7.8 Il s’agit de calculer le polynôme de Taylor de la fonction f(x) = √3
8 +x en a = 0, d’un degré n suffisamment élevé pour que l’erreur soit inférieure à un millième, c’est-à-dire
Rn(−1)
< 10001 = 0,001.
Polynôme de Taylor de degré 1 f(0) =√3
8 + 0 =√3 23 = 2 f′(x) = √3
8 +x′
= (8 +x)13′
= 13(8 +x)−23 = 1
3√3
(8+x)2
f′(0) = 1
3√3
(8+0)2 = 1
3√3
26 = 3·212 = 121
P1(x) = 2 + 121 x
P1(−1) = 2 +121 ·(−1) = 2312 ≈1,916 667
Il reste encore à déterminer l’erreur commise par cette première approximation, c’est-à-dire à estimer R1(−1).
f′′(x) =
1 3√3
(8+x)2
′
= 13(8 +x)−23 =−29(8 +x)−53 =−9√3 2
(8+x)5
R1(−1) =
−9√3 2
(8+c)5
2! (−1)2 =−9√3 1
(8+c)5 avec c∈[−1 ; 0]
Vu la croissance de la fonction p3
(8 +x)5, on en tire que : R1(−1)
6 1
9√3
(8+(−1))5 = 1
9√3
75 = 1
9·7√3
72 = 1
63√3
49 ≈0,004 338
L’erreur commise par cette première approximation étant inférieure au cen- tième, mais supérieure au millième, on en conclut qu’elle est exacte au centième près, mais pas nécessairement au millième près.
Polynôme de Taylor de degré 2 f′′(0) =−9√3 1
(8+0)5 =−9√31215 =−9·215 =−2881
P2(x) = 2 + 121 x− 2881 x2
P2(−1) = 2 +121 ·(−1)− 2881 ·(−1)2 = 551288 ≈1,913 194
Déterminons à présent l’erreur commise par cette deuxième approximation.
f(3)(x) =
−9√3 2
(8+x)5
′
= −29(8 +x)−53′
= 1027(8 +x)−83 = 10
27√3
(8+x)8
R2(−1) =
10 27√3
(8+c)8
3! (−1)3 =−81√3 5
(8+c)8 avec c∈[−1 ; 0]
Comme la fonction p3
(8 +x)8 est croissante, il en résulte :
R2(−1)
6 5
81√3
(8+(−1))8 = 5
81√3
78 = 5
81·72√3
72 = 5
3969√3
49 ≈0,000 344<0,001 Puisque l’erreur commise par cette deuxième approximation est inférieure au millième, on en conclut qu’elle est exacte au millième près.
Analyse : développement en série d’une fonction Corrigé 7.8
