5 Transformée de Fourier Discrète
5.1 Séries réelles
Dans son ouvrage « Théorie analytique de la chaleur (1822)» Joseph FOURIER introduit la décomposition des fonctions périodiques en fonctions trigonométriques.
Une fonction périodique réelle (signal), de période
T
0 peut être considérée comme une série trigonométrique de la forme :
0 0
1
( ) n cos 2 n
n
s t S S n f t
avec 00
f 1
T
Le signal est décomposable en somme (infinie) de fonctions sinusoïdales de fréquences multiples de
f
0.Les différentes composantes du signal sont des harmoniques (nom masculin ou féminin, souvent masculin en physique, issu du vocabulaire musical).
S
0est la valeur moyenne du signal ;
1 cos 2 0 1
S f t terme à la fréquence
f
0 est le fondamental ;
0
cos 2
n n
S n f t terme à la fréquence
n f
0 est l’harmonique de rang n.Voici par exemple un signal trapézoïdal de période 100ms :
Figure 5.1-1 Sa décomposition en série de Fourier :
Figure 5.1-2
Joseph FOURIER
Le signal périodique est décomposé en somme de sinusoïdes de fréquences différentes. Par analogie avec la décomposition de la lumière blanche (avec un prisme par exemple), le résultat de la décomposition est appelé spectre du signal.
La décomposition exacte comporte une infinité de termes dont les fréquences sont multiples de celle du fondamental. Observons une décomposition approchée, la somme du fondamental et de l’harmonique de rang 3 :
Figure 5.1-3
Le signal reconstitué à partir de la somme d’un nombre fini d’harmoniques présente des ondulations à cause des harmoniques négligés. C’est un phénomène analogue à celui que nous avons déjà rencontré dans la troncature des réponses impulsionnelles (Ondulations de Gibbs).
L’harmonique Sncos 2
n f t0 n
peut se décomposer en somme de cosinus et sinus :
0
0
0
cos 2 cos cos 2 sin sin 2
n n n n n n
S n f t S n f t S n f t
D’où la série : 0
0
0
1 1
( ) n cos 2 n sin 2
n n
s t S A n f t B n f t
Avec les relations : n n2 n2
n n nS A B et tg B
A
Les coefficients sont calculés par les expressions :
0
0 0
0 0
0 0
0 0
1
2 2
cos 2 sin 2
T
T T
n n
S s t dt
T
A s t n f t dt et B s t n f t dt
T T
Si le signal présente des symétries, certains coefficients s’annulent.
Précisons que la décomposition des signaux périodiques en sinusoïdes, n’est pas la seule. D’autres bases de décomposition existent (Haar, Rademaker, Walsch). L’intérêt des séries de Fourier tient dans la propriété des systèmes linéaires dont les fonctions propres sont les sinusoïdes (en fait les exponentielles imaginaires).
Vocabulaire :
Analyse harmonique : décomposition d’un signal en fonctions sinusoïdales (spectre).
Régime harmonique : régime de fonctionnement d’un système excité par un signal sinusoïdal.
Distorsion harmonique : Déformation d’un signal sinusoïdal se traduisant par la création d’harmoniques.
Animation :
www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Elec/Fourier/fourier1.html
5.1.1 Séries complexes
La décomposition en série de Fourier réelle est assez compliquée puisque le calcul des coefficients nécessite 3 expressions. En raisonnant dans le domaine complexe, les calculs se simplifient.
La décomposition en séries complexes se déduit de la définition précédente en appliquant les relations d’EULER.
0 0 0 0
0 0
cos sin
2 2
j t j t j t j t
e e e e
t et t
j
Elle introduit la notion de fréquences négatives. En effet, la fonction cosinus (ou sinus) peut être considérée comme la somme de 2 vecteurs tournants en sens inverse.
Figure 5.1-4
Un des sens de rotation est choisi comme positif ; c’est généralement le sens horaire inverse appelé sens trigonométrique. Les fréquences peuvent donc être considérées positives ou négatives comme les autres grandeurs physiques.
En appliquant ces relations au développement en séries réelles :
0
0 0
0
( ) exp 2 1 exp 2
T SF
n n
n
s t X j n f t X s t j n f t dt
T
Pour le signal trapézoïdal, le développement complexe est le suivant :
Figure 5.1-5
Les coefficients étant complexes, il faut prendre en compte le module et l’argument. Ici nous avons tracé le module uniquement.
5.2 Transformée de Fourier
Un signal non périodique ne peut pas être décomposé en série de Fourier. Lorsqu’elle existe (les conditions sont étudiées au cours de l’UE MAA107), la transformée de Fourier permet d’associer le domaine temporel au domaine fréquentiel.
Le calcul et les propriétés de la transformée de Fourier sont étudiées dans les UE MAA107 et ELE103
5.2.1 Transformée d’un signal analogique
Considérons un signal analogique sa
t d’énergie finie et sa transformée de Fourier.2 2
( ) ( ) j ft TF ( ) ( ) j ft
a a a a
S f s t e dt s t S f e df
Figure 5.2-1
Remarquons que la transformée de Fourier d’un signal périodique existe. Elle est composée de Diracs :
0
0
( ) n exp 2 TF a( ) n
n n
s t X j n f t S f X f n f
5.2.2 Transformée d’un signal échantillonné
Echantillonnons le signal analogique (K échantillons). Nous avons vu au chapitre 1 de ce cours
« Signaux échantillonnés », que l’échantillonnage est une multiplication par un peigne de Diracs. Nous considérerons que la condition d’échantillonnage de Shannon est respectée.
1 1 1
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
K K K
e a e a e e k e
k k k
s t s t t kT s kT t kT s t kT
La transformée d’un produit est un produit de convolution.
( ) ( ) ( ) ( )
e a e e e a e
n n
S f S f f
f nf f
S fnfL’échantillonnage temporel périodise le spectre et le multiplie par
f
e.Figure 5.2-2 Le spectre étant périodique, il est développable en série inverse de Fourier :
2 2
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
e e
e e
e e
f f
j kT f j kT f
k a e e e a
f f
s s kT T S f e df S f e df
Remarque :
La représentation graphique est symbolique, les fonctions pouvant être réelles ou complexes.
Résumons par un schéma :
Figure 5.2-3
5.3 De la TF à la TFD
5.3.1 Echantillonnage du spectre
La transformée d’un signal échantillonné est une fonction continue et périodique de la fréquence. Pour calculer le spectre, il faut calculer une infinité de valeurs.
D’où l’idée de ne calculer que quelques valeurs, c'est-à-dire d’échantillonner la transformée de Fourier dans le domaine des fréquences. Pour cela, il faut « périodiser » le signal temporel en évitant le repliement temporel.
Nous savons qu’un signal périodique a un spectre échantillonné. Considérons le signal échantillonné périodique construit en répétant le signal se(t) avec la période
T
0.
Figure 5.3-1
Il n’y a pas de recouvrement temporel si le signal est à support borné. Pour ce faire le signal peut être découpé par une fenêtre temporelle de largeur Tmax. Cette fenêtre d’observation est en général rectangulaire, mais peut prendre d’autres formes en analyse spectrale.
Figure 5.3-2
Le signal ainsi découpé est répété avec la période T0 Tmax. Le spectre est échantillonné avec la période fréquentielle 0
0
f 1
T
.Soit N le nombre d’échantillons en fréquence.
T
0 N T
eet f
e N f
0Figure 5.3-3
Les deux domaines, temps et fréquence sont périodiques et échantillonnés. Le nombre d’échantillons par période est le même dans les deux domaines. Avec la transformée de Fourier, on peut établir une correspondance entre les échantillons des deux domaines sur une période.
Simplifions les notations des échantillons : sep
k T e
sk et Sep
n f 0
Sn5.3.2 Transformée de Fourier discrète TFD
En fréquences réduites, la transformée de Fourier d’un signal échantillonné est :
1 2 0 K
j kx
e k
k
S x s e
Echantillonnons dans le domaine des fréquences : nx N
Figure 5.3-4
Le nombre d’échantillons N est le même dans le domaine temporel et dans le domaine fréquentiel.
Les indices des échantillons de la période sont positifs ; ce n’est pas une obligation pour le domaine des fréquences si le calcul est effectué point par point. Mais l’utilisation d’une transformée de Fourier rapide TFR (FFT) impose cette contrainte. Nous conserverons donc ce choix pour la TFD.
La période dans le domaine fréquentiel est donc
0, fe
et non,
2 2
e e
f f
. Mais la transposition n’est pas trop difficile !!
Figure 5.3-5
( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0
r r
S n
S n pour n
et S n
S N
n pour n
Par définition la transformée de Fourier discrète est :
1 2
0 N j k n
N
n k
k
S s e
La transformée inverse :1 2
0
1 N j Nk n
k n
n
s S e
N
2 2
1 1
0 0
1
N j Nk n TFD N j Nk nk n n k
n k
s S e S s e
N
Il existe d’autres définitions ; celle-ci a l’avantage d’être cohérente avec la transformée dans la mesure où
1 0
0 N
k l
S s
. C’est la somme des échantillons, équivalent de l’intégrale en numérique.5.3.3 Exemple 1 :
Pour ce premier exemple, choisissons un signal facile à analyser :
4 ( ) 0,5 2 sin 2
s k k
N
.
C’est un signal sinusoïdal d’amplitude 2, de fréquence 1 4fe
F N (ou 1 4
X N en fréquences réduites) avec une composante constante de 0,5 (valeur moyenne).
On considère une fenêtre de 18 échantillons.
Figure 5.3-6 Calculons la TFD, le nombre d’échantillons nous oblige à utiliser un logiciel de calcul. :
Figure 5.3-7 L’échantillon d’indice n=0 représente la somme totale des échantillons.
L’échantillon d’indice n=4 représente la moitié de l’amplitude du sinus, multipliée par le nombre d’échantillons. L’échantillon d’indice n=14, représente l’autre moitié.
Spectre reconstitué :
Figure 5.3-8
Le spectre du signal réel respecte la symétrie Hermitienne. Sr(n)S nr( ). La partie fréquence négative est la conjuguée de la partie positive pour un signal réel.
Le spectre est un spectre de raies. La fréquence du signal correspond à un échantillon de la transformée car la durée de l’observation (largeur de la fenêtre) correspond à un nombre entier de périodes.
En effet, le spectre du signal observé est continu (ici tracé en orange) et vous reconnaissez certainement la transformée de Fourier de la fenêtre. La fréquence du signal étant un multiple entier de
f
0, l’échantillonnage fréquentiel coïncide avec les maxima et les zéros.
Figure 5.3-9
Considérons maintenant le signal 4, 5
( ) 0, 5 2 sin 2
s k k
N
de fréquence
4,5 f
0.
Figure 5.3-10
Figure 5.3-11 Les échantillons du spectre ne correspondent plus aux maxima et aux zéros.
Pour approfondir étudiez les chapitres « Résolution » et « Analyse Spectrale ».
5.3.4 Exemple 2
Ce deuxième exemple est une application de la TFD à un signal simple, composé de peu d’échantillons et donc calculable sans logiciel.
Figure 5.3-12
( ) 0, 5 ; 1 ; 1 ; 1 ; 0, 5 ; 0 ; 0 ; 0 s k
Calculons les échantillons de la TFD.
7 2
8 0
( )
j k n k k
S n s e
3
4 2 4
( ) 0, 5 j n j n j n 0, 5 j n
S n e e e e
2 2 4 4 2
( ) j n 0,5 j n j n 1 j n 0,5 j n
S n e e e e e
( )
21 cos 2 cos
2 4
S n e
j nn n
(0) 4; (1) 1 2 ; (2) 0; (3) 1 2 ;
(4) 0; (5) 1 2 ; (6) 0; (7) 1 2 .
S S j S S j
S S j S S j
Figure 5.3-13 On retrouve un spectre de raies comme au paragraphe 1.
Remarquez la symétrie hermitienne, le signal discret étant réel. S N( n)S n( ) A titre de vérification rapide, S(0) est égal à la somme des échantillons.
5.3.5 Relation avec la transformée en Z
Considérons un signal s k
et sa transformée en z ,0
( )
k kk
S z s z
1 2 1 2
0 0
k n n k
N j N j
N N
k k
k k
S n s e s e
En identifiant, on constate que la transformée de Fourier discrète est l’évaluation de la transformée en z sur le cercle unitaire.
1 2 2
0
n k n
N j j
N N
k k
S n s e S z pour z e
Si l’on considère l’exemple précédent, la transformée en z du signal est :
S z ( )
0,5
z
1z
2z
30,5
z
42 3
4 2 4
( ) 0, 5 0, 5
j Nn j n j n j n j n
en posant z e S n e e e e
On retrouve l’expression précédente:
( )
21 cos 2 cos
2 4
S n e
j nn n
5.3.6 Série de Fourier discrète SFD
Le développement en série de Fourier est défini par :
1 2
0
1 N jNkn
n k
l
S s e
N
.Attention aux notations pour éviter les confusions avec la TFD.
1 0
0
1
Nk l
S s
N
C’est la valeur moyenne des échantillons.Le développement en séries de Fourier, appliqué au signal précédent permet de retrouver les différentes composantes : valeur moyenne, amplitudes (complexes). On l’utilise en analyse spectrale.
5.3.7 Autres définitions
La transformée de Fourier discrète peut être normée avec différents coefficients.
La définition que nous avons choisie est cohérente avec la transformée de Fourier des signaux continus.
Pour l’analyse spectrale, qui porte sur des signaux périodiques échantillonnés, la série de Fourier calcule les différentes composantes du spectre.
On trouve aussi la définition suivante :
2 2
1 1
0 0
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
k n k n
N j N j
N N
k l
S n s k e s k S n e
N N
5.3.8 Durée du calcul
Le calcul de chaque échantillon S(n) de la transformée, nécessite N multiplications et N-1 additions complexes.
Figure 5.3-14
Le calcul des N échantillons nécessite N² multiplications et N.(N-1) additions complexes.
5.3.9 Propriétés de la TFD
5.3.9.1 LinéaritéConsidérons 2 suites numériques périodiques de même période N.
) ( )
( )
( )
(
) ( )
( )
( )
(
2 2 1
1 2
2 1
1
2 2
1 1
n S n
S k
s k
s
n S k s n
S k s
5.3.9.2 Translation temporelle
Calculons la TFD d’un signal numérique périodique de période N.
2
( ) ( ) ( ) ( )
j nM
r k s k M R n S n e N
Le décalage temporel (retard) se traduit au niveau de la transformée par une rotation de phase proportionnelle au rang de l’échantillon.
5.3.9.3 Symétries
Souvent les signaux traités par TFD sont réels.
Si la suite s(k) est réelle, la transformée présente la symétrie hermitienne : S(N j)S(j) La partie réelle est paire et la partie imaginaire impaire.
La propriété s’applique aussi à la transformée inverse.
La transformée est réelle et paire si la suite s(k) est réelle et paire.
Si la suite est réelle et impaire la transformée est imaginaire et impaire.
Ces propriétés de symétrie sont importantes car tout signal réel peut être décomposé en partie paire et impaire.
5.3.9.4 Convolution circulaire
La TFD transforme le produit de convolution en produit simple.
1 1
0 0
2 2
1 1 1
0 0 0
2 2 ( ) 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ce qui permet de séparer les sommes imbriquées.
N N
l l
k n k n
N j N N j
N N
k k l
k n k l n nl
j j j
N N N
s k h l e k l h k l e l
S n s k e h l e k l e
e e e
2 2 ( )
1 1
0 0
1
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
nl k l n
N j N j
N N
l l
N
TFD l
S n h l e e k l e H n E n
s k h l e k l S n H n E n
5.3.9.5 Théorème de Parseval
Considérons un signal complexe s(k) et calculons son conjugué :
1 2
0
( ) 1 ( )
N j k n
N n
s k S n e
N
Calculons la puissance moyenne du signal.
1 1 1 1 2
2
0 0 0 0
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
N N N N j k n
N
k k k n
P s k s k s k s k S n e
N N N N
1 1 2 1 1
2
2 2 2
0 0 0 0
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
N N j k n N N
N
n k n n
P S n s k e S n S n S n
N N N
La conservation de la puissance s’écrit
1 1
2 2
2
0 0
1 1
( ) ( )
N N
k n
P s k S n
N N
La conservation de l’énergie dans les 2 domaines
1 1
2 2
0 0
N 1 N
k n
W s k S n
N
5.3.10 Résolution :
Le nombre d’échantillons est déterminé par la largeur de la fenêtre d’observation et la période d’échantillonnage.
T
0 N T
eet f
e N f
05.3.10.1 Résolution fréquentielle :
La résolution dans le domaine des fréquences est 0 fe f f
N .
Figure 5.3-15
Pour l’améliorer, il faut d’augmenter le nombre d’échantillons, en augmentant la largeur de la fenêtre.
Reprenons notre exemple (§5.3.3). 4, 5
( ) 0, 5 2 sin 2
s k k
N
Figure 5.3-16
Figure 5.3-17 Doublons la largeur de la fenêtre avec la même fréquence d’échantillonnage.
Figure 5.3-18
Figure 5.3-19
Une autre solution consiste à ajouter au signal des échantillons à zéro ; cette méthode, appelée
« bourrage de zéros », augmente artificiellement la période (largeur de la fenêtre) sans augmenter le temps d’acquisition.
Reprenons notre exemple et doublons le nombre d’échantillons en ajoutant des zéros :
Figure 5.3-20
Figure 5.3-21 La résolution est améliorée. Pour approfondir étudiez le chapitre « Analyse Spectrale ».
5.3.10.2 Résolution temporelle :
Considérons le signal suivant et son spectre :
Figure 5.3-22
Figure 5.3-23 Pour augmenter la résolution temporelle, il faut interpoler les échantillons intermédiaires.
Raisonnons dans le domaine fréquentiel et ajoutons des zéros au spectre en doublant ainsi le nombre d’échantillons :
Figure 5.3-24
Par transformation inverse :
Figure 5.3-25
On obtient le signal sur-échantillonné (x2). Ne pas oublier de multiplier par 2 pour conserver l’amplitude originale.
5.3.11 Relation matricielle
2 2
1 1
0 0
( ) ( ) ( ) 1 ( )
k n k n
N j N j
N N
k n
S n s k e s k S n e
N
2 1
0
( ) ( )
jN N k n
N N
k
posons W e S n s k W
Développons cette expression :
1 2 1
2 4 2 1
0 0 1 2 1
1 0 1 2 1
2 0 1 2 1
...
N
N N N
(N )
N N N
S( ) s( ) s( ) s( ) ...s(N )
S( ) s( ) s( ) W s( ) W ...s(N ) W S( ) s( ) s( ) W s( ) W ...s(N ) W
...
1 2 1 12
1 0 1 NN 2 N(N ) 1 N(N )
S(N - )s( ) s( ) W s( ) W ...s(N ) W Ces équations peuvent être mises sous forme matricielle :
2
1 2 1
2 4 2( 1)
1 2( 1) ( 1)
1 1 1 . 1
(0) (0)
1 .
(1) (1)
1 .
(2) (2)
. . . . .
... ...
( 1) 1 . ( 1)
N
N N N
N
N N N
N N N
N N N
S s
W W W
S s
W W W
S s
S N W W W s N
Les coefficients de la matrice sont les racines Nièmes de l’unité.
5.4 Transformée de Fourier rapide
Les coefficients présentent des symétries qui permettent de simplifier le calcul et donc d’en réduire la durée. Lorsque N est une puissance de 2, le nombre de symétries est maximum et l’algorithme de Cooley et Tukey introduit la transformée de Fourier rapide TFR (FFT en anglais).
James COOLEY John TUKEY
5.4.1 Définition
Considérons une suite de N échantillons avec
N
2
M . Nous prendrons comme exemple N=8.5.4.1.1 Symétries et propriétés des racines Nièmes
Par exemple pour une TFR sur 8 échantillons :
0 1 2 3
8 8 8 8
2 2
1; 1 ; ; 1
2 2
W
W
j W
j W
j
4 5 6 7
8 8 8 8
2 2
1; 1 ; ; 1
2 2
W
W
j W
j W
j
Entrelacement temporel Posons
2
p k et séparons les échantillons pairs et impairs.
1 1
1 2 2 2 2 1
0 0 0
1 1
2 2 2 2
0 0
( ) ( ) (2 ) (2 1)
( ) (2 ) (2 1)
N N
N n k n p n p
N N N
k p p
N N
p p
n n n
N N N
p p
S n s k W s p W s p W
S n s p W W s p W
2 2 2 22 j np
n p np N np
N N N
W W e W
réel /axe symétrie
/origine symétrie
é périodicit
lles exponentie des
propriété
2
n N n N N
n N N n
N
n N n lN N
n N l N n l N
W W
W W
W W
W W W
Figure 5.4-1
1 1
2 2
0 2 0 2
( ) (2 ) (2 1)
N p N p
n n n
N N N
p p
S n s p W W s p W
2 1
0 2
2 1
0 2
(2 ) est la transformée des N/2 échantillons pairs
(2 1) est la transformée des N/2 échantillons impairs
N p
n N p
N p
n N p
s p W
s p W
La transformée sur N échantillons est donc une combinaison linéaire des transformées des N/2 échantillons pairs et impairs.
Figure 5.4-2 Mais la symétrie entraîne : 2
N n n
N N
W
W
, le schéma peut être mis sous la forme :
Figure 5.4-3
Pour simplifier les graphes, nous représenterons cette combinaison linéaire par le schéma suivant :
Figure 5.4-4
Cette forme de schéma est appelé « Papillon »
Mais N/2 est divisible par 2. On peut donc décomposer chaque TFR d’ordre N/2 en 2 TFR d’ordre N/4. Pour cela, il faut trier les échantillons pairs et impairs après division par 2.
Figure 5.4-5
La TFR d’ordre N/4 peut être décomposée en 2 TFR d’ordre N/8….etc..
Figure 5.4-6
0 1 2 3
8 8 8 8
2 2
1; 1 ; ; 1
2 2
W
W
j W
j W
j
Certains coefficients sont simples et ne nécessitent pas de multiplication :
0 2
8 1; 8 .
W W j
En remplaçant par les valeurs et en remarquant qu’une multiplication par 1 n’en est pas une, le schéma devient :
Figure 5.4-7 En remplaçant ces coefficients par leurs valeurs :
5.4.1.2 Code binaire inversé
Le calcul de la TFR fait intervenir un ordre des échantillons différent de l’ordre habituel. En effet nous avons trié les échantillons selon la parité de leur indice (bit LSB 0 ou 1), puis à l’intérieur de chaque groupe selon la parité de l’indice divisé par 2 etc... Cette opération de tri revient à inverser l’ordre des échantillons en inversant les bits des indices :
7 111 111
7 6
110 011
3
3 011 110
6 2
010 010
2
5 101 101
5 4
100 001
1
1 001 100
4 0
000 000
0
5.4.1.3 Durée du calcul
N est une puissance de 2 : N 2M soit M log2(N)lb(N)
Le calcul de TFR présente M phases ; dans chaque phase le calcul comprend N/2 multiplications et N additions.
Donc pour une TFR, il faut ( ) 2 lb N
N multiplications et Nlb(N) additions.
La TFR réduit donc considérablement la durée des calculs pour des transformées sur un grand nombre d’échantillons.
5.4.1.4 Entrelacement fréquentiel
Il est possible de calculer la TFR sans entrelacer les échantillons temporels. Elle prend alors une autre forme, le papillon étant inversé. Les échantillons fréquentiels sont alors entrelacés.
5.4.1.5 TFR base 4
Il existe une TFR à base 4 (Traitement numérique du signal Maurice BELLANGER (Dunod) )
5.4.2 Limitations
Les nombres complexes en informatique sont constitués de 2 nombres réels.
5.4.2.1 Arrondi des coefficients
Les coefficients de la TFR sont les racines Nièmes de l’unité. N
j nk
e 2 .
L’arrondi porte sur les parties réelles et imaginaires. Si ces nombres sont codés sur bc bits, l’erreur d’arrondi sur le coefficient complexe est :
( nk )
R( nk ) j
I( nk ) avec
R( nk )
I( nk ) 2
bC
Dans le domaine fréquentiel, l’erreur sur la valeur calculée est
1
( ) ( ) ( )
k
n x k nk
N
2 2
2
( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )
( ) ( ) 1 . ( ) ( ) ( , )
( , ) 2 2 C
lk lk
j j
N N
l k l
j lk N
l k l
b m
Or x k X l e n X l e nk
N
n X l e nk X l l n
N l n peut être majoré
Cette dernière valeur est surestimée. En fait pour N>64, m 0,62bC
l
m m
l
m
X l x
l X
n ) ( ) ( ) ( 0 )
(
5.4.2.2 Bruit de calcul
La quantification des échantillons apporte du bruit. Si les nombres sont cadrés entre -1 et +1, le
quantum est : 2 1
2 2
I I
b b
si bI est le nombre de bits des mémoires internes destinées au calcul.
Le bruit de calcul évalué sur chaque sortie est Pbqs 2. Dans le calcul de la série
1 2
0
1 N jNkn
n k
l
S s e
N
on divise par N qui est une puissance de 2.Pour éviter les débordements mémoire, il est prudent de faire des recadrages avant les multiplications. Comme il faut diviser par N=2M , on divise par 2 à chaque niveau du calcul de la TFR. Dans ce cas, le bruit de calcul évalué sur chaque sortie est
2 bqs
12
P N
. (Cf Traitement numérique du signal Maurice BELLANGER (Dunod) )
5.4.3 Analyse spectrale
5.4.3.1 Fonction de filtrage1 2
0
( ) ( )
N j kn
N k
S n s k e
La TFD se comporte comme un banc de N filtres décalés de fe
N . La démonstration figure en annexe.
Figure 5.4-8
Chaque filtre sélectionne une bande de fréquence autour de n n x N
Remarquons que la fonction de filtrage présente des zéros pour les autres fréquences analysées.
En analyse spectrale, les coefficients S(n) calculés par la TFD ne représentent pas les échantillons du spectre du signal analogique. Les ondulations interviennent dans ce calcul et la valeur du coefficient calculé ne dépend pas que de la bande de fréquences sélectionnée.
Pour diminuer l’amplitude des ondulations, on utilise une fenêtre d’apodisation (Hann, Hamming, Blackmann…..)
5.4.3.2 Décomposition
On démontre (voir Annexe) que les différentes fonctions de filtrage constituent une base de décomposition orthogonale. Cette propriété est utilisée dans les transmissions numériques, notamment pour l’ADSL et la TNT.
5.4.3.3 Résolution spectrale
Pour l’analyse spectrale, on utilise la série de Fourier discrète :
1 2
0
( ) 1 ( )
N j kn
N k
S n s k e
N
La fréquence d’échantillonnage étant choisie de telle sorte qu’il n’y ait pas de repliement, le nombre d’échantillons N détermine la résolution, puisque N est aussi le nombre d’échantillons fréquentiels.
La durée d’observation doit prendre en compte la résolution en fréquence.
e e
T N N f f
1
Pour une analyse plus fine, il faut augmenter la durée d’observation et donc le nombre d’échantillons. Cette propriété est importante pour l’usage d’un oscilloscope numérique avec FFT.
5.4.3.4 Exemple :
Observons un signal composé de la somme de deux cosinus échantillonné.
Figure 5.4-9
1
2
1 2( ) 2 cos 2 1, 6 cos 2 15 22, 78
s t
f t
f t avec f
Hz et f
Hz
Observons son spectre mono-latéral, tel qu’il serait tracé par un analyseur.La fréquence d’échantillonnage est de 256 Hz. Avec 16 échantillons :
Figure 5.4-10 Le spectre ne correspond pas à notre attente. La résolution est insuffisante
f
e16
f Hz
N
. Augmentons le nombre d’échantillons ; avec 128 échantillons :Figure 5.4-11
Figure 5.4-12 La résolution est meilleure
f
e2
f Hz
N
; on distingue sur le spectre 2 fréquences. Mais la valeur moyenne et l’amplitude des raies ne sont pas exactes.Le problème vient de la durée d’observation qui n’est pas un multiple de la période ; la fenêtre rectangulaire crée des ondulations du spectre et des interférences dans le domaine fréquentiel.
Lorsque la durée d’observation est multiple de la période du signal, les interférences disparaissent.
Mais il est impossible de satisfaire cette relation pour un signal quelconque. C’est pourquoi, la solution réside dans la suppression des ondulations par une fenêtre de pondération (apodisation). Ces fenêtres (Hann, Hamming, etc…) ont été étudiées dans le cadre des fenêtres RIF.
En utilisant une fenêtre de Hann,
Figure 5.4-13
Figure 5.4-14
Meilleure résolution, meilleure précision. Notamment la valeur moyenne est nulle ce qui correspond au spectre réel et l’amplitude des raies est plus proche de la valeur réelle.
Avec 2048 échantillons, la fenêtre de Hann et un effet de zoom :
Figure 5.4-15
Les 2 fréquences sont bien distinctes et la précision sur les amplitudes est meilleure. Le spectre est souvent représenté sous forme d’un spectre continu, les échantillons intermédiaires étant calculés par interpolation.
Pour augmenter la précision, il faut augmenter la largeur de la fenêtre, c’est-à-dire le temps d’observation.
Il est possible d’ajouter des échantillons nuls pour améliorer la résolution, mais aussi pour atteindre une puissance de 2 et utiliser un algorithme rapide.
5.4.4 Convolution
5.4.4.1 DéconvolutionPour un système linéaire, le signal de sortie est le produit de convolution de l’entrée par la réponse impulsionnelle du système.
) ) (
( ) ) (
(
) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) (
1
1
0
k n e
H n n S E
n E n H n S l
k e k h k
e k h k s
TFD N
l
TFD
La TFD et son inverse permettent de réaliser la déconvolution.
Cette application est utilisée en imagerie médicale, notamment dans la construction de l’image du scanner et en restauration de vieux enregistrements. Dans ce cas, la connaissance de la fonction de transfert du système d’enregistrement permet de retrouver l’entrée originale.
5.4.4.2 Calcul de TFD par convolution
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1
2 2 2
0 0
( ) 1 ( ) 1 ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0
2 2
( ) ( ) ( ) 1
2
' ( ) ( ) ( )
( ) ( )
N j Nkn N nk
N
k k
n k n k N n k n k n N k n k
nk
N N N N N N N N N N
k k
n k
N N
S n s k e s k W en remarquant que nk n k n k
W W W W d où S n s k W W W W s k W W
S n W s k W
2 2 2 2
( ) 1
2 2 2 2
0
( )
n k n k k
N
N N N N
k
W W s k W W
La TFD peut être calculée par convolution.
Ce calcul peut être réalisé par des dispositifs échantillonnés à transfert de charge fonctionnant à fréquence élevée. Utilisation dans les radars.
