109: Anneaux Z /n Z. Applications.

109: Anneaux Z /n Z. Applications.

Pierre Lissy December 18, 2009

1 L'anneau Z /n Z

1.1 Dénition.[2]

Dénition-proposition 1. Considérons l'anneau des entiersZ. Ses seuls idéaux sont les ensem- blesnZ, avec n ∈N. On peut donc s'intéresser à l'anneau quotient Z/nZ:= {a+nZ|a∈Z} = {a+nZ|a∈ {0, . . . , n−1}}, ces n dernières classes étant distinctes. C'est donc un ensemble àn éléments. La classe dea modulonsera notée Cn(a).

Remarque 1. Cet anneau n'est pas intègre en général.

Exemple 1. C₆(0) =C₆(2)C₆(3).

1.2 Structure de groupe de Z /n Z.[1]

Proposition 1. Soitn∈N. DansZ/nZ,o(C_n(m)) = n

n∧m. Donc (Z/nZ,+) est cyclique et ses générateurs sont lesmtels que n∧m= 1.

Dénition 1. On poseϕ(n) le nombre d'entiers naturels k 6n tels quek∧n= 1. C'est donc aussi le nombre de générateurs de(Z/nZ,+).

Exemple 2. Sipest premier, tous les éléments à part0 sont d'ordrep. Doncϕ(p) =p−1. Proposition 2. [1]Soitdun diviseur naturel den. AlorsZ/nZa exactement un seul sous-groupe d'ordred, qui est< Cn(n

d)>.

On peut calculerϕde manière récursive pas la formule suivante:

Proposition 3. n=P

d|n

ϕ(d).

Exemple 3. ϕ(1) = 1. ϕ(2) = 2−ϕ(1) = 1. ϕ(3) = 3−ϕ(1) = 1. ϕ(4) = 4−ϕ(2)−ϕ(1) = 2. ϕ(5) = 5−ϕ(1) = 4. ϕ(6) = 6−ϕ(1)−ϕ(2)−ϕ(3) = 3. Et ainsi de suite.

1.3 Eléments inversibles.[1]

Proposition 4. Cn(k)est inversible dans (Z/nZ,∗)⇔k∧n= 1⇔k engendre (Z/nZ,+). Il y a donc exactementϕ(n)éléments inversibles.

Remarque 2. Pour calculer explicitement l'inverse d'un élément modulo n, on peut appliquer l'algorithme d'Euclide étendu.

Exemple 4. Un inverse de47modulo 111 est26.

Corollaire 1 (Théorème d'Euler). Six∧n= 1,x^ϕ(n)≡1[n].

Corollaire 2. Z/nZest un corps ⇔n est premier⇔Z/nZest un anneau intègre. De plusZ/pZ est l'unique corps (à isomorphisme près) de cardinalp.

1.4 Nilpotents. Idempotents.

Proposition 5. Tout élément tel quex∧n= 1est idempotent dansZ/nZ. Les nilpotents deZ/nZ sont lesCn(d)oùdest tel que tout nombre premier divisant ndivise aussi d.

2 Lemme chinois et applications.

2.1 Lemme chinois.[1]

Théorème 1. Soient p₁, . . . , p_n des entiers premiers entre eux deux à deux. Alors en tant qu'anneaux, Z/p₁p₂. . . p_n ' Z/p₁Z×Z/p₂Z×. . .×Z/p_nZ. Inversément, si Z/p₁p₂. . . p_n ' Z/p₁Z×Z/p₂Z×. . .×Z/p_nZalors les nombresp₁, . . . , p_n sont premiers entre eux deux à deux.

Exemple 5. Z/6Z'Z/2Z×Z/3Z.

Corollaire 3. Soient p1, . . . , pn des entiers premiers entre eux deux à deux. Alors en tant que groupes,(Z/p1p2. . . pn)^∗'(Z/p1Z×Z/p2Z×. . .×Z/pnZ)^∗

2.2 Résolution de systèmes de congruences.[6]

On cherche à résoudre le système de congruence suivant:

x≡a[n]

x≡b[m]

avec n∧m=1. Le lemme chinois nous assure qu'il existe une solution x₀. De plus, toutes les autres solutions du système sont alors de la formex₀+nmtavect∈Z. Il reste donc à trouver une solution particulière: siuest un inverse denmodulom(que l'on peut calculer explicitement avec l'algorithme d'Euclide étendu), on peut montrer quea+n(b−a)uconvient.

Exemple 6.

x≡10[47]

x≡5[111]

Les solutions sont de la forme4334 + 5217t.

2.3 Calcul de ϕ(n) .[1]

Lemme 1. ϕest une fonction multiplicative, ie. ∀(m, n)∈N²,ϕ(mn) =ϕ(n)ϕ(m) Théorème 2. Soit n ∈ N^∗. On décompose n en facteurs premiers: n = Q

i

p^α_iⁱ. Alors ϕ(n) = Q(p^α_iⁱ−p^α_iⁱ⁻¹).

Exemple 7. ϕ(21060) =ϕ(4∗13∗5∗81) = (2²−2)(13−1)(5−1)(3⁴−3³) = 2∗12∗4∗54 = 5184.

2.4 Automorphismes de Z /n Z.[1]

Théorème 3. Aut(Z/nZ)'(Z/nZ)^∗.

Lemme 2. Sipest un nombre premier impair etα∈N^∗), on a (Z/p^αZ)^∗'Z/ϕ(p^α)Z.

Lemme 3. (Z/2Z)^∗'1. Pourα>2,(Z/2^αZ)^∗'Z/2Z×Z/2^α−1Z.

On en déduit par le Corollaire3les automorphismes deZ/nZ.

3 Applications.

3.1 Critères de divisibilité[2]

Théorème 4. Soitnun entier naturel que l'on écrit sous forme décimalea_ka_k−1. . . a₀. Alors 1. nest congru àa₀ modulo 2,

2. nest congru àa₀+a₁+. . .+a_k modulo 3, 3. nest congru àa0 modulo 5,

4. nest congru àa0+ 3a1+ 2a2−a3−3a4−2a5+. . . modulo 7, 5. nest congru àa0+a1+. . .+ak modulo 9,

6. nest congru àa0−a1+. . .+ (−1)^kak modulo 11

7. nest congru àa0−3a1−4a2−a3+ 3a4+ 2a5+a6+. . . modulo7,.

3.2 Caractéristique d'un anneau. Sous-corps premier. Corps nis.[5]

Dénition 2. Soit A un anneau. Soit le morphisme d'anneaux

f: Z → A

n 7→ n1A

.

Alors Le noyau def étant un idéal deZ, on aIm(f)'Z/nZavecn∈N. Cet entier nest appelé la caractéristique de l'anneauA. Sin= 0,f est injectif, et nécessairement Aest de cardinal inni (car il contient un sous-anneau isomorphe àZ), de plusk1A= 0⇔k= 0. Sin6= 0, le morphisme est non injectif,A contient un sous-anneau isomorphe àZ/nZet k1A = 0⇔n|k. Dans les deux cas,Z/nZest le plus petit sous-anneau inclus dansA.

Exemple 8. La caractéristique deMn,m(Z/nZ) =est n.

Proposition 6. Si A est un anneau intègre, alors la caractéristique de A est 0 ou un nombre premier

Corollaire 5. Si k est un corps, sa caractéristique est 0 ou un nombre premier. De plus, si sa caractéristique est nulle, k contient un sous-corps isomorphe à Q. Si sa caractéristique est un nombre premierp,k contient un sous-corps isomorphe à Z/pZ. Dans les deux cas, ce sous-corps est le plue petit sous-corps inclus dansk. Il est appelé sous-corps premier dek.

Théorème 5. Soitk un corps ni de caractéristiqueppremier. Alors ∃n∈N^∗ tel que|k|=pⁿ. Remarque 3. La notion de sous-corps premier est invariante par extension de corps: si k⊂L est une extension de corps, le sosu-corps premier deLest le même que celui de k.

3.3 Détermination de tous les groupes abéliens nis.[4]

Théorème 6. SoitGun groupe abélien ni (de cardinal au moins2). Alors il existe une unique suite d'entiers>2 vérianta1|a2|. . .|an tels queG'

n

Q

i=1

Z/aiZ.

Exemple 9. Les sous-groupes de cardinal8sont : Z/8Z,Z/2Z×Z/4ZetZ/2Z×Z/2Z×Z/2Z.

3.4 Quelques équations diophantiennes.[2]

Dénition 3. On appelle équation diophantienne une équation de la formeP(x, y, z) = 0 avec P un polynôme à trois variables, et (x, y, z)un triplet d'entiers.

Théorème 7. Pour que(x, y, z)∈N³soit solution de l'équation diophantienne suivante :x²+y²= z², il faut et il sut qu'il existe d∈N et deux entiers naturelsuet v premiers entre eux tels que (x, y, z)ou(y, x, z)soit égal à(d(u²−v²),2duv, d(u²+v²)).

Théorème 8. Les équations suivantes n'ont pas de solutions non triviales (ie. avec x = 0 ou y= 0):

x⁴+y⁴=z² x⁴+y⁴=z⁴ x³+y³=z³

Remarque 4. Willes a démontré en 1995 que l'équation diophantiennexⁿ+yⁿ=zⁿ n'a pas de solutions non triviales pourn>3, ce que Fermat prétendait pouvoir prouver!

3.5 Système de cryptage RSA.[2]

Ce système repose sur le principe suivant: Si l'on se donne un nombre N grand, (ayant par exemple une écriture décimale à150 ou200chires), un ordinateur mettrait des dizaines d'années à calculer les facteurs premiers deN. SoitEun réseau de personnes souhaitant communiquer entre elles. Le chef du réseau choisit deux entiers premiers très grandspet q, pose N :=pq et calcule ϕ(n) = (p−1)(q−1). Pour chaque membreAdu réseau, il choisiteApremier avecϕ(N)et il calcule un inversedA deeA moduloϕ(N). Il publieeA et N mais garde secretϕ(N). Il communique à chaque membre du réseau sondAque celui-ci garde secret. Pour envoyer un message, l'expéditeur A (qui souhaite communiquer avec B) code les caractères du message en nombres, puis fabrique des suites de nombres de longueur strictement inférieur à la longueur depet q(pour assurer que ces suites de nombres soient premières àN). SoitM une telle suite. Acalcule le resteX modulo N deM^eB et le transmet à B. Celui-ci peut reconstituer la suite (grâce au théorème d'Euler) en calculantX^dB.

3.6 Loi de réciprocité quadratique et applications

Dénition 4.

3.7 Critère d'irréductibilité de polynômes.[1]

Théorème 9 (Critère d'Eisenstein). Soit P ∈ Z[X], P = a_nXⁿ +. . .+a₀. Soit p un nombre premier. On suppose:

1. p6 |an,

2. p|ai, pour i6n−1, 3. p²6 |a0.

Alors P est irréductible surQ.(et donc dansZpourvu que P soit primitif)

Exemple 10. Si p est un nombre premier,X^p−1+. . .+X+ 1 est irréductible sur Z.

Théorème 10 (réduction modulo p). Soitpun nombre premier et soit P ∈Z[X],P =anXⁿ+ . . .+a . On pose P¯ =C (a )Xⁿ+. . .+C (a ). SiP¯ est irréductible dans /p [X], alors P est

3.8 Tests de primalité.

Théorème 11. Soit un entier n > 2 vériant: ∃a ∈ Z tel que a⁽ⁿ⁻¹⁾ ' 1[n] et ∀k < n−1, a^k 6'1[n]. Alors nest premier.

Théorème 12. Soit un entiern>2dont la décomposition en facteurs premiers estn=p^α₁¹. . . p^α_k^k vériant: ∀i,∃ai∈Ztel quea^(n−1)/p_i ⁱ '1[n] et∀k < n−1, a^k 6'1[n]. Alors nest premier.

Théorème 13. Soitpun nombre premier. Soit h∈ {1, . . . , p−1}. On pose n:= 1 +hp² et on suppose que2ⁿ⁻¹'1[n]mais2^h6'1[n]. Alorsn est premier.

Ce dernier test permet d'obtenir des grands nombres premiers.

Exemple 13. p= 2¹²⁷−1 est premier et h= 190convient, donc 1 + 190p² est premier).

Developpements : équations diophantiennes [2], automorphismes deZ/nZ[1], tests de primalité [5]

References

[1] Perrin [2] Combes [3] Ortiz [4] Querré

[5] Gourdon algèbre [6] Itard nombres premiers