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Submitted on 1 Jan 1969
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Effet de l’anisotropie uniaxiale sur l’aimantation d’un ellipsoïde de révolution allongé application à l’étude comparative des mesures d’aimantation pour les tôles
industrielles
Roger Dunstetter, Gérard Gavoille
To cite this version:
Roger Dunstetter, Gérard Gavoille. Effet de l’anisotropie uniaxiale sur l’aimantation d’un ellipsoïde de révolution allongé application à l’étude comparative des mesures d’aimantation pour les tôles indus- trielles. Revue de Physique Appliquée, Société française de physique / EDP, 1969, 4 (4), pp.445-462.
�10.1051/rphysap:0196900404044500�. �jpa-00243310�
EFFET DE L’ANISOTROPIE UNIAXIALE
SUR L’AIMANTATION D’UN ELLIPSOÏDE DE RÉVOLUTION ALLONGÉ
APPLICATION A L’ÉTUDE COMPARATIVE DES MESURES D’AIMANTATION POUR LES TÔLES INDUSTRIELLES
Par ROGER DUNSTETTER et GÉRARD GAVOILLE,
Laboratoire d’Électricité et d’Automatique de la Faculté des Sciences de Nancy, boulevard des Aiguillettes, 54-Nancy.
(Reçu le 3 avril 1969.)
Résumé. - La théorie des phases de L. Néel est appliquée à un ellipsoïde de révolution, ferromagnétique, d’énergie d’anisotropie Ea = K’o03B32 + K1(03B12 03B22 + 03B32 03B22 + 03B3203B12). Sous certaines conditions, le système de phases initial est remplacé par un autre, complètement distinct, lorsque le champ appliqué atteint une valeur critique dont on donne l’expression. On passe ensuite à la tôle industrielle, à 3 % de silicium et, moyennant des approximations, on interprète
les résultats expérimentaux de Fasching-Hofmann pour examiner ensuite les mesures indus- trielles d’aimantation des tôles (méthodes d’Epstein et de Fasching-Hofmann).
Abstract. - Néel’s phase theory is applied to a ferromagnetic prolate spheroid, in which
the energy of anisotropy is : Ea = K’o03B32 + K1(03B1203B22 + 03B2203B32 + 03B3203B12). Under some defined conditions, the original phase system is changed for another, which is completely distinct
when the applied field is equal to a critical value. The relationship for this critical value is derived. The case of industrial steel laminations (3 % Si) is then studied and, by using some approximations, an interpretation is given for the experimental results obtained by Fasching-
Hofmann. The industrial methods for the measurement of magnetization in steel laminations
(Epstein and Fasching-Hofmann) are also discussed.
Introduction. - Si la technique des joints latéraux obliques a accru la qualité des transformateurs, les joints centraux restent le siège d’une distribution com-
pliquée d’induction, qu’il faudrait savoir prédétermi-
ner. Mais l’effet du champ démagnétisant y est difficile à apprécier, au contraire de ce qu’on a dans les noyaux.
Surtout, les lignes de flux différeront beaucoup selon
que la tôle industrielle admet ou non un coefficient
d’anisotropie Ko dans la direction du laminage. Bien
des auteurs raisonnent comme si ce coefficient n’inter- venait pas, et appliquent directement à la tôle la théorie du monocristal. Cependant, les expériences de Fasching et Hofmann [1] s’opposent à cette simplifi-
cation. Dans ces expériences en effet, qu’à notre avis
leurs auteurs n’interprètent pas de façon satisfaisante,
comme nous le verrons plus loin, l’action de Ko se
révèle prépondérante dans les champs faibles. Elle marque ainsi tout le processus d’aimantation, d’une manière que nous proposons de préciser.
Pour y parvenir, nous allons remplacer les tôles
minces à texture de Goss par une substance ferro-
magnétique idéale et étendue, aux constantes caracté-
ristiques de laquelle nous donnerons d’ailleurs autant
que possible, et en vue des comparaisons ultérieures,
les valeurs relatives au fer à 3 % de silicium.
Densité d’énergie d’ anisotropie. - Les trois axes quater- naires [100], [010], [001] auront, chacun, même direction en tout point du milieu, qu’on rapportera donc au repère Oxyz qu’ils définissent. Il existera, po- sée priori, une anisotropie uniaxiale ; l’axe d’anisotropie étant, en outre, l’axe quaternaire [001], ou Oz. Les
cosinus directeurs de l’aimantation spontanée, JI{ s (1),
sur Oxyz étant a, ~, y, la densité d’énergie magnéto-
cristalline et d’anisotropie uniaxiale du milieu est ainsi,
en négligeant les ordres supérieurs :
Alors que le coefficient K1 est forcément positif, le signe de K’ 0 est libre. Nous achèverons de définir le milieu en prenant K’ 0 négatif :
(1) Tout comme la lettre ~, la lettre -d représente la
densité d’aimantation.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/rphysap:0196900404044500
et nous expliciterons les cosinus directeurs oc, ~3, Y, en fonction des angles 0 et rp de la figure 1, l’énergie d’anisotropie devenant donc :
FIG. 1.
Le coefficient Ki est de l’ordre de 3,5 X 105 ergs~cm~.
Il vaut, par exemple, 3,65 X 105 et 3,3 X 105 ergs/CM3
pour des tôles, à 3 % de silicium, respectivement
américaine [2] et russe [3] ; mais 4,3 X 105 ergs/cm3
pour le fer [4].
Le coefficient Ko est toujours beaucoup plus petit
que Ki.
Densité d’énergie libre. - L’état d’aimantation est
déterminé, à tout moment, par le minimum de la densité d’énergie libre, celle-ci somme de Ea et des
densités d’énergie suivantes.
Densité d’énergie d’échange. - L’énergie d’échange de Weiss-Heisenberg relative au couple A, B d’atomes proches voisins porteurs du moment magnétique ~t, est :
où 2p est le nombre des proches voisins magnétiques
de A; Jtts, l’aimantation spontanée en A; 8Ç, un petit angle entre y et v4l~ ; X, une constante. En passant
aux v atomes magnétiques contenus dans un cm3, on obtient, avec vy = Jl(s, la densité d’énergie d’échange :
le facteur 1 ~’~~ 4 étant, pour p le fer, égal à 4,3
X 109 ergs/cm3 [4].
Densité d’énergie magnétique. - Le champ intérieur
moyen, Hi, est la somme du champ extérieur appli- qué, Ha, et du champ démagnétisant, Hd, celui-ci dû
aux charges magnétiques fictives de densité volumique
p = - div M et superficielles 6 =~N, où Jyl est l’ai-
mentation moyenne, elle-même créée par le champ H i, qui est le champ agissant effectif.
La densité d’énergie magnétique s’écrit :
Le premier de ces termes représente la densité de l’énergie magnétostatique, Em, dans le champ extérieur.
Le second représente la densité d’énergie Ed, due
au champ démagnétisant. Il peut être intégré si l’on
connaît la matrice N des coefficients de champ déma- gnétisant, telle que : -
En particulier, si le milieu considéré est limité par
une surface du second degré, la matrice N est diagonale (ou diagonalisable), et ses éléments sont indépendants
de l’aimantation et du point. Le terme Ed a alors l’expression :
Comme 7~ peut atteindre 4~c~s, Ed peut valoir,
pour le fer, où Jfs = 1 700 u.e.m., jusqu’à 1,85
X 10~ ergsjcm3. Nous ne connaissons pas la valeur des
pour le fer à 3 % de silicium. Nous y prendrons celle
relative au fer, que L. Néel précise peu sensible aux
inclusions [5].
Densité d’énergie magnéto-élastique. - Elle est donnée
par :
où X100 et ~111 sont les magnétostrictions longitudinales
à saturation, dans les directions [100] et [111], et C2, G’3 des constantes. Avec X~_ = 25,4 X 10-6, À111 - - 5,06 x 10-6 [2] ; G2 - 0,48 x 1012, C3 = 1,12 X 1012 [4], les coefficients de Em, el valent,
le premier, 1,3 X 103 ergs/CM3 et, le second, 1,25 X 102 ergs~cm3.
L’énergie d’échange (4) fait intervenir le coefficient le plus considérable. Les atomes s’organisent par rap- port à elle, et de manière à l’annuler. Leurs moments
magnétiques s’orientent parallèlement, ou plutôt ils
s’orienteraient parallèlement partout si cette énergie
entrait seule en compte. Comme il n’en est rien, la
matière se divise en phases, dans chacune desquelles
l’aimantation spontanée est uniforme. Les angles de repérage 0 et cp ont ainsi une même valeur dans une
fraction du volume unité. L’énergie d’échange ayant
disparu et la densité d’énergie magnéto-élastique (8)
étant visiblement négligeable, la densité d’énergie
libre s’écrit :
Le terme maintenant capable des plus grandes
valeurs est Ed. Il dépend de la répartition des sources
et de la forme de l’échantillon. Celui-ci sera un ellip-
soïde de révolution, allongé suivant la direction A, en principe quelconque relativement au milieu ferro-
magnétique constitutif. Exprimée par rapport à un système d’axes principaux de l’ellipsoïde, OXYZ,
avec OZ suivant A, la matrice N des coefficients de
champ démagnétisant est diagonale, selon :
Nx = Ny = 21t(1-k); Nz = 4nk. (10)
Le paramètre k décrit le plus ou moins grand allongement de l’ellipsoïde. Il est nul pour le cylindre
de révolution et vaut 1/3 pour la sphère. Nous le
restreindrons à de petites valeurs, de 0 à quelques
centièmes.
Dans la première partie de ce travail, nous déter- minerons, en insistant sur le rôle fondamental du
champ démagnétisant, les effets conjoints du coeffi-
cient Ko, du paramètre k, de l’orientation de A et de la direction du champ extérieur appliqué. Nous verrons qu’il y a, dans certaines conditions, et si Ko et K, ont
des valeurs convenables, passage discontinu d’un sys- tème initial de phases à un autre, complètement distinct, par nucléation de nouveaux domaines. Le
champ critique correspondant est fonction du rapport p = Ko/Kl’
Dans une seconde partie, nous discuterons, en nous appuyant sur nos résultats au prix d’approximations,
des méthodes d’Epstein et de Fasching-Hofmann,
usuellement employées pour établir les propriétés magnétiques des tôles industrielles.
PREMIÈRE PARTIE
I. Cas où le grand axe de l’ellipsoïde est l’axe d’anisotropie uniaxiale. - Nous nous proposons, dans
un premier temps, de suivre l’aimantation de l’ellip-
soïde dans le cas, le plus simple, où la direction A de
son grand axe coïncide avec celle, Oz, d’anisotropie uniaxiale, le repère Oxyz étant donc le seul à consi- dérer. Les expressions des diverses densités d’énergie deviennent, en effet, assez maniables pour qu’on puisse
étudier l’effet de longueur de l’ellipsoïde.
a) État désaimanté. - En l’absence de champ exté-
rieur appliqué, la densité d’énergie libre, W = Ed + Ea, ajoute deux termes positifs, dont l’un, Ed, dépend du
nombre des phases, et dont l’autre, Ea, s’annule seu-
lement pour sin cp = 0, donc pour cp = 0 ou p = n.
L’énergie libre vaudrait alors 2k7tS§ si la matière ne
formait qu’une phase, car, à cp quelconque, on y aurait pour Ed :
Ed = (1 - k) S§ sin2 cp + 2knJ’; cos2 y. (11)
Une organisation en deux phases de la matière amène l’énergie libre à zéro. L’aimantation spontanée étant, à cp quelconque, orientée suivant cp dans la fraction v et 1t - cp dans la fraction 1- v du volume
unité, il vient pour Ed :
Ed = 7t(1 - k) fi- sin2 cp + 2knf- s (2v -1 ) 2 cos2 (12)
Ce terme disparaît pour p = 0 et, simultanément,
tu =1, > l’énergie libre passant par son minimum absolu.
Les deux phases, d’importance égale, se présentent
sous la forme de domaines parallèles à A, dans lesquels
les aimantations spontanées sont alternativement
parallèles et antiparallèles à A (fin. 2), et qui sont séparés par des parois, à l’intérieur desquelles l’aiman-
tation tourne.
FIG. 2.
b) Effet d’un faible champ extérieur. Déplacement de paroi. - Nous allons appliquer progressivement un champ extérieur Ha, que nous repérerons relativement à Oxyz, par les angles (D et T, et dont nous désignerons
par Hall et Hal les composantes respectivement paral-
lèle et perpendiculaire à Oz ( fig. 3).
Fie. 3.
1) k = 0. - Considérons tout d’abord le cylindre
de révolution. Comme la structure initiale ne saurait
se transformer fondamentalement sans un apport fini
d’énergie, de densité au moins égale à Ko pour un
FIG. 4.
passage de Jlll s sur l’axe Ox, elle ne pourra évoluer que par rotation de JGl S et par déplacement de paroi ( fig. 4).
Mais la rotation augmenterait l’énergie libre d’un
terme magnétocristallin vite important, et ferait sur-
tout apparaître un champ démagnétisant normal à Oz,
ce qui n’arrive pas dans un déplacement de paroi pris
seul, donc à cp = 0 ou 7t. La rotation ne peut que s’effacer devant le déplacement de paroi, sauf si l’angle 1> vaut - 2’les parois étant alors bloquées.
A ~ quelconque, et avec et 1- r~ pour proportions
des deux phases cp = 0 et p = 7~, la densité d’énergie
libre est :
Elle est minimale quand = 1, quel que soit Hall"
Il faut comprendre que la paroi se déplace sous l’action
du champ Ha, et que le déplacement est total dans
un champ infiniment petit, parce que l’énergie de déplacement de paroi est prise infiniment petite.
2) k # 0. - Dans le cas de l’ellipsoïde, le dépla-
cement de paroi, supposé seul, fait apparaître le champ démagnétisant longitudinal :
de sorte que l’énergie libre devient :
Elle passe par son minimum pour :
et y prend l’expression :
Le déplacement de paroi, bien effectué à champ Hall
nul, n’est plus instantané. Il prend fin lorsque le champ appliqué atteint la valeur :
Si, à champ Hall fixé, on fait tendre, vers 0, k, choisi
comme variable, la position de la paroi se modifie continuellement, dans le sens des croissants, jusqu’à
ce qu’on ait r~ = 1, ou :
Pour les ellipsoïdes plus allongés, tels que k k (H, , 11),
où l’aimantation est parvenue à une étape ultérieure, l’énergie libre a une autre expression que (17).
c) Rotation. - Une fois obtenue une seule phase,
l’aimantation se poursuit en principe par rotation.
Tant que celle-ci est faible, cp = sin cp = S, l’énergie libre, composée des trois termes :
pose 0 = 0/. L’aimantation spontanée commence par
tourner dans le plan que définissent la direction du
champ appliqué et le grand axe de l’ellipsoïde. L’angle
de rotation, s~ est alors déterminé par la condition
dW 0 ..c’ 1B l, ..
d = 0, qui fournit, en arrêtant l’approximation
au second ordre : -
Imposons maintenant au champ extérieur d’être
presque transversal, l’angle (D s’abaissant à la rigueur jusqu’à4 75°. La relation (21) se réduit à :
G
que dans Nx et N~, puisque les aimantations figées des
deux phases sont disposées symétriquement par rapport
au champ appliqué. Tout se passant, à cela près,
comme à C 7~ ~ 2 et simultanément k = 0, l’angle
de rotation devient :
Avec toujours 1> voisin ou égal à ~, l’énergie libre,
WR, relative à la rotation, est :
pour
d) Séparation effective du déplacement de paroi et de la
rotation. z Prenons pour variable Ha.!.. Le rapproche-
ment de W R = (24) et W DP = (17) suggère de
caractériser l’orientation du champ extérieur par le
paramètre :
-«
l’énergie WDP s’écrivant alors :
Cette expression doit représenter le minimum de l’énergie libre jusqu’au champ (Hal/)o = (18), soit : (H.,), = 2,rf. ’1~2h k (28)
o h (28)
et, pour cette valeur, se trouver égale à l’énergie WR = (24), qui la relaie ensuite.
Mais, à (7~_)Q, les relations (27) et (24) sont dis-
tinctes en général. La différence WDP - WR, donnée,
à des infiniment petits près, par :
(~4±)~ 1- ~
, ~ ~ 2h ~7 ~9
4
47r1 k - z)
+ HüJs y2h - HaiYs 2h 2~J~,ss’annule en effet pour :
(H ) -_ (HaJJo
-· 29
~a±~ 2013 a-’- r
201320132013201320132013r-’
(29)1+
k
hDéplacement de paroi et rotation ne sont donc
successifs que pour k h. La figure 5 donne la
variation de h aux abords de 900.
e) Déplacement de paroi et rotation simultanés. - Dans le cas habituel où il y a déplacement de paroi et rota- tion, l’aimantation moyenne a, sur Oxyz, les compo- santes ( fig. 6) :
Fil. 5.
FIG. 6.
~sx =~S(r~ sin (pi cos 81-]- (1- r~) sin CP2 cos 021
~sy = ~s (r~ sin cpi sin 81-f - ( 1- r~) sin CP2 sin 8~]
Jsz ==Js[v cos cpi + (1 - ~l) cos CP2] (30)
de sorte qu’on obtient, pour les diverses contributions à l’énergie libre W :
Il paraît naturel de poser que la rotation reste petite
dans des champs Ha relativement grands. Les termes
en 2013~ sin4 p sin2 20 disparaissant de Ea, les angles 6
prennent les valeurs 01 = 02 = . ~F Exprimée en fonc-
tion de v, l’énergie libre W(v, c) correspondante est
en av2 -)- ~~ -)- c, donc minimale pour == 2013 . ~
et alors donnée par : 2a’
où les termes a, b, c, explicités en fonction de E1 = pi et de r:,2 == 7t - CP2’ et arrêtés au deuxième ordre, s’écrivent :
Plutôt que de substituer dans (32) les relations (33),
pour chercher ensuite le minimum de l’expres-
sion W(~1, E2) obtenue, nous raisonnerons de manière indirecte. Nous observerons d’abord qu’avec k très petit devant 1, a, qui intervient par son inverse dans
W(cp), est pratiquement minimal si ~1 = E2’ Mais en
ce cas, dans b, les éléments prépondérants, à facteurs
en K1 et 27r(l 2013~)~? s’annulent.
En fait, admettre que E1 = s, revient à superposer le déplacement de paroi créé par le champ longitu-
dinal H il, à la rotation imposée par le champ trans-
versal Hal, sans que se couplent ces deux phénomènes,
la rotation étant, en particulier, donnée par (23), mais
avec Hal substitué à Ha. Dans un pareil processus,
l’énergie libre est, d’après (17) et (25) :
comme on peut le vérifier aussi en calculant, avec
a, b, c ici simplifiés en ao, bo, cQ, W(e) puis e et
enfin W.
L’expression générale de l’énergie libre ajoute à (34)
des termes de couplage, liés à la différence des angles F-1 et E2. Or celle-ci, due à l’écart entre 1> - El et
7t - 1> - S2, est assurément très faible dans le cas que
nous examinons, où 1> est voisin de ~~2. Nous pouvons,
en conséquence, poser E2 = E1-~- ~e, et donc déterminer
les termes (33), maintenant de la forme a = ao + 8a,
b = bo + ~b, c = c,, + 8c. Il vient, en négligeant des
infiniment petits d’ordre supérieur, 8a = 0 ; 8b = - 8c
= - 2r=f§ £ 8£ + H~ iY~ 8£ = 0, c’est-à-dire 8 W = 0.
Le couplage, ainsi très petit, est certainement d’effet
négligeable sur l’énergie libre, bien approchée par la relation (34), et le déplacement de paroi reste prati-
quement donné par (16).
L’expression (34) de W perd son sens dès que les
approximations sur lesquelles elle repose tombent en
défaut, ou que Hal dépasse le champ (H, ),. Comme
ces restrictions jouent séparément, intervenant ou l’une
ou l’autre, il importe de les examiner sur des cas particuliers.
Prenons D respectivement égal à 850 et 80°. Mesuré
en oersteds, k le champ (Ha,), vaut 930 ~ et
-2 h(,85) )
et
1 880
20132013, avec h(85)
= 0,38 X 10 et h(80) A(o0)
= 1,55 X 10-2, donc 610 ~ et 300 ~ pour un
ellipsoïde de paramètre k = 0,25 X 10-2. Or la rota- w
tion due à H,_L, considéré comme agissant seul, n’est
encore que de 0,1 radian, moins de 60, pour un champ Ha1 de 700 ~. Autrement dit, pour l’ellipsoïde en question, les approximations qui ont conduit à (34)
sont justifiées jusqu’au-delà du domaine de validité de (34), bien limité par (Hal)0’ Au contraire, Sli’
k = 2,5 X 10-2, nos hypothèses sur les angles c~1 et Y2 deviennent incorrectes bien avant que Ha.L n’attei-
gne (Ha.L)o’ Quoique l’énergie libre corresponde tou- jours à un déplacement de paroi et à une rotation, il
devient rapidement impossible de l’exprimer sim- plement.
Lorsque (H,,,), tombe assez bas pour que y, et
n - cp2 soient toujours très voisins et petits, la rela-
tion (34) s’étend à 7~ ~> (Ha.L)0’ à condition d’y remplacer WDP par :
f) Nucléation. -- Qu’il existe une ou deux phases,
les angles cp tendent à se rapprocher de 0 quand le champ /~ croît, et il est sûr que, dans l’énergie libre,
le terme Ea va augmenter beaucoup. L’inconvénient
est de même nature que celui introduit, à k # 0, par le champ démagnétisant longitudinal, et dont on vient
de voir l’effet.
Ces difficultés disparaîtraient si les aimantations
spontanées se réarrangeaient, en profitant de l’existence des deux autres axes de facile aimantation.
Pour restreindre le problème, plaçons-nous dans le
cas important où lY’ = ~j4, et considérons le système composé des quatre phases définies, d’une part par le même angle c~, et de l’autre, pour deux fractions r~j2
du volume unité, par les angles 0 et ~~2 - 0, et, pour les deux fractions com lémentaires 1- ~, par les
angles + 0 et 3rj2 - 0. La composante Hd1- du
