Par exemple2dansZ/6Zn’est ni nilpotent, ni inversible.

Q Condition nécessaire pour queP œZ/nZ[X]soit inversible?

Q Soitn Ø 2etepremier avecÏ(n). Montrer queZ/nZ^ú ≠æ Z/nZ^ú, x ‘≠æ x^eest une bijection, et exhiber la réciproque (voir l’algorithme RSA).

Q Soient) p, q premiers impairs, Â : (Z/pqZ)^ú ≠æ (Z/pZ)^ú ◊ (Z/qZ)^ú et E = xœ(Z/pqZ)^ú|1Æx < ^pq₂*. DéterminerIm(E).

��

[FGN��] S.F��, H.G��et S.N��:Oraux X-ENS - Algèbre�. Cassini,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Algèbre. Ellipses,�^èmeédition,��.

[Per��] D.P��:Cours d’algèbre. Ellipses,��.

[Rom��] J.-E.R��: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,

��.

[Zé��] G.Z��:Cours de cryptographie. Cassini,��.

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