Chap 11 : L'anneau Z/nZ
Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 1
Chap 11 : L'anneau /n
I. Construction
, . On définit (correctement) le produit . , , est un anneau commutatif et unitaire.
a b a b a b
n
: /n est un morphisme d'anneaux surjectif, de noyau
s n
a a
1 || , 1
2. engendre
est un corps est prem est inversible dans
er i
n k k n k ssi k n
n ssi n
ssi k n n
( )
( ) .
1 0 |
1, 1 . | ( )
[ ]. deg .
S
Pour un anneau , on note le groupe des éléments inversibles de ,
Si est premier, le nombre de racines de (vrai ann i
eau intèg
I
A U A A
n k
k k n U n
d d n
P X n P P
n d n
n
k
re commutatif)
Si non premier, il peut y avoir plus de racinesn
II. Indicatrice d’Euler, théorème chinois
, deux anneaux A B
( , ) ( ', ') ( ', ')
(1 ,1 ) ( , ) ( ', ') ( ', ')
( ) ( ) ( ) ( ) card ( / )
muni des lois : est un anneau d'élément neutre
Indicatrice d'Euler :
A B
a b a b a a b b
A B a b a b aa bb
U A B U A U B n U n
|| [ / ] |{ }|
Cet anneau n'est jamais intègre x d multiples de dx
1 ( ) ( ) ( )
, 2, n et sont isomorphes mn m n
m mn
n m
n m
( )
1 1 1
( , ) , [ ], [ ] , 1
1 1
( 1 | ) ( ) 1 1
on cherche tq tq ,
premier r r r i i
I
r r r
i i i i
i i
p
a b x x a m x b n u v um vn x umb vna
p n p n p p p p
p p
, [ ] , 1 1 ][
Fermat : nombre premier, p x xp x p , et si xp xp p
2, . 1 ( ) 1 ][
Théorème d'Euler : n a a n a n n
// // 1
2 ( 1)! 1[ ] (racines de 1 avec )
Wilson : premier p
HP p p p p X Fermat
(
1
) ( ( ) { ( )}
, 1 1 1 |
/ ) *
) (
1
tq ,
est cycliq
(nb racines ds 1 corps deg P) ue
,
a G N
I
p
c G N c ppcm a
a G a N p c N
G
p
p
1
( ) 2
1 2
3 / * 1 1
2
/ * { 1;1} 1 / 1[4]
Résidus quadratiques : premier. Le nb de carrés de est : c'est l'ens. des racines de
, est carré dans
p I
p
p p p X
a p a p ssi p
