limite en un point

Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr

le 28 Novembre 2008

Fonctions r´ eelles d’une variable r´ eelle : limite en un point, fonctions ´ equivalentes

1 Hypoth` ese (H

).

Soitf une fonction deRdans Rd’ensemble de d´efinitionD_f (un sous-ensemble de Rsur lequel est d´efinie f; ce n’est pas n´ecessairement le plus grand) :

f : D_f ⊂R −→ R

x 7→ f(x)

Soit x0 ∈R. On dit que f v´erifie l’hypoth`ese (Hx0)si il existe a∈R oub ∈R tels que : ou bienx₀ ∈ D_f,

ou biena < x₀ et ]a, x₀[⊂ D_f, ou bienx0 < b et ]x0, b[⊂ Df,

ou biena < x₀ < b et ]a, x₀[∪]x₀, b[⊂ D_f.

On dit que f v´erifie l’hypoth`ese (H+∞)si il existe a∈R tel que : ]a,+∞[⊂ D_f,

On dit que f v´erifie l’hypoth`ese (H_−∞)si il existe b∈R tel que : ]− ∞, b[⊂ D_f,

Pourf, fonction v´erifiant (H_x0) (x₀ ∈R¯ :=R∪ {−∞} ∪ {+∞}), on peut introduire une notion de limite de f(x) lorsque x tend vers x₀.

Exemples 1.1 i) Soit la fonction sur R d´efinie par f(x) = ^sin_x^x. Le domaine de d´efinition maximal de f est D_f =R^∗.

Donc f v´erifie (H_x0) quel que soit x₀ ∈R.¯

ii) Soit la fonction sur R d´efinie par f(x) =p _x

x−2.

Le domaine de d´efinition maximal de f est D_f =]− ∞,0]∪[2,+∞[.

Donc f ne v´erifie pas (Hx0) pour x0 ∈]0,2[.

2 Limite d’une fonction r´ eelle d’une variable r´ eelle en un point.

Dans la suite, f est une fonction de R dans R de domaine de d´ efinition

D

.

2.1 D´ efinitions et propri´ et´ es.

D´efinition 2.1 i) Soit x₀ ∈R. On suppose que f v´erifie (H_x0).

On dit que f(x) admet une limite (ou converge vers) l ∈ R quand x tend vers x₀ si :

∀² >0,∃α >0/∀x∈ D_f,(|x−x₀|< α=⇒ |f(x)−l|< ²).

On note alors

x→xlim0

f(x) =l.

ii) On suppose que f v´erifie (H+∞).

On dit que f(x) admet une limite (ou converge vers) l ∈ R quand x tend vers +∞ si :

∀² >0,∃M > 0/∀x∈ D_f,(x > M =⇒ |f(x)−l|< ²).

On note alors

x→+∞lim f(x) = l.

ii) On suppose que f v´erifie (H−∞).

On dit que f(x) admet une limite (ou converge vers) l ∈ R quand x tend vers −∞ si :

∀² >0,∃M < 0/∀x∈ D_f,(x < M =⇒ |f(x)−l|< ²).

On note alors

x→−∞lim f(x) = l.

Exercice 2.2 On ´ecrira les d´efinitions pour la divergence (ou convergence) de f(x) vers +∞

lorsque x tend vers x₀ ∈R.¯

Proposition 2.3 Si f(x) admet une limite en x0 alors cette limite est unique.

Preuve.

(cf. preuve de l’unicit´e de la limite pour les suites num´eriques) CQFD

Exemples 2.4 Montrer que lim_x→0 ^sin_x^x = 1 en n’utilisant ni la continuit´e, ni la d´erivabilit´e (on utilisera ce r´esultat plus tard pour montrer la d´erivabilit´e de sin(x)).

2.2 Th´ eor` emes de comparaison.

Th´eor`eme 2.5 Soient f, g deux fonctions d´efinies sur un ensemble D admettant des limites respectives k, l∈R en x₀ ∈R.¯

Si ∀x∈ D, f(x)≤g(x) alors k≤l.

Preuve.

(cf. preuve pour les suites num´eriques) CQFD

Th´eor`eme 2.6 (des gendarmes)

Soient f, g, h trois fonctions d´efinies sur un ensemble D v´erifiant : i) ∀x∈ D, f(x)≤g(x)≤h(x),

ii) lim_x→x0f(x) = lim_x→x0h(x) =l,

alors g(x) admet une limite en x₀ et lim_x→x0g(x) =l.

Preuve.

(cf. preuve pour les suites num´eriques) CQFD

Exemples 2.7 Soit

f : R −→ R x 7→

½ cosx si x <0 x²+ 1 si x >0 f admet-elle une limite en 0?

2.3 Limites ` a gauche et limites ` a droite.

Soit f :D_f ⊂R−→R, x₀ ∈R tel que f v´erifie (H_x0).

D_f peut contenir ]a, x₀[∪]x₀, a[ sans que l’on ait une limite en x₀.

Mais on peut avoir une limite en se restreignant `a ]a, x0[ (limite `a gauche not´ee lg = lim_x→x0,x<x0f(x) = lim_x→x⁻

0 f(x)) ou ]x₀, b[ (limite `a droite not´ee l_d = lim_x→x0,x>x0f(x) = lim_x→x⁺

0 f(x)).

DESSIN

Exemples 2.8 Soit x₀ ∈R. On d´efinit sur R/x₀ la fonction f(x) = ^2(x−x_|x−x0⁰_|⁾.

Remarque 2.9 Soit f une fonction telle que ]a, x₀[∪]x₀, b[⊂ D_f.

f admet une limite l en x₀ ⇐⇒





f admet une limitea gauche l` <sub>g</sub> en x<sub>0</sub> f admet une limitea droite l` d en x0

l=l_d=l_g(= f(x₀) si f(x₀) existe)

Exercice 2.10 Soit g une fonction d´efinie par g(x) =

½ 1 si x6= 0 0 si x= 0 i) Montrer que g admet une limite `a droite et `a gauche en 0

ii) Montrer que g n’admet pas de limite en 0.

3 Relations entre limite de suite et limite de fonction.

Th´eor`eme 3.1 Soit f :D_f ⊂R−→R. Soient x₀, l∈R,¯ f v´erifiant (H_x0).

Les propositions sont ´equivalentes : (i) limx−→x0f(x) = l,

(ii) ∀(u_n)_nN ⊂ D_f convergeant versx₀, lim_n→+∞f(u_n)=l.

Preuve.

(i) =⇒(ii)

Supposons x0, l∈R.

Hypoth`ese : lim_x−→x0f(x) = l, c.a.d.∀² >0,∃α >0/∀x∈ D_f,(|x−x₀|< α=⇒ |f(x)−l|< ²).

Soit (un)nN⊂ Df, suite convergente vers x0 (on veut montrer ∀² >0,∃N ∈N²/∀n ≥N²,|un− x₀|< ²)).

Soit ² >0.

D’apres l’hypoth`ese ∃α >0 tel que ∀x∈ Df,(|x−x0|< α=⇒ |f(x)−l|< ²).

Mais comme (u_n) converge vers x₀, ∃N_α ∈Ntel que ∀n ≥N_α,|u_n−x₀|< α).

Donc ∀n≥N_α, on a |f(u_n)−l|< ².

Et ce, quel que soit² >0, donc (f(u_n)) converge vers l.

(ii) =⇒(i) admis CQFD

4 propri´ et´ es alg` ebriques sur les limites.

Sif, g :D ⊂R−→R, x₀ ∈R¯ avec f, g v´erifiant (H_x0) alors les fonctions suivantes, d´efinie sur D v´erifie (Hx0) :

i) f+g,

ii)∀λ ∈R,λ.f, iii) f ×g,

iv) ^f_g si∀x∈ D, g(x)6= 0.

De plus, si f, g admettent une limite en x₀, on retrouve les r´esultats obtenus dans le cas des suites num´eriques.

Proposition 4.1 Soit f :D_f ⊂R −→R et g :D_g ⊂R −→R avec f(D_f)⊂ D_g, Soit x₀ ∈ R.¯ Supposons limx→x0f(x) = y0 et limy→y0g(y) = l alors limx→x0g◦f(x) = l

Exercice 4.2 Calculer la limite en +∞ de ^x3+2.x_x2+5.x+2^2+3.x+1. G´en´eraliser (limite en +∞ ou −∞ d’une fraction rationnelle).

5 Fonctions ´ equivalentes.

D´efinition 5.1 Soit x₀ ∈R.¯

On appelle intervalle-voisinage de x₀, un intervalle du type : i) ]x0−α, x0+α[, α >0 six0 ∈R,

ii) ]A,+∞[ si x₀ = +∞, iii) ]− ∞, B[ six₀ =−∞.

D´efinition 5.2 Soient f, g:D ⊂ R−→R et x0 ∈R,¯ f v´erifiant (Hx0).

On dit que f est ´equivalente `a g en x₀ s’il existe I_v(x₀) un intervalle-voisinage de x₀ tel que

∀x∈ D ∩I_v(x₀), f(x) =g(x).(1 +²(x)) avec lim

x→x0

²(x) = 0.

On note alors f ∼_x0 g.

Remarque 5.3 Dans le cas o`u g ne s’annule pas sur I_v(x₀) (ce qui se passe la plupart du temps), on a

f ∼_x0 g ⇐⇒ lim

x→x0

f(x) g(x) = 1.

Propri´et´es 5.3.1 (exo.)

i) ∼_x0 est une relation d’´equivalence.

ii) Si f ∼_x0 g et lim_x→x0f(x) =l alors lim_x→x0g(x) = l.

Exemples 5.4 1) Soit la fonction d´efinie sur R par P(x) = a₀+a₁x+...+a_nxⁿ (a_n 6= 0), alors P(x)∼+∞ anxⁿ, P(x)∼−∞anxⁿ, P(x)∼0 a_val(P)x^val(P).

2) Soit la fonction d´efinie sur R par F(x) = ^a_b^{0+a1x+...+anxn}

0+b1x+...+bpx^p = ^P_Q(x)^(x) (a_n 6= 0, b_p 6= 0) alors F(x)∼±∞ anxⁿ

bpx^p et F(x)∼0 a_val(P)x^val(P) bval(Q)x^val(Q).

3) sin(x)∼₀ x, tan(x)∼₀ x, 1−cos(x)∼₀ ^x₂².

4) ln(1 +x)∼0 x, e^x−1∼0 x, a^x−1∼0 xlna (a >0), (1 +x)^α−1∼0 αx (α∈R).

Propri´et´es 5.4.1 i) Si f ∼_x0 f₁ et g ∼_x0 g₁ alors f.g∼_x0 f₁.g₁.

ii) Sif ∼_x0 f₁avecf etf₁ne s’annulant pas sur un intervalle du type]a, x₀[∪]x₀, b[(a < x₀ < b) alors _f¹ ∼_{x0 f}¹

1.

iii) Si f ∼x0 f1 et f, f1 strictement positive sur un intervalle-voisinage de x0 alors f^α ∼x0 f₁^α (α∈R).

Remarque 5.5 (importante)

Sif ∼_x0 f₁ etg ∼_x0 g₁, onn’apasen g´en´eralf+g ∼_x0 f₁+g₁ (ex.x²+1∼₀ 1et−1∼₀ −x−1, mais x² 6∼0 −x).

Si f ∼_x0 f₁ et h : R −→ R, on n’a pas en g´en´eral h ◦f ∼_x0 h_◦f₁ (ex. 1 +x ∼_+∞ x et e^1+x 6∼_+∞ e^x).

6 Infiniment petits.

D´efinition 6.1 Soit f :D ⊂ R−→R.

i) On dit que f est uninfiniment petit en x₀ ∈R¯ si lim_x→x0f(x) = 0.

ii) On dit quef est un infiniment petit d’ordre p∈R enx₀ ∈R¯ silim_{x→x0 (x−x}^f(x)

0)^p =A∈R^∗. Dans ce cas f(x)∼x0 A(x−x0)^p.

Propri´et´es 6.1.1 (Somme et produit d’infiniment petits)

Soit f₁(x)∼_x0 A₁(x−x₀)^p1 et f₂(x)∼_x0 A₂(x−x₀)^p2 des infiniment petits, alors : (i) f₁×f₂ est un infiniment petit d’ordre p₁+p₂ et f₁(x)f₂(x)∼_x0 A₁A₂(x−x₀)^p1+p2. (ii) si p1 < p2, on a f1+f2 infiniment petit d’ordre p1 et f1(x) +f2(x)∼x0 A1(x−x0)^p1. (iii) si p₂ < p₁, on a f₁+f₂ infiniment petit d’ordre p₂ et f₁(x) +f₂(x)∼_x0 A₂(x−x₀)^p2. (iv) si p₁ = p₂ et A₁ +A₂ 6= 0, on a f₁ +f₂ infiniment petit d’ordre p₁ et f₁(x) +f₂(x) ∼_x0 (A1+A2)(x−x0)^p1.

(v) si p₁ = p₂, A₁+A₂ = 0 et f₁ +f₂ 6= 0, on a f₁+f₂ infiniment petit d’ordre, s’il existe, p₃ > p₁ et f₁(x) +f₂(x)∼_x0 A₃(x−x₀)^p3.

Preuve en exo.