Procédure de changement de condition à la limite supérieure

Les deux cas tests précédents sont effectués avec des conditions aux limites de type Dirichlet. Dans d’autres cas, nous disposons de données en terme d’intensité de pluie, qui sont alors traduites par une condition à la limite supérieure en flux. Van Dam et al. (2000 et 2004) évoquent les difficultés numériques relatives à la gestion de ce type de conditions aux limites. Leur algorithme de gestion des conditions aux limites a été traduit pour les éléments finis mixtes hybrides et des exemples documentés dans la littérature ont été repris.

3.3.2.1. Algorithme de gestion des conditions aux limites

Lorsqu’une condition en flux est imposée en surface, la gestion de cette condition suivant l’algorithme de la Figure 3.11 permet d’éviter l’apparition de résultats sans réalisme physique. La pression doit en effet être recalculée et conduit parfois à des valeurs de succion extrêmement importantes en évaporation, ou de pression élevée assimilable à une lame d’eau en phase d’infiltration. L’algorithme reporté ne concerne que le cas des sols non saturés, faute de quoi, le lecteur est invité à consulter l’article de van Dam et al. (2000). Si le flux imposé dépasse en quantité infiltrée (Qin) ce que le milieu peut effectivement recueillir, i.e. Vair, la condition bascule en pression imposée. Autrement, un test permet de distinguer un flux imposé (Qtop) agissant en infiltration ou en évaporation.

Pour les scénarios d’infiltration, la condition bascule en pression imposée si le flux dépasse le flux d’infiltration maximum (Imax), calculé simplement par la loi de Darcy-Buckingham avec une valeur maximale de pression (hmax). hmax représente la hauteur d’eau pouvant s’accumuler en surface.

Pour les scénarios d’évaporation, le même principe est appliqué avec un flux d’évaporation maximum (Emax), calculé avec une pression minimale (hmin) tolérée par l’utilisateur. Pour ce paramètre, van Dam et al. (2000) utilisent par exemple la pression atmosphérique.

Les résultats décrits par la suite sont obtenus en retenant hmin = -10000 cm et

Figure 3.11. Procédure de sélection de la condition appliquée en limite supérieure pour les sols non saturés.

3.3.2.2. Cas tests effectués avec l’algorithme de sélection

Les deux premiers exemples proposés par van Dam et al. (2000) ont été réalisés. Le milieu est décrit par la relation modifiée de Mualem - van Genuchten, du fait de la faible valeur du paramètre n (cf. chapitre 1). L’ensemble des paramètres est reproduit dans le Tableau 3.6, matériau D.

Les conditions de simulation pour les tests en infiltration (TEST 3 - 3) et en évaporation (TEST 3 - 4) sont reportées dans le Tableau 3.7. Ils sont référencés par leurs auteurs comme tests d’infiltration intensif en sol très sec et problème d’évaporation en sol humide.

Sol non saturé ?

Q_in > V_air ?

h_sur=Q_in-V_air Cf. van Dam et al. (2000)

Q_top < 0 ?

Q_top < E_max ?

h_sur=h_min Q_sur=Q_top

Q_top > I_max ? et Qtop > -Ksat ?

h_sur=h_max Q_sur=Q_top

évaporation infiltration oui oui oui oui non non non non non

Emax : flux d’évaporation maximum hmax : pression maximum en surface hmin : pression minimale en surface hsur : pression imposé en surface I_max : flux d’infiltration maximum Qin : quantité d’eau entrant dans la colonne

Qtop : condition en flux imposé (donnée)

Qsur : flux imposé en surface

Vair : volume de pore occupé par l’air Convention : le flux est compté positivement lorsqu’il sort de la maille

Tableau 3.6. Jeu de paramètres utilisé pour les tests impliquant la procédure de sélection de la condition à la limite supérieure (TESTS 3 - 3 et 3 - 4).

Paramètres Matériau D (cf. annexe 1)

Référence Van Dam et al. (2000)

θr (-) 0.01

θs (-) 0.43

α (cm^-1) 0.0249

n (-) 1.507

Ks (cm.j^-1) 17.5

ha (pression d’entrée d’air en cm) -5

Ss (cm^-1) 0

Tableau 3.7. Données et conditions utilisées pour les simulations avec gestion de la condition à la limite supérieure (TESTS 3 - 3 et 3 - 4).

Infiltration évaporation

Longueur de la colonne 100 cm

Conditions initiales θ = 0.1 h = -200 cm

Condition à la limite supérieure Qtop = -100 cm.j^-1 Qtop = 0.5 cm.j^-1

Condition à la limite inférieure θ = 0.1 h = -200 cm

Durée de la simulation 0.1 j 5 j

Tailles de maille testées, Δz 0.1 cm (référence), 1 cm et 5 cm

Pas de temps (modifié en fct° des itérations), Δt 1x10^-6 à 4x10^-5 j

3.3.2.3. Résultats des cas tests et conclusions

Van Dam et al. (2000) proposent de comparer les différentes formulations au regard du flux effectivement appliqué en surface de la colonne. Cette démarche a été conservée et les résultats sont reportés sur la Figure 3.12 pour deux tailles de maille différentes. Seules les moyennes présentant des performances intéressantes en terme de précision et de temps de calcul ont été conservées pour ce test.

Figure 3.12. Taux d’infiltration (a°) TEST 3 - 3) et d’évaporation (b°) TEST 3 - 4) en surface pour les différentes formulations de conductivité relative équivalente.

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T aux d' inf ilt rat ion, q ¹ (m. j -1 ) Temps, t (j) EFMHC + vGm (-5cm) Kgeom 1cm Karit 1cm Kgasto 1cm Kgeom 5cm Kgasto 5cm Karit 5cm référence a°) 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 b°) T aux d' év ap ora tion , q 1 (m m.j -1 ) Temps, t (j) EFMHC + vGm(-5cm) Kgeom 1cm Karit 1cm Kgasto 1cm Kgeom 5cm Kgasto 5cm Karit 5cm référence

Comme cela a pu être observé avec la méthode des DF, la quantité d’eau imposée en terme de flux ne peut pas s’infiltrer pendant toute la durée de la simulation. Pour le problème d’infiltration, la condition en flux est acceptée pendant un peu moins de 0.01 j. Le flux en surface diminue ensuite progressivement avec le passage en pression à la surface imposée. La moyenne géométrique présente une forte variabilité avec la taille de maille et a tendance à sous-estimer la conductivité hydraulique. Le même test, réalisé avec le modèle standard de Mualem – van Genuchten, présente même une forte irrégularité et des oscillations du flux comme rapporté par van Dam et al. (2000). Les moyennes pondérée et arithmétique présentent dans tous les cas davantage de régularité lorsque la taille de maille augmente. Ces deux formulations se distinguent par leur sous-estimation et sur-estimation respective de la conductivité équivalente.

Pour le test d’évaporation, la condition à la limite permute en pression imposée peu après 1 j. Le comportement de la moyenne géométrique est nettement meilleur que celui rapporté par van Dam et al. (2000). Le taux d’évaporation suit davantage la solution de référence. Ce constat est également valable pour la moyenne pondérée alors que la moyenne arithmétique s’écarte rapidement du profil de référence lorsque la taille de maille augmente. Pour toutes les moyennes, la permutation est retardée par rapport à la solution de référence. Une sous-estimation du taux d’évaporation est ensuite observée pour les formulations géométrique et pondérée et une sur-estimation pour la moyenne arithmétique.