Modélisation des écoulements en milieux poreux non saturés par la méthode des éléments finis mixtes hybrides

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saturés par la méthode des éléments finis mixtes

hybrides

Benjamin Belfort

To cite this version:

Benjamin Belfort. Modélisation des écoulements en milieux poreux non saturés par la méthode des éléments finis mixtes hybrides. Mécanique des fluides [physics.class-ph]. Université de Strasbourg, CNRS, 2006. Français. �tel-02307165�

I

NSTITUT DE

M

ECANIQUE DES

F

LUIDES ET DES

S

OLIDES

UMR

CNRS

7507

THESE

Présentée en vue de l’obtention du grade de

D

OCTEUR DE L

’U

NIVERSITE

L

OUIS

P

ASTEUR DE

S

TRASBOURG

Spécialité : Mécanique des fluides Par

Benjamin BELFORT

MODELISATION DES ECOULEMENTS EN MILIEUX

POREUX NON SATURES PAR LA METHODE DES

ELEMENTS FINIS MIXTES HYBRIDES

Soutenue le 2 novembre 2006 devant le jury constitué de :

MM. SONNENDRUCKER Eric Rapporteur interne

VOLTZ Marc Rapporteur externe

van GENUCHTEN Martinus Rapporteur externe

ACKERER Philippe Directeur de Thèse

LEHMANN François Examinateur

Au petit Paul, à sa grande sœur Margot, et à leur maman…

J’étais loin de me douter, par cette matinée de novembre 2002, qu’une page importante de ma vie se tournerait en ce lieu étrange(r). « Institut de Mécanique des Fluides et des Solides » (IMFS) peut-on lire sur la façade, un simple nom qui en ferait fuir plus d’un(e [pour la parité]), comme d’ailleurs les sujets qui y sont traités (regarder simplement le titre de ce mémoire !). Et pourtant, j’y suis entré, un peu perdu peut être. On dit souvent que la recherche (du bonheur, aussi,) tient à pas grand chose, qu’il faut rencontrer les bonnes personnes au bon moment. C’est un peu ce qui m’est arrivé. Alors, avant de passer à autre chose (pour moi) et avant d’entrer dans le vif de mon mémoire (pour vous), je tiens simplement à remercier ces personnes qui m’ont entourées.

Sans vouloir refaire l’apologie de ses qualités (la charte de Thèse est là pour cela), je voudrais saluer l’encadrement charismatique et humain de mon directeur de thèse, Philippe Ackerer, Directeur de Recherche au CNRS. Son expérience, ses conseils avisés et son soutien régulier m’ont été très précieux.

Je tiens également à remercier, M. François Lehmann, Maître de Conférences à l’Université Louis-Pasteur de Strasbourg (ULP), pour m’avoir accueilli chaleureusement dans l’UTR « Transfert en milieux poreux hétérogènes », dont il assume en partie la responsabilité. A défaut d’habilitation officielle, il restera pour moi un co-directeur exemplaire, dont les qualités d’écoute, la disponibilité et l’aide amicale, tant en matière d’enseignement que de recherche, n’ont d’égales que sa taille.

Parmi les personnes que je voudrais associer à mes travaux, figurent également MM. Anis Younes, Chargé de Recherche au CNRS, et Jérôme Carrayrou, Maître de Conférences à l’ULP. Merci à eux d’avoir partagé leurs idées et expériences.

Je pense aux collègues et amis qui m’ont accompagné dans cette aventure : mes camarades de bureau, Charles Danquigny, Luc Pierrejean, Ingrid Pollet et Vincent Fontaine, pour leur humour et leur amitié ; à une nouvelle permanente, Mme

doctorants de l’équipe HTMP, Nicolas Pequignot, Mohammed et Taef Hayek, Charbel Pierre El-Souedy, Marwan et Hassan Fahs, Ahmed Selim, Lotfi Dridi et

Hussein Beydoun ; aux personnels des autres équipes, notamment Fabrice

Lawniczak, Adel Benchabane et Walid Jaafar (mon compère moniteur et ATER). Je remercie également M. Yves Rémond, Professeur à l’ULP, pour m’avoir accueilli au sein de l’institut qu’il dirige, ainsi que l’ensemble du personnel administratif et technique qui contribue souvent à entretenir et améliorer nos conditions de travail.

J’exprime aussi toute ma reconnaissance aux personnes qui ont accepté d’être membres du jury : MM. Eric Sonnendrucker, Professeur à l’Institut de Recherche Mathématique Avancée de l’ULP, Marc Voltz, du Laboratoire d’étude des interactions entre sol, agrosystème et hydrosystème, Martinus van Genuchten, de l’US Salinity Laboratory, et Cyril Kao, du Cemagref Antony. J’ai apprécié leurs commentaires et leurs questions très pertinentes lors de la soutenance.

J’adresse également un grand merci à MM. Abdel Lyazid (mon tuteur pédagogique) et Jean-Jacques Karl, Maîtres de Conférences à l’ULP, et Michel Gavignon, Professeur, qui m’ont intégré dans le département GIM de l’IUT Louis-Pasteur de Schiltigheim, et ont contribué à mon initiation à l’enseignement supérieur.

Enfin, mes dernières pensées vont à ma femme, Emilie, Mère au Foyer (le choix du cœur, mais c’est pas toujours facile), et à mes enfants, Paul et Margot, nés durant cette aventure.

SOMMAIRE

Avant-propos 1

Sommaire 3

Introduction 9

Chapitre 1 Les écoulements en milieux poreux 15

1.1. Une description du milieu poreux ... 16

1.1.1. La phase solide ... 16

1.1.2. La phase fluide ... 17

1.1.3. Les interactions entre phases... 18

1.2. De l’échelle du pore à l’échelle macroscopique... 20

1.2.1. Les écoulements à l’échelle du pore ... 20

1.2.2. Transition vers l’échelle macroscopique... 22

1.2.3. Les écoulements à l’échelle du V.E.R. ... 23

1.3. L’hydrodynamique des milieux non saturés ... 26

1.3.1. Le régime multiphasique dégénéré (Richards, 1931) ... 26

1.3.2. Les relations constitutives ... 28

1.3.2.1. La courbe de rétention d’eau ... 28

1.3.2.2. La conductivité hydraulique... 30

1.3.3. Les limites de cette modélisation... 31

1.4. D’autres approches de modélisation ... 33

1.4.1. Le modèle diphasique et le modèle par écoulement fractionnel... 33

1.4.2. Une modélisation incluant la pression capillaire dynamique... 34

1.4.3. La modification du modèle de van Genuchten ... 36

Chapitre 2 Résolution numérique avec la méthode des éléments finis mixtes

hybrides 41

2.1. Résolution numérique de l’équation de l’hydrodynamique ... 42

2.1.1. Formulation du problème à résoudre... 42

2.1.1.1. Les formulations de l’équation de Richards et leurs spécificités ... 42

2.1.1.2. Définition du problème direct continu... 44

2.1.1.3. Résultats attendus ... 44

2.1.2. Généralités sur la résolution numérique ... 45

2.1.3. La méthode choisie ... 47

2.2. Mise en œuvre des EFMH... 48

2.2.1. Notations et préliminaires ... 48

2.2.2. Construction du système matriciel hybride ... 50

2.2.2.1. Ecriture variationnelle de la loi de Darcy-Buckingham ... 50

2.2.2.2. Discrétisation de l’équation de Richards ... 51

2.2.2.3. Linéarisation et expression de la pression moyenne ... 52

2.2.2.4. Expression des flux et hybridation du système ... 53

2.2.3. Algorithme et commentaires... 55

2.3. Le schéma avec condensation de la masse ... 57

2.3.1. Motivations ... 57

2.3.2. Présentation de la méthode de condensation de la masse (EFMHC) ... 58

2.3.3. Quelques précisions : oscillations, algorithme et linéarisation... 60

2.3.3.1. Le problème des oscillations... 60

2.3.3.2. Algorithme, variables et mises à jour ... 62

2.3.3.3. Linéarisation avec la méthode modifiée de Picard... 62

2.3.3.4. Linéarisation avec la méthode de Newton-Raphson... 63

Chapitre 3 Estimation de la perméabilité relative équivalente 71

3.1. Nécessité d’estimer la conductivité relative... 72

3.1.1. Insuffisance des relations constitutives ... 72

3.1.2. La conductivité relative équivalente... 74

3.1.3. Les différentes formulations ... 75

3.1.3.1. Conductivité équivalente pour les différences finies ... 76

3.1.3.2. Conductivité équivalente pour les éléments finis mixtes hybrides... 77

3.2. Conductivité équivalente pour les schémas DF et EFMH ... 78

3.3. Généralisation pour le schéma avec condensation de la masse ...102

3.3.1. Cas tests en infiltration simple et infiltration suivie d’évaporation ...102

3.3.1.1. Infiltration superficielle ...102

3.3.1.2. Infiltration puis évaporation en pression imposée ...104

3.3.2. Procédure de changement de condition à la limite supérieure ...107

3.3.2.1. Algorithme de gestion des conditions aux limites...107

3.3.2.2. Cas tests effectués avec l’algorithme de sélection...108

3.3.2.3. Résultats des cas tests et conclusions ...109

3.3.3. Autres facteurs d’influence ...112

3.3.3.1. Influence de la gravité et de la raideur du front ...112

3.3.3.2. Influence du facteur de relaxation (τ) ...114

Chapitre 4 Méthodes adaptatives de gestion des non linéarités, du temps et

de l’erreur 123

4.1. Gestion des non linéarités de l’équation de Richards...124

4.1.1. Algorithme de sélection de la variable principale de résolution ...126

4.1.1.1. Linéarisation par les méthodes modifiée de Picard et Newton-Raphson ...126

4.1.1.2. Description des cas tests et résultats...127

4.1.2. Algorithme de sélection de la forme de l’équation de Richards ...131

4.1.2.1. Le choix de la forme de l’équation de Richards ...131

4.1.2.2. Description des cas tests et résultats...133

4.1.3. Conclusions...139

4.2. Gestion du pas de temps ...140

4.1.4. Méthodes a posteriori ...141

4.1.5. Méthodes a priori...142

4.1.5.1. Evaluation de l’erreur de troncature temporelle ...143

4.1.5.2. Définition du coefficient α...144

4.1.6. Comparaison des méthodes...146

4.1.6.1. Description du cas test 4 - 5 et résultats ...146

4.1.6.2. Conclusion ...149

4.3. Méthode alternative proposée ...153

4.1.7. Bilan et considérations bibliographiques ...153

4.1.8. Algorithme proposé ...154

4.1.9. Etude et optimisations ...156

Chapitre 5 Application de l’algorithme optimisé pour des écoulements

bidimensionnels 169

5.1. Evaluation des différentes techniques généralisées...170

5.1.1. Evaluation des formulations de conductivité équivalente généralisées ..172

5.1.2. Confirmation de la méthode adaptative de gestion du temps...174

5.1.3. Performances du schéma EFMHC et de l’algorithme optimisé ...175

5.2. Mise en œuvre de l’algorithme de sélection de la variable de résolution ...178

5.2.1. Linéarisation et initialisation...178

5.2.2. Cas test 5 - 2 ...179

5.2.3. Conclusion...180

5.3. Evaluation de l’algorithme 2D...181

5.3.1. Récapitulatif du contenu de l’algorithme...181

5.3.2. Test problème n=°1 pour l’évaluation finale (Cas test 5 – 3) ...183

5.3.3. Test problème n=°2 pour l’évaluation finale (Cas test 5 – 4) ...189

5.4. Conclusion et résumé ...196

Conclusion Générale et perspectives 197

Bibliographie 203

Annexe 1 : représentations graphiques des relations constitutives des

matériaux 215

Annexe 2 : fonctions de base et transformations 217

Annexe 3 : Systèmes matriciels Comparaisons DF, EF, EFMH,EFMHq,

EFMHC 219

Annexe 4 : Moyenne pondérée pour le calcul de la conductivité hydraulique 221 Annexe 5 : Matrice Modifiée de Picard et Matrice Jacobienne

Liste des symboles, notations et abréviations 227

Liste des figures 233

INTRODUCTION

Les eaux souterraines constituent l’essentiel des réserves mondiales d’eaux douces. Les enjeux socio-économiques liés à l’accroissement démographique et au développement industriel et agricole ont engendré une surexploitation et une pollution des aquifères qui menacent leur pérennité. Plus généralement, résoudre la crise de l’eau sous ses multiples aspects constitue l’un des nombreux défis que

devra relever l’humanité (Unesco, 2003). Avec la déclaration des objectifs de

développement pour le Millénaire (2000), le sommet mondial de Johannesburg (2002) puis l’année internationale de l’eau en 2003, les Nations unies ont intensifié leurs efforts pour établir et mener des plans de gestion intégrée des ressources en eau.

Si la compréhension des processus qui régissent les phénomènes d’écoulement et de transport en milieux poreux a toujours constitué un centre majeur d’intérêt pour la communauté des hydrogéologues (tout au moins !), l’attachement général pour le développement durable justifie certainement l’intensification des démarches de modélisation dans ce domaine. En effet, qu’elle soit expérimentale ou numérique, la modélisation constitue un outil essentiel de prévision, ce qui en fait indirectement mais consécutivement un des arguments décisionnels.

Dans le domaine des écoulements souterrains, l’utilisation des équations de comportement et de conservation a contribué au développement de modèles mécanistes performants en terme de compréhension physique et de simulations prévisionnelles. La première étape dans cette démarche de modélisation consiste à caractériser le domaine d’étude, le milieu poreux, puis à développer les équations permettant de représenter son état et son évolution. Le chapitre 1 présente, entre autre, le modèle mathématique de Richards décrivant les écoulements en milieux poreux non saturés. Les limites de cette modélisation sont énoncées et les pistes de justification sont évoquées via le changement d’échelle. Finalement, des extensions du modèle et d’autres modélisations proposées dans la littérature sont décrites comme autant de perspectives à ce travail.

Du fait de l’orientation déterministe de la modélisation, la seconde étape porte sur la résolution mathématique du problème. En raison des relations généralement non linéaires entre variables d’état, l’équation parabolique de Richards est résolue numériquement. Après un récapitulatif des différentes écritures possibles de l’équation de Richards et de leurs particularités, le chapitre 2 définit le problème direct et énonce clairement les résultats attendus. Les méthodes numériques utilisées dans ce contexte se sont largement diversifiées à partir des méthodes de types différences finies (DF) et éléments finis (EF). Différents schémas sont ainsi évoqués, tout comme les problèmes qui leur sont généralement attachés. Après avoir motivé notre choix en faveur des éléments finis mixtes hybrides (EFMH), cette méthode est présentée en détails. Dans la dernière partie de ce chapitre, une technique de condensation de la masse, permettant d’éviter l’apparition d’oscillations lors de la simulation de front raide d’infiltration, est présentée. Appliquée initialement à une équation d’advection – dispersion, soumis à ce type de difficultés (Younes et

al., 2005), cette nouvelle version des éléments finis mixtes hybrides a été

généralisée au modèle de Richards.

La description du modèle et le choix d’une méthode numérique de résolution restent cependant insuffisants pour simuler précisément un processus d’écoulement en milieu poreux non saturé. Le chapitre 3 met en évidence la nécessité de définir une formulation explicitant la conductivité relative équivalente à l’échelle de la maille. Différents cas tests effectués dans un contexte monodimensionnel illustrent parfaitement cette idée et permettent une sélection de formulations de conductivité équivalente. Des comparaisons entre les méthodes des différences finies, des éléments finis mixtes hybrides standards et avec condensation de la masse sont proposées. L’importance d’un algorithme de gestion des conditions aux limites, l’effet de la gravité ou encore l’influence de la pression capillaire dynamique sont également étudiés.

Le processus d’écoulement en milieux non saturés revêt un caractère dynamique qui conduit naturellement à s’interroger sur la gestion du temps lors de la résolution numérique. Il semble alors essentiel d’analyser également l’influence du choix de la variable de résolution (pression ou teneur en eau) et de la technique de linéarisation. Ainsi, le chapitre 4 est consacré à des algorithmes adaptatifs de gestion des non linéarités, de l’erreur de troncature temporelle et du pas de temps. Un algorithme combinant une technique de sélection de la variable primaire de résolution, la

méthode de Newton – Raphson et un contrôleur intégral pour l’estimation du pas de temps, est testé comparativement à des techniques couramment utilisées.

Toutes ces questions ont été étudiées dans un cadre monodimensionnel. Les différentes techniques et méthodes doivent ensuite être applicables à des écoulements 2D. Le chapitre 5 est dédié à cette généralisation. Les différents points - conductivité équivalente, gestion du temps et élimination des oscillations – ont fait l’objet de tests pour valider les techniques proposées et illustrer les performances de l’algorithme développé.

Les différents chapitres reprennent finalement les étapes de construction de l’algorithme. Le schéma suivant rappelle simplement les points étudiés spécifiquement.

Ecoulement en milieux poreux non saturés

Caractérisation du domaine d’étude Description de l’approche de modélisation

Résolution de l’équation de

Richards

Généralités sur les schémas numériques Description de la méthode des éléments

finis mixtes hybrides (EFMH)

Chapitre 1

Chapitre 2

Problématiques et contribution pour les EFMH

Problème d’oscillation : Quadrature ou technique de condensation de la masse ?

Estimation de la conductivité équivalente : moyenne standard ou moyenne arithmétique, géométrique, pondérée,

amont, avale,… ?

Gestion des non linéarités (sélection de la forme de l’équation ou des variables de résolution ?), de l’erreur et du pas de temps

(méthodes heuristique ou a priori ?)

Chapitre 3

Chapitre 4

Adaptation de l’algorithme en 2D Chapitre 5 Chapitre 2

Enfin, ce tableau permet d’introduire les différents cas tests qui apparaissent dans ce document. Il précise la numérotation, un bref intitulé et les principaux points étudiés.

TEST n=° Matériau

Intitulé

Détails p.

Objet

3 - 1 A Infiltration simple 102 Comparaisons des différentes versions EFMH 3 - 2 A Infiltration, évaporation 104

3 - 3 D Infiltration et gestion des conditions

aux limites 108

3 - 4 D évaporation et gestion des conditions

aux limites 108

Effet des conditions initiales et aux limites

3 - 5 A Infiltration horizontale / verticale 112 Effet de la gravité

Cha

pitre 3

3 - 6 E Infiltration horizontale avec relaxation 114

Efficacité des différentes formulation de conductivité équivalente Effet de la pression capillaire dynamique 4 - 1 A 127 4 - 2 E Infiltration simple 128 Méthode de sélection de la variable de résolution, méthode modifiée de Picard / Newton - Raphson

4 - 3 A 133

4 - 4 A

Infiltration avec conditions aux limites

variables ₁₃₆

linéarisation

Méthode de sélection de la forme / de la variable

4 - 5 A Infiltration simple 146 Méthode heuristique / a

priori

Cha

pitre 4

4 - 6 D Infiltration, évaporation et conditions aux limites variables 160

Gestion du pas de

temps Comparaison des méthodes a priori

5 - 1 A Infiltration localisée 170 Conductivité équivalente, gestion du temps 5 - 2 A Infiltration simple 179 Adaptation de l’algorithme en 2D Initialisation et linéarisation 5 - 3 E et F 183 Evaluation maillage rectangulaire Cha pitre 5 5 - 4 B et C Infiltration localisée, milieu variablement saturé

189 Algorithme proposé / méthodes standards Evaluation maillage triangulaire

CHAPITRE 1

1.1. Une description du milieu poreux 16

1.2. De l’échelle du pore à l’échelle macroscopique 20

1.3. L’hydrodynamique des milieux non saturés 26

1.4. D’autres approches de modélisation 33

LES ECOULEMENTS EN MILIEUX POREUX

Les écoulements en milieux poreux jouent un rôle important dans différents domaines des sciences et de l’ingénierie (Tableau 1.1). Cette présence généralisée sur la forme, et diversifiée au niveau des approches, tient certainement au fait que la plupart des matériaux naturels peuvent être considérés, au moins par extension, comme poreux.

Tableau 1.1. Quelques domaines et applications d’écoulements en milieux poreux.

Hydrologie Hydrogéologie

écoulement souterrain, intrusion d’eau salée dans les aquifères côtiers, décontamination de sol

enfouissement de déchets radioactifs, stockage du CO2,…

Géologie ingénierie des réservoirs pétroliers, énergie géothermique

Agriculture transport de polluant, irrigation, drainage, aquaculture

Ingénierie chimique et mécanique

(bio)réacteur, (bio)filtration, séchage.. sur lit granulaire pile à combustible, cellule photovoltaïque

réseau capillaire pour répartiteur et échangeur thermique, combustion en milieux poreux

Génie des procédés Filtres, membranes

Matériaux industriels Structures alvéolaires, mousse, fibre de verre et matériaux composites, brique, béton

Compte tenue de cette multiplicité d’applications, ce chapitre caractérise dans un premier temps le milieu poreux relativement à l’étude physique développée. Le passage de l’échelle microscopique à l’échelle macroscopique permet de récapituler les équations décrivant les processus physiques tout en précisant leurs limites d’application. Enfin, les spécificités des écoulements en milieux poreux non saturés

1.1. Une description du milieu poreux

Les sols peuvent être définis de manière générale comme le produit, remanié et organisé, de l’altération de la couche superficielle de la croûte terrestre, essentiellement sous l’action d’agents climatiques et biologiques (Musy et Soutter, 1991). Ils constituent un exemple complexe de milieu poreux naturel, au même titre que les roches ou sables considérés spécifiquement. Comme le rappelle le Tableau 1.1, un milieu poreux peut également être de nature artificielle, simplement parce que du point de vue physique, il se définit comme un milieu multiphasique comportant une phase solide et des phases fluides, liquide et gazeuse. Dans le contexte des sciences du sol, la matrice solide évolue relativement lentement en terme de composition et d’organisation. Toutefois, la présence du sol au sein d’un écosystème et les fluctuations possibles des phases fluides en font un environnement dynamique complexe, au sein duquel ont lieu des processus de transfert et de transformation de matière. La caractérisation des écoulements en milieux poreux requiert à la fois une description du support solide, ainsi qu’une étude des propriétés de la phase fluide. Cette séparation méthodologique d’éléments en interaction est certes artificielle, mais s’avère conceptuellement pratique pour notre description.

1.1.1. La phase solide

La matrice solide du milieu poreux est constituée de particules minérales, de taille et forme variables, et d’éléments organiques, issus de la décomposition plus ou moins avancée de débris végétaux et animaux. Elle peut être caractérisée en considérant ses propriétés intrinsèques et relatives.

La composition de la phase solide renvoie à la texture du sol, autrement dit, la distribution en différentes classes de tailles (argile, limon, sable et gravier) (Figure 1.1 a°)). Les réactions physico-chimiques dont elle est le siège ne sont pas prises en compte dans la présente étude, ce qui revient à lui associer une propriété de stabilité relative à ces processus. Celle-ci reste acceptable à l’échelle macroscopique et au regard de la rapidité des autres processus en jeu.

L’organisation de la matrice solide correspond à la manière dont sont associés les différents constituants élémentaires. La structure du sol suggère l’existence d’une

fraction du milieu non occupée par les grains solides, l’espace poral ou lacunaire, qui permet dès lors le déroulement de processus de transfert de la phase fluide ou le développement d’organismes biologiques (Figure 1.1 b°)). Cette caractéristique s’avère fondamentalement instable.

La morphologie des pores et la distinction résultante entre milieux continus (milieux poreux et finement fissurés) et milieux discontinus (milieux fissurés et karstiques), conditionnent fortement l’étude et la modélisation des processus de transfert dans le sol. Par conséquent, il convient de préciser que notre étude s’intéresse uniquement aux pores de petites tailles et interconnectés.

Finalement, la phase solide est considérée comme indéformable, autrement dit stable, et continue.

Figure 1.1. a°) Exemple de classification texturale (United States Department of

Agriculture) ; b°) Illustration de la texture d’un sol argileux (Roth, 2005).

1.1.2. La phase fluide

Elle comporte les phases liquide et gazeuse qui peuvent potentiellement se déplacer et interagir à l’intérieur de l’espace poral. Les processus sont alors en partie conditionnés par les propriétés physico-chimiques des fluides présents, telles que leur viscosité, leur compressibilité, leur réactivité ou leur miscibilité.

b°) section fine de 1mm de longueur prise dans une argile limoneuse. Le différents pores apparaissent clairement tout comme les agrégats (formes jaunes).

Dans cette étude, l’eau constitue la seule phase liquide présente tandis que la phase gazeuse se limite à la présence éventuelle d’air. Exception faite de l’eau hygroscopique, adsorbée sur les grains en raison des forces d’attraction moléculaire, la mobilité de la phase liquide doit être précisée localement et à un instant donné, à partir de principes thermodynamiques sur l’état d’énergie et en fonction de la nature de l’espace poral.

La composition de l’air du sol se distingue par rapport à l’air atmosphérique par une proportion plus importante de dioxyde de carbone. Lorsque la saturation en eau n’est pas atteinte, la vapeur d’eau abonde dans l’espace poral en fonction de l’importance relative des phénomènes d’évaporation, de condensation et d’échange. L’hypothèse de quasi isothermie du milieu conduit à négliger la contribution de la diffusion de vapeur au mouvement global de l’eau (Hillel, 1988).

Dans les différentes parties de ce document, l’utilisation du terme monophasique renvoie aux écoulements saturés, pour lesquels l’eau est le seul fluide présent, tandis que les écoulements non saturés sont considérés comme diphasiques du fait de la présence d’air et d’eau.

1.1.3. Les interactions entre phases

La distribution et le comportement de l’eau dans les milieux poreux sont déterminés par les interactions au sein même de la phase fluide et avec la matrice solide.

La mouillabilité se conçoit comme la capacité d’un liquide à se répandre sur une

surface solide. Cette propriété fait intervenir un angle de contact Θ, qui

correspondant à l’angle développé entre les interfaces liquide-solide et liquide-gaz et qui est généralement décrit par la loi de Young-Dupré. La mouillabilité dépend entre autre :

• des propriété intrinsèques telles que la rugosité de la surface solide, de ses hétérogénéités chimiques et des solutés présents dans le liquide (de Gennes, 1985)

• mais aussi des propriétés relatives à l’état initial du système et au mouvement de la phase liquide, en particulier son orientation et sa vitesse.

DeBano (2000) propose une synthèse historique très générale illustrant l’importance du phénomène de résistance à la mouillabilité.

La tension de surface γ entre liquide et gaz détermine la géométrie de leur _gl interface. Qu’elle soit obtenue par des considérations mécanistes traditionnelles ou développée plus rigoureusement sur des bases thermodynamiques (Pellicer, 1995), elle permet simplement d’exprimer, à l’équilibre, le saut de pression de part et d’autre de l’interface. L’équation de Young-Laplace ainsi obtenue s’écrit :

gl 1 2 1 1 P R R ⎛ ⎞ Δ = γ _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ (1.1)

où R1 et R2 sont les rayons de courbure principaux d’un point donné de l’interface.

La pression capillaire PC est généralement définie comme la différence de pression

entre la phase gazeuse (air atmosphérique) et la phase liquide (eau) :

C G L

P =P − (1.2) P

Avec une pression de gaz supposée constante et égale à la pression atmosphérique prise comme référence (cas des sols bien aérés), la pression du liquide est alors directement définie par :

L gl 1 2 1 1 P R R ⎛ ⎞ = −γ _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ (1.3)

Lorsque la phase gazeuse est comprimée (piégeage d’air), il est nécessaire d’ajouter la différence locale de pression entre l’air et l’état de référence dans le calcul du saut de pression à l’interface. Quoi qu’il en soit, cette pression peut atteindre des valeurs négatives très importantes, d’où son appellation de succion ou tension. Paradoxalement, lorsque les rayons de courbure deviennent très petits, la succion augmente par capillarité sans que les forces d’adsorption ne soient prises en considération. D’autres modélisations ont ainsi été développées pour inclure les effets d’adsorption (cf. Hoffmann, 2003) ou pour redonner un fondement thermodynamique à la pression capillaire (Gray et Hassanizadeh, 1991). L’épaisseur du film adsorbé et/ou la surface de contact entre phases, qui interviennent alors directement, ont un impact essentiellement pour les sols à texture fine.

1.2. De l’échelle du pore à l’échelle macroscopique

A partir de considérations sur la dynamique des fluides et à partir des informations détaillées dans le paragraphe précédent, cette partie récapitule les développements mathématiques généralement utilisés pour décrire les écoulements en milieux poreux.

1.2.1. Les écoulements à l’échelle du pore

Dans l’espace lacunaire, l’écoulement monophasique est déterminé principalement par la géométrie des pores. La matrice solide délimite l’écoulement et exerce des forces de viscosité.

Dans le cadre d’une description eulérienne, pour un fluide newtonien incompressible, l’écoulement isotherme est décrit par l’équation de conservation du moment, dite de Navier-Stokes (Bird et al., 1960) :

( )

∂ ρ + ρ ∇ = ρ − ∇ + μ∇ ∂ 2 v v. v g p v t (1.4)

avec ρ la masse volumique constante, μ la viscosité dynamique constante (du fait de l’isothermie), t le temps, v la vitesse, p la pression et g l’accélération de la pesanteur.

L’équation de conservation de la masse s’écrit également :

∇ =.v 0 (1.5)

Les nombres adimensionnels de Reynolds (Re) et de Froude (Fr) quantifient l’importance relative de l’inertie par rapport à la viscosité et à la gravité respectivement. Le nombre de Strouhal (St) compare les termes d’accélération convective et instationnaire.

( )

( )

2

( )

2 v. v _u v. v _u v. v _u Re ; Fr ; St g v g v t ρ ∇ _ρ ρ ∇ ρ ∇ _τ = ≈ = ≈ = ≈ μ μ∇ ρ _ρ∂ ∂ (1.6)

Le domaine d’écoulement est décrit conceptuellement par sa longueur caractéristique ; τ correspond au temps caractéristique de fluctuation des forces extérieures et u représente l’amplitude de la vitesse caractéristique d’écoulement.

En négligeant le terme d’inertie, i.e., en considérant St 1, Fr 1 et Re 1, et en

supposant également que la variation des forces extérieures est lente à l’échelle de la dynamique interne, i.e., St max Fr;Re

(

)

, l’équation (1.4) est réduite à l’équation de Stokes en régime permanent :

μ∇2_v= ∇ − ρ_{p g (1.7)}

Pour les écoulements multiphasiques à l’échelle du pore, les équations de conservation du moment (Eq. (1.4)) et de la masse (Eq. (1.5)) doivent être écrites pour chacune des phases gazeuse et liquide. Différentes hypothèses, consenties généralement sur la phase gazeuse, permettent la simplification du système. Le gaz est ainsi considérée constamment à la pression atmosphérique, sa mobilité est supposée infinie et l’effet de la gravité est négligé. En conséquence, l’équation de Stokes satisfait à la description de ce système.

Quelque soient les hypothèses retenues, la résolution de l’équation caractérisant l’écoulement requiert la spécification de conditions initiales et aux limites, qui peut constituer une étape délicate, tant du point de vue de la formulation des interactions entre le fluide et ses limites physiques, que du point de vue de la sensibilité du système par rapport aux conditions initiales (Roth, 2005). Le nombre adimensionnel

de Knudsen (Kn) exprime le rapport entre le libre parcours moyen des molécules (λ )

et une longueur caractéristique du domaine d’écoulement .

Kn= (1.8) λ

Pour des valeurs suffisamment petites (Kn <10-3 pour les gaz et Kn < 10-1 pour les liquides (Hoffmann, 2003)), le fluide est supposé continu et la condition d’adhérence à l’interface fluide-solide reste valable. Des conditions sur le saut de pression et le transfert de masse à l’interface entre deux fluides sont également nécessaires.

1.2.2. Transition vers l’échelle macroscopique

En raison de l’étendue des domaines réels étudiés et de la variabilité spatio-temporelle des processus, qui contrastent avec l’insuffisance fréquente de mesures, la caractérisation du système par des paramètres macroscopiques et la description du mouvement à travers des équations adaptées à l’échelle d’étude constituent des aspects déterminants. Déjà au niveau du pore, et de manière plus intuitive à une échelle plus large, les descriptions locales affectent la valeur d’un paramètre à un « point matériel ou physique » qui diffère du « point mathématique » dans le sens où il est représentatif d’un certain volume. Bear (1976) évoque ainsi la densité du fluide à l’échelle microscopique et reprend la notion de Volume Elémentaire Représentatif (V.E.R.) pour la porosité à l’échelle macroscopique (Figure 1.2). Qu’il soit défini à partir d’une approche déterministe ou statistique, ce volume de contrôle assure la

continuité du milieu poreux au regard de la grandeur considérée. La porosité ε est

définie par la relation suivante :

P Ver

V V

ε = (1.9)

où VP représente le volume de l’espace poral et Vver le volume de contrôle.

Figure 1.2. Détermination de la dimension d’un V.E.R (17 mm) d’un échantillon (Roth, 2005).

Dans la littérature relative à l’hydrogéologie, différentes techniques de changement d’échelle ont été proposées. Sans réaliser de revue exhaustive (cf. Cushmann et al., 2002), il est possible de distinguer une première approche de prise de moyenne qui consiste à intégrer sur le V.E.R les équations microscopiques, puis à utiliser des

Longueur du domaine d’intégration (mm)

Sections horizontales distantes de 6 mm prises dans un échantillon d’argile limoneuse (dimension : 48 mm de côté et résolution : 0.12 mm).

Porosité estimée de l’échantillon. (cyan : localisation particulière, magenta : moyenne, noir : maximum, minimum et deux quartiles)

Porosité mo

yenne

équations complexes de fermeture pour s’affranchir des grandeurs microscopiques persistantes. Lorsque les échelles sont séparées et le système périodique, la méthode d’homogénéisation permet l’« upscaling » par le biais de développement asymptotique. Par ailleurs, la théorie stochastique considère les variables du système d’un point de vue statistique et les solutions des équations différentielles caractérisant l’écoulement sont alors définies comme des densités de probabilité ou des moments statistiques. Une combinaison entre ces méthodes est également envisageable (Neuweiler et Cirpka, 2005). Certaines hypothèses plus ou moins empiriques portant sur la distribution spatio-temporelle des propriétés, ou sur les relations entre variables, permettent une application simplifiée des méthodes de « macroscopisation » évoquées.

Une seconde approche consiste à aborder directement l’étude à l’échelle macroscopique en considérant le fluide et le milieu poreux comme un ensemble déformable vérifiant une équation de conservation macroscopique. La théorie de mélange introduit des termes pour tenir compte des interactions entre phases et développe des équations constitutives, soit en les postulant directement à partir d’observations, soit en utilisant le second principe de la thermodynamique.

Finalement, les deux approches précédentes peuvent être combinées en une théorie hybride, qui se fonde sur les équations de conservation des phases et interfaces à l’échelle microscopique. Les relations constitutives sont établies au niveau macroscopique conformément à la théorie de mélange.

1.2.3. Les écoulements à l’échelle du V.E.R.

La quantité de fluide et son énergie potentielle constituent des variables d’état essentielles pour la description macroscopique d’un fluide isotherme dans un milieu

poreux. Les saturations en liquide (SL) ou en gaz (SG) sont définies à partir des

volumes (VL et VG) ou des fractions volumiques (θ_L et θ ) de chaque phases : _G

G G L L L G P P V V S ; S V V θ θ = = = = ε ε (1.10)

où VP représente le volume de l’espace poral et ε la porosité.

( )

( )

( )

M P,i 0 G,i z T,i i 0 i Z M P M P z .g.dz ψ ψ ψ = − − ρ

∫

(1.11)

où l’état de référence est considéré à la côte z0 et le point d’étude M à la côte z, avec l’axe des hauteurs orienté vers le bas. Ainsi, le potentiel de l’eau (ψ_T,L) correspond à l’énergie par unité de volume d’eau à fournir pour assurer le déplacement entre l’état de référence et le point M. Pour un milieu incompressible, ce potentiel s’écrit :

(

)

T,L P,L Lg z z0

ψ = ψ − ρ − (1.12)

Dans le cas des écoulements multiphasiques, ψ_P,L est décrit par les densités

d’énergie associées aux interfaces liquide-solide et liquide-gaz. En le décomposant sous la forme, ψ ψ ψ = − + − P,G M P,L PL PG PG P , (1.13) 0

il représente le concept de pression capillaire dynamique tandis que ψ_M désigne la pression capillaire statique. La terminologie est la même que celle développée dans le paragraphe sur les interactions entre phases mais à des échelles différentes. La pression effective (hL) et la charge piézométrique (HL) de l’eau du sol sont alors définies par : ψ ψ = = ρ ρ P,L T,L L L L L h ; H g g (1.14)

L’écoulement de l’eau au sein du milieux poreux est déterminé à partir de l’équation de conservation de la masse et de la définition du flux macroscopique. Ces équations sont explicitées dans le cas d’écoulements saturés en eau. L’intégration de l’équation de conservation microscopique conduit à l’équation macroscopique suivante, dans le cas d’un liquide pure faiblement compressible (Roth, 2005) :

[

L L

]

_[

_]

L L m . q t ∂ θ ρ + ∇ ρ = γ ∂ (1.15)

où γ représente un terme puits/source massique, _m ρ correspond à la densité _L

massique macroscopique, qui coïncide avec la moyenne sur le V.E.R. de la densité microscopique, i.e. _{ρ , et qL}μ

L désigne le flux volumique macroscopique donné par

L VL μ

En supposant que la porosité et la densité sont des fonctions de la pression, et en négligeant la compressibilité des grains et de la matrice poreuse immobile, l’expression précédente (1.15) peut être développée sous la forme :

L L L L v h S .S . .q t t ∂ ∂ φ + ε + ∇ = γ ∂ ∂ (1.16)

où φ = ε β + − ε β représente l’emmagasinement spécifique avec

(

. _L

(

1

)

. _S

)

β et _L β les _S coefficients de compressibilité spécifique du fluide et de la matrice poreuse, et γ un _v terme puits/source volumique.

Le premier terme du membre de gauche de l’équation (1.16) traduit le caractère potentiellement transitoire de l’écoulement en milieux poreux saturés.

A partir d’expériences monodimensionnelles sur des colonnes verticales de sol homogène, Darcy (1856) a proposé la première relation empirique entre le flux macroscopique et le gradient de charge. Cette équation a été généralisée pour caractériser les écoulements tridimensionnels:

L L L L g q = −kρ ∇H μ (1.17)

où k représente le tenseur de perméabilité intrinsèque du milieu poreux. Comme indiqué auparavant, ρL, μL et g représentent respectivement la masse volumique, la viscosité cinématique de l’eau et l’accélération de la pesanteur.

Par ailleurs, d’autres dérivations destinées à prendre en compte l’anisotropie, la variation de viscosité (fluide non newtonien) ou l’inertie ont été développées. Différents développements analytiques ont permis de retrouver la loi de Darcy à partir de l’équation microscopique de Stokes (e.g., Whitaker, 1986), ce qui suggèrent certaines conditions de validité. Les effets d’inertie ont été largement évoqués dans la littérature pour expliquer l’inapplicabilité de la loi de Darcy pour des vitesses d’écoulement élevées. Ainsi, des valeurs critiques du nombre Re, comprises entre 1 et 10, ont été proposées. Plutôt que de partir de considérations macroscopiques, Hassanizadeh et Gray (1987) expliquent les effets de non linéarité à partir d’une augmentation des forces microscopiques de viscosité avec la vitesse. Bear (1972) évoque également une limite inférieure liée au faible gradient et dans le cas des sols argileux. Le caractère non-newtonien de l’eau est alors supposé.

1.3. L’hydrodynamique des milieux non saturés

Cette partie est consacrée spécifiquement aux écoulements en milieux poreux non saturés. Les équations classiques traduisant la continuité et l’expression macroscopique du flux sont précisées dans ce contexte. Par ailleurs, l’introduction des relations constitutives est détaillée. Enfin, les limites de l’équation de Richards sont explicitement rappelées ouvrant ainsi la voies à d’autres formes de modélisation.

1.3.1. Le régime multiphasique dégénéré (Richards, 1931)

L’équation de conservation de la masse (1.15) est écrite sous une forme plus générale (Bear, 1972) :

(

)

(

)

L L L L L L L S m S . S v . S v t ∂ερ _{+ ∇ ερ + ∇ ερ = γ} ∂ (1.18)

où vL représente la vitesse de la phase liquide par rapport à la phase solide,

elle-même caractérisée par sa vitesse vS, qui dans de nombreux problèmes est négligée.

L’équation de Darcy (1.17) a été généralisée par Buckingham (1907) avec l’introduction implicite d’une perméabilité relative kr, conditionnée par la présence de fluide dans l’espace poral, qui conduit à l’expression suivante du flux (Narasimhan, 2004 et 2005) :

(

)

L L L L

S v q K. h z

ε = = − ∇ − (1.19)

avec K la conductivité hydraulique définie par :

L r L g K k.k .= ρ μ (1.20)

où k désigne le tenseur de perméabilité intrinsèque (équation (1.17)).

En supposant une faible variation de la densité avec la pression et la température constante, la combinaison des deux équations précédentes conduit à l’équation de Richards, modifiée avec le terme d’emmagasinement spécifique :

(

)

L L L L v h .S . . K h z t t ∂ ∂θ _{⎡ ⎤} φ + + ∇ _⎣ ∇ − _⎦= γ ∂ ∂ (1.21)

Si l’emmagasinement et le tenseur de perméabilité sont intrinsèquement propres au milieu poreux considéré, la détermination de l’écoulement requiert en revanche la

définition de relations entre les variables d’état du système, θ et h_L L, et la

conductivité hydraulique introduite. Cette étape est réalisée en introduisant la saturation et la pression capillaire.

La conductivité relative kr est donc définie comme une fonction de la saturation en

liquide :

( )

r r L

k =k S (1.22)

La pression capillaire, exprimée dans l’équation (1.2) comme la différence de pression entre les phases gazeuse et liquide, est également considérée comme une fonction de la saturation :

( )

C C L

P =P S (1.23)

avec une phase gazeuse supposée être constamment à la pression atmosphérique, la pression capillaire est directement reliée à la pression de la phase liquide.

Ces dépendances ont été suggérées essentiellement à travers des expériences, qui ont également mis en avant leur caractère hystérétique. Autrement dit, une même pression capillaire ou conductivité peut être obtenue avec des saturations différentes, suivant qu’il s’agisse d’une expérience d’infiltration ou de drainage.

En outre, la capacité capillaire C est également utilisée pour caractériser la relation entre pression et teneur en eau :

L L C h ∂θ = ∂ (1.24)

L’équation de Richards peut être écrite sous différentes formes (cf. chapitre 2) et la diffusivité D est parfois introduite :

L L

h

D= ∂ k

∂θ (1.25)

Finalement, seule l’équation traduisant le mouvement de la phase liquide est écrite et le caractère multiphasique du système intervient de part la dépendance de la conductivité et de la pression capillaire vis à vis de la saturation. Ainsi, « Lorenzo A. Richards a concrétisé les efforts de plusieurs générations antérieures de physiciens du sol, en formulant une théorie macroscopique générale pour la description du mouvement de l’eau dans les sols non saturés » (Raats, 2001). Afin d’alléger les

notations, l’indice relatif à la phase liquide est volontairement omis dans la suite du document.

1.3.2. Les relations constitutives

Les relations entre variables d’état, qui ont été évoquées dans la section précédente, sont décrites par des relations constitutives ou fonctionnelles traditionnellement réparties en deux groupes ou super-classes (Raats, 2001) :

• Le premier groupe de fonctionnelles permet de linéariser l’équation de transfert et autorise, par le biais de transformations, une résolution analytique de l’écoulement. Dans cette catégorie figurent les modèles où la diffusivité D est constante (modèle linéaire), varie suivant une fonction échelon (modèle de Green-Ampt) ou une fonction puissance (modèle de Brooks et Corey). Les modèles de Gardner (relation exponentielle entre la conductivité et la pression) et versatiles non linéaires sont également utilisés.

• Le second groupe de relations constitutives est préféré dans les études numériques. La démarche constitutive consiste à définir un modèle de courbe de rétention d’eau qui exprime la relation entre la teneur en eau et la pression. La conductivité relative est ensuite calculée à partir de considérations microscopiques sur la distribution des tailles de pores. Les modèles de Mualem – van Genuchten et Mualem – Brooks et Corey sont les plus fréquemment utilisés. Du fait de l’orientation numérique de ce travail, quelques précisions concernant la dernière classe évoquée sont apportées.

1.3.2.1. La courbe de rétention d’eau

En supposant que l’eau et l’air sont les deux phases mobiles présentes dans le milieu poreux incompressible, la courbe de rétention d’eau peut être schématisée comme proposée sur la Figure 1.3. La teneur en eau réduite, ou saturation effective Se, est généralement exprimée par la relation :

r s r

Se= θ − θ

θ − θ (1.26)

où θ correspond à la teneur en eau à saturation, c’est à dire lorsque la pression _s

Figure 1.3. Représentation schématique d’une courbe typique de rétention d’eau.

Tableau 1.2. Formulation la courbe de rétention d’eau pour différents modèles.

Références Formulation et Condition Paramètres

van Genuchten (1980)

( )

m n Se 1 1= ⎡_⎢⎣ + αh ⎤_⎥⎦ h 0< m 1 1 n= − Mualem (suggéré) n et α : paramètres de forme Brutsaert (1966), Ahuja- Swartzendruber (1972)

( )

n Se 1 1= ⎡_⎢⎣ + αh ⎤_⎥⎦ h 0< n et α : paramètres de forme Fredlund et Xing (1994)

(

( )

)

m n Se 1 ln e= ⎡_⎢ + αh ⎤_⎥ ⎣ ⎦ h 0< inf 1 h α = ; m et n : paramètres de forme

Brooks – Corey (1964) Se 1=

( )

α h λ α < −h 1 α =1 ha ; λ: paramètre lié aux tailles de pores

Tani (1982), Russo (1988),

Ross et al. (1993) Se=⎣⎡1+ α

( )

h ⎦⎤exp

(

−αh

)

h 0< α =1 hinf

Kosugi (1996)

( )

ln h Se 1 2erfc 2 ⎧⎡ α ⎤⎫ ⎪⎣ ⎦⎪ = _{⎨ ⎬} σ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

h 0< σ : paramètre lié aux tailles de

pores ; Se h 1/

(

= α =

)

0.5

Pour tous les modèles précédents, Se 1= si la condition sur la pression n’est pas respectée

0 -50 0. 0. 0. 0. Point d’inflexion Plage d’entrée d’air Valeur limite d’entrée d’air

hinf ha Pression, h (cm) Teneur e n e au vol. , θ (-) Teneur e n e au réduite , Se (-) 0.0 0. 1.0 θr θs

Le Tableau 1.2 récapitule les modèles décrivant la courbe de rétention d’eau tels que répertoriés par Raats (2001) et Kosugi et al. (2002). Ces relations, empiriques par nature, ont été explicitées théoriquement à partir de la distribution des tailles de pores par Fredlund et Xing (1994).

Le modèle de Brooks – Corey est plutôt adapté aux sols ayant une courbe de rétention en forme de J, i.e., présentant une pression d’entrée d’air prononcée, tandis que le modèle de van Genuchten, qui est une généralisation du modèle de Brutsaert, convient davantage aux courbes de rétention en forme de S. Lorsque le produit des paramètres m et n est constant, les deux modèles sont presque équivalents (van Genuchten et Nielsen, 1985).

1.3.2.2. La conductivité hydraulique

La conductivité relative macroscopique est obtenue par intégration de la contribution des pores donnée par la relation de Poiseuille. La distribution statistique des tailles de pores, la définition de modèles de tortuosité et de connectivité sont alors nécessaires, en plus de la relation précédente entre pression et teneur en eau.

Finalement, une formulation générique a été proposée pour unifier les travaux de Mualem (1976) et Burdine (1953) (cf. Kosugi, 2002) :

( )

( )

Se L 0 r 1 0 h dS k Se h dS ξ −β −β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _λ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∫

∫

(1.27)

dans laquelle L, β sont des paramètres reliés à la tortuosité et ξ dépend de l’évaluation du rayon effectif de pore (propre au modèle statistique retenu).

Pour les deux principaux modèles de Burdine et Mualem, le jeu de paramètres

(

L, ,β ξ

)

valent respectivement (2,2,1) et (0.5,1,2). Kosugi et al. (2002) précisent que la tortuosité pourrait être avantageusement adaptée à chaque type de sol en autorisant la variation du paramètre L.

Le Tableau 1.3 récapitule l’expression de la conductivité relative dans le cas particulier du modèle de Mualem, qui est utilisé en association avec le modèle de van Genuchten dans la suite du document.

Tableau 1.3. Expression de la conductivité relative pour différents modèles Références Formulation Van Genuchten (1980) L

(

1 m

)

m 2 r K =Se 1 1 Se⎡_⎢ − − ⎤_⎥ ⎣ ⎦ Brooks – Corey (1964) L 2 2 r K ₌Se + + λ Tani (1982), Russo (1988), Ross et Smetten (1993)

(

)

L r K =Se exp −αh Kosugi (1996)

(

)

2 L 1 r 1

K Se erfc erfc 2Se

2 2 − ⎧ ⎡ σ ⎤⎫ = _{⎨ ⎢} + _⎥⎬ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

Après avoir retenu des modèles pour définir la teneur en eau réduite et la conductivité relative, un certains nombre de paramètres doivent être précisés en fonction du type de sol présent. Pour les modèles de Mualem – Brooks et Corey et Mualem – van Genuchten, la valeur des 5 paramètres

(

K, , , et n ou θ θ α_{s r} λ

)

relatifs à différentes classes de sol ont été explicités respectivement par Rawls et al. (1982) et Carsel et Parrish (1988).

1.3.3. Les limites de cette modélisation

L’équation de Richards est largement utilisée pour modéliser l’écoulement d’eau dans les milieux poreux non saturés. Certaines limitations, déjà évoquées dans les sections précédentes, peuvent être résumées ainsi :

9 Le sol est isotrope, homogène, rigide et inerte.

Exceptions faites de l’incompressibilité et de l’inactivité, ces restrictions sont généralement contournées en supposant que le sol est constitué d’un nombre fini de couches homogènes et que le tenseur de perméabilité peut prendre en compte les effets d’anisotropie (Raats et al., 2004).

9 L’eau est faiblement compressible.

9 L’écoulement s’effectue à température constante et la conservation de l’énergie est ignorée de ce point de vue.

9 L’effet de l’air sur le mouvement de la phase liquide est négligé.

En d’autre terme, l’air est constamment à la pression atmosphérique et sa mobilité est infinie.

9 Le passage de l’échelle microscopique de Navier-Stokes à l’échelle de Darcy a montré que l’écoulement doit rester laminaire (faible vitesse) et la taille des pores suffisamment petite pour négliger le terme d’inertie.

9 Les effets d’hystérésis entre processus d’humidification et de drainage ne sont pas pris en compte. Le relation constitutives K – h – θ sont également considérées à l’équilibre.

1.4. D’autres approches de modélisation

Cette partie est consacrée à des approches différentes de modélisation des écoulements en milieux non saturés, qui répondent aux limites précédentes. Elles portent notamment sur la formulation du modèle mathématique de l’écoulement, sur le caractère des courbes de pression capillaire ou encore sur le modèle hydraulique de Mualem - van Genuchten.

1.4.1. Le modèle diphasique et le modèle par écoulement fractionnel

Les expériences de laboratoire et les simulations numériques ont montré que l’hypothèse sur la pression de l’air et sa mobilité n’est pas toujours réaliste. Ainsi, une partie de l’air peut être piégée et voir sa pression augmenter. Celia et Binning (1992) soulignent le caractère dynamique de la phase gazeuse lors d’un processus d’infiltration d’eau. Par conséquent, ils rappellent la nécessité de traiter indépendamment le mouvement de la phase gazeuse pour le transport de contaminants volatiles dans la zone non saturée. Les questions de remédiation par injection d’air sont également concernées par ce type d’approche.

Les équations de Richards (1.18) et de Darcy (1.19) peuvent être écrites spécifiquement pour chaque phase et une équation de conservation de la saturation des pores est alors ajoutée.

Ainsi, en considérant des écoulements horizontaux et monodimensionnels, les flux s’expriment comme suit :

( )

( )

= − θ ∇ψ = − θ ∇ψ G G P,G L L P,L q K . q K . (1.28)

En utilisant l’équation (1.13), il vient :

( )

_{( )}

( )

θ = − θ ∇ψ + θ L L L M G G K q K . .q K (1.29)

où le second terme du membre de droite complète l’équation de Richards énoncée auparavant. Lorsque le sol ne tend pas vers la saturation, le rapport entre les

conductivités des phases liquide et gazeuse reste faible, ce qui renforce la validité de la loi de Darcy-Buckingham (Roth, 2005).

Raats (2001) et Roth (2005) suggèrent par ailleurs une modification du calcul du flux selon laquelle, la vitesse d’une phase dépendrait du gradient de pression des deux phases : α α = = −

∑

_i ∇ _i i L,G q K . H (1.30)

D’autres modélisations ont également été proposées, notamment dans le domaine de l’ingénierie pétrolière. Chavent (1981) a introduit le concept de pression globale, définie par l’équation (1.31), afin de définir la vitesse totale uniquement à partir du gradient de cette variable non physique et indépendamment des gradients de saturation.

(

)

L S C G L L Sc dP 1 1 P P P f dS 2 2 dS ⎛ ⎞ = − − _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠

∫

(1.31)

où fL représente la fonction d’écoulement fractionnelle.

Plutôt que de considérer les pressions de chaque phase comme inconnues du problème, les équations sont écrites en terme de pression globale et de saturation d’eau. Deux équations (une en pression et l’autre en saturation) sont alors requises pour modéliser l’écoulement. La forme différente de ces deux équations est source de difficultés dans les cas complexes multidimensionnels, mais les problèmes monodimensionnels et incompressibles peuvent être simplifiés avantageusement.

1.4.2. Une modélisation incluant la pression capillaire dynamique

Le modèle de Richards est en partie fondé sur le concept de pression capillaire statique, tel qu’exposé dans la section précédente. Les courbes fonctionnelles associant pression et saturation sont alors établies dans des conditions de quasi-équilibre thermodynamique parfois difficilement atteignables. Hassanizadeh et al. (2002) ont répertorié un grand nombre d’expériences mettant en évidence, depuis plus d’un demi siècle, les effets dynamiques sur la pression capillaire.

Figure 1.4. Résultats expérimentaux de courbes de saturation rapportés par Smiles D. E. (cf. Hassanizadeh et al. (2002)).

Hassanizadeh et Gray ont ainsi soulevé un certain nombre de paradoxes relatifs à la modélisation des écoulements non saturés par l’équation de Richards (Gray et Hassanizadeh, 1991).

Par ailleurs, Nieber et al. (2005) insistent également sur ce phénomène pour expliquer l’apparition des digitations (« gravity-driven fingers ») dans les écoulements d’eau en milieu non saturé. Dans un premier temps, John L. Nieber (1996) a utilisé un paramètre de pondération pour ajuster la conductivité hydraulique, ce qui permet de créer une instabilité dans l’équation de Richards et donc de modéliser les digitations observées expérimentalement. Eliassi et Glass (2003) ont cependant confirmé le caractère purement numérique de ces instabilités. Une autre approche plus satisfaisante, fondée sur des considérations thermodynamiques générales, consiste à inclure les effets dynamiques sur la pression capillaire (Hassanizadeh et al., 2002 ; Nieber et al., 2005). Il « suffit » alors de substituer dans l’équation de Darcy-Buckingham la pression dynamique, exprimée, par exemple, avec un modèle du premier ordre : dyn stat h h g t τ ⎛∂θ⎞ − = _{⎜ ⎟} ερ _⎝∂ _⎠ (1.32)

L’équation de Richards monodimensionnelle (sans emmagasinement) s’écrit alors :

( )

stat,L

( )

r r v H kk kk t z z z z t ∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ∂θ₋ ∂ _{θ −} ∂ _θ ∂ _τ⎛∂θ⎞ _{= γ} ⎢ ⎜ ⎜ ⎟⎟⎥ ⎢ ⎥ ∂ ∂ _⎣ ∂ _⎦ ∂ _⎣ ∂ _{⎝ ⎝}∂ _⎠⎠⎦ (1.33) avec g τ τ = ερ .

Nieber et al. (2005) ont montré que l’équation de Richards précédente, en état de non équilibre ou avec un modèle de relaxation plus complexe, est conditionnellement stable, ce qui permet numériquement de retrouver des résultats expérimentaux de digitation.

1.4.3. La modification du modèle de van Genuchten

La relation entre θ et h peut être décrite par un des modèles exposés précédemment. Le modèle de Brooks et Corey présente une discontinuité de la dérivée de la teneur au niveau de la pression d’entrée d’air. Cette caractéristique mathématique a motivée le développement du modèle continûment différentiable de van Genuchten. Cependant, les sols à texture fine peuvent alors être moins bien représentés par ce modèle, notamment à proximité de la saturation. Par conséquent, des modifications ont été proposées pour introduire l’équivalent d’une pression d’entrée d’air, mais avec des valeurs restreintes par rapport au modèle de Brooks et Corey (Vogel et al, 2001) :

( )

_n m a * E e a 1 1 h , h h S S 1, h h − ⎧ _{⎡ + α ⎤ < −} ⎪ _{⎢⎣ ⎥⎦} = ⎨ ⎪ _{≥ −} ⎩ (1.34) avec,

(

)

n m * E a S = + α⎡_⎣1 h ⎤_⎦− (1.35)

où ha représente la pression d’entrée d’air de l’ordre de quelques centimètres.

D’après une analyse basée sur une large gamme de sols, Schaap et van Genuchten (2006) proposent une description améliorée de la conductivité hydraulique à proximité de la saturation.

Ippisch et al. (2006) montrent en fait que la pression d’entrée d’air s’impose naturellement lors de l’application du modèle définissant la conductivité hydraulique (typiquement Mualem ou Burdine). En effet, à proximité de la saturation, la

contribution des pores ayant des diamètres arbitrairement grands détermine le comportement de la conductivité relative. Cette dernière devient très raide. La pression d’entrée d’air permet alors physiquement de limiter la taille maximale des pores. La conductivité relative est alors définie par la relation :

( )

(

)

(

)

(

)

2 m 1/ m * E e L * s e _{*1/ m} m e E e _E * s e E 1 1 S S K S , S S K S _{1 1 S} K , S S ⎧ _{⎡ ⎤} − − ⎪ _{⎢ ⎥} ⎪ _{⎢ ⎥ <} ⎪ = ⎨ _{⎢ − − ⎥} ⎪ ⎢_⎣ ⎥_⎦ ⎪ ≥ ⎪⎩ (1.36)

Si la courbe de teneur en eau est faiblement modifiée par ces changements, le calcul de la conductivité est très sensible (cf. Figure 1.5).

Figure 1.5. Comparaison des modèles standard et modifié de Mualem – van Genuchten.

Finalement, les différents auteurs conseillent d’introduire une pression d’entrée d’air et d’utiliser le modèle modifié de van Genuchten lorsque n < 2 et / ou

( )

m 1 n α est petit. -10 -8 -6 -4 -2 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -10 -8 -6 -4 -2 0 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 -10 -8 -6 -4 -2 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -10 -8 -6 -4 -2 0 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 -10 -8 -6 -4 -2 0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -10 -8 -6 -4 -2 0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Con duc tiv ité r e dui te (-) Pression (cm) a°) a°) a°)

b°) modèle modifié de van Genuchten / Mualem

Capa ci té c api llai re ( cm -1) Pression (cm)

a°) modèle de van Genuchten / Mualem

Paramètres: qs=0,4; qr=0,1; a=0,05cm-1 b°) b°) b°) C o nduc tiv ité r édui te ( -) Pression (cm) Capa ci té c api llai re ( cm -1) Pression (cm) n=1.1 n=1.2 n=1.3 n=1.4 n=1.5 n=1.6 n=1.7 n=1.8 n=1.9 n=2 n=2.1 n=2.2 n=2.3 n=2.4 n=2.5 T en eur en eau ( -) Pression (cm) T ene ur en e au ( -) Pression (cm)

1.5. Conclusion et résumé

Ce chapitre a permis de récapituler les fondements théoriques du modèle mécaniste utilisé dans le cadre de ce travail. Il a été rédigé selon l’idée qu’une description séparée des phases et de leurs interactions à l’échelle microscopique est intéressante pour comprendre le développement des équations macroscopiques et les limites de cette modélisation.

Ainsi, l’équation de Richards suppose notamment que l’air est présent à la pression atmosphérique, que les effets dynamiques et d’hystérésis sur les relations K –h – θ sont négligés, que la matrice poreuse est inerte et indéformable, et que les processus thermiques sont négligeables.

Se limiter à la description de ce modèle et au récapitulatif de ses limites pourrait suffire, mais serait peu satisfaisant au regard des efforts consentis pour améliorer notre compréhension des phénomènes et notre démarche de modélisation. Bien qu’elles n’aient pas toutes été testées et incorporées dans des codes de calculs appropriés, d’autres approches récentes de modélisation ont été décrites dans ce chapitre. Elles pourront être vues comme autant de perspectives à apporter au présent travail et surtout comme une marque d’intérêt vis a vis des recherches en cours.

Finalement, la suite de ce document est consacrée à la résolution numérique de l’équation de Richards. Compte tenue de l’allure des relations h(θ) et k(θ), l’équation aux dérivées partielles est fortement non linéaire. Ainsi sa résolution numérique doit faire l’objet d’une attention particulière.

Le chapitre suivant est par conséquent consacré à différentes approches de résolution envisageables.

CHAPITRE 2

2.1. Résolution numérique de l’équation de l’hydrodynamique 42

2.2. Mise en œuvre des EFMH 48

2.3. Le schéma avec condensation de la masse 57

RESOLUTION NUMERIQUE AVEC LA METHODE DES ELEMENTS

FINIS MIXTES HYBRIDES

Le chapitre précédent a permis d’expliciter le modèle mathématique utilisé pour représenter les processus d’écoulements en milieux saturés et non saturés. Les limites de l’équation de Richards ont également été décrites et des alternatives suggérées. L’équation aux dérivées partielles, parabolique et non linéaire, ne peut généralement pas être résolue analytiquement et doit faire l’objet d’une résolution numérique. Différents facteurs influencent à la fois la validité de la solution et la rapidité d’obtention. Tout d’abord, l’équation de Richards peut être déclinée en différentes formes suivant les variables d’état présentes. Les formulations en pression (h), en teneur en eau (θ) ou mixte (h et θ), rigoureusement équivalentes d’un point de vue mathématique, se différencient sensiblement du fait des approximations numériques requises lors de leurs résolutions. Si la formulation en θ est souvent écartée en raison de contraintes en terme de non saturation et d’homogénéité du milieu, en revanche les deux autres formulations restent largement utilisées et leur particularités bien connues (Hills et al., 1989 ; Celia et al., 1990 ; Rathfelder et Abriola, 1994). Par ailleurs, différentes méthodes numériques peuvent être utilisées pour la discrétisation spatiale. Les méthodes des différences finies (DF) (Cooley, 1971 ; Desbarats, 1995 ; Romano et al., 1998) ou des éléments finis standards (EF) (Huyakorn et al., 1984 ; Milly, 1985 ; Pan et al., 1996) sont depuis quelques années concurrencées par des méthodes de type volumes finis (VF) (Manzini et Ferraris, 2004 ; Rees et al., 2004) ou éléments finis mixtes (EFM) (Chavent et Roberts, 1991 ; Arbogast et al., 1996 ; Bergamaschi et Putti, 1999), qui