ii) PourN ≥ |a|, montrer que 1 2πi Z CN f(z)dz=− π ash(πa

Universit´e Lille 1 Master 1 Recherche

Analyse complexe 31 mars 2016

pour le 22 avril DM n^o2

Exercice 1.

Soit a∈R^∗. On d´efinit

f(z) = π

(z²+a²) sin(πz) etCN le bord du carr´e de sommets (N+¹₂)(±1±i) (N ∈N).

i) Trouver tous les pˆoles de la fonctionf, d´eterminer leur ordre et calculer les r´esidus def en ces pˆoles.

ii) PourN ≥ |a|, montrer que 1 2πi

Z

CN

f(z)dz=− π ash(πa) +

N

X

n=−N

(−1)ⁿ n²+a². iii) Montrer que pour tout z∈C,|sinz|²= (sin(Rez))²+ (sh(Imz))², puis que

∀z∈CN, |sin(πz)| ≥1 iv) En d´eduire que R

CNf(z)dz−−−−−→

N→+∞ 0, et calculer

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ n²+a². v) On pose g(z) = π

(z²+a²) sin(πz) − 1/a²

z : donner son d´eveloppement en s´erie d’´el´ements simples. En d´eduire que

π

(z²+a²) sin(πz) = 1/a²

z − πz

ash(πa)(z²+a²) +

+∞

X

k=1

(−1)^k

k²+a² · 2z z²−k²

Exercice 2.

1. Montrer que le produit infini

P(z) =

∞

Y

n=1

1 +_2n^z 1 +_2n−1^z converge uniform´ement sur tout compact de C.

2. On posef(z) =zP(z). Calculerf(2).

3. Calculerf(1) (on pourra utiliser le d´eveloppement du sinus ^sin_z^z =Q∞

n=1 1−_n^z₂²_π2 ).

4. On poseg= ^f_f⁰. Ecrire g sous la forme d’une somme de s´erie. Montrer que g(z) +g(z+ 1) = 1

z 5. En d´eduire quef(z)f(z+ 1) = ²_πz. Que vautP(z)P(z+ 1) ?

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