Rappels de math Développement en séries de Fourier
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Développement en séries de Fourier.
→ Pour un signal x(t) périodique de période T = 1 / f0
( ) ∑ ( )
∑
∞=
∞
=
+ +
=
1
0 1
0
0 cos 2 sin 2
) 2 (
k k k
k kf t b kf t
a a t
x π π
avec les coefficients de Fourier ak et bk (∈ ℜ2)
( )
∫
+
−
= 2
2
2 0
cos ) 2 (
T
T
k x t kf t dt
a T π k ≥ 1
( )
∫
+
−
= 2
2
2 0
sin ) 2 (
T
T
k x t kf t dt
b T π k ≥ 1
0 2
a valeur moyenne ou composante continue de x(t) Ecriture sans intérêt en traitement du signal.
→ Série de Fourier en cosinus (→ spectre unilatéral)
D’après
− +
+
=
+ A
B B A B
Acosθ sinθ 2 2.cos θ arctan
( )
∑
∞=
+ +
=
1
0
0 cos2
) (
k
k
k kf t
A A
t
x π α
2
0 0
A = a ∈ℜ
2 2
k k
k a b
A = + ∈ ℜ
−
=
k k
k a
arctan b
α ∈ℜ
→ Série de Fourier complexe (→ spectre bilatéral)
∑
+∞−∞
=
=
k
t kf
ej
jk X t
x( ) ( ) 2π 0 (obtenue à partir d’Euler)
dt e
t T x
jk
X j kft
T T
2 0
2 2
) 1 (
)
( + − π
∫
−= (coef. complexe)
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→ pour k > 0 ak = Akcosαk =2Re
{
X(jk)}
bk =−Aksinαk =−2Im{
X(jk)}
) (
2 2
2 b X jk
a
Ak = k + k =
{ }
{ }
=
−
= Re ( )
) ( arctan Im
arctan
jk X
jk X a
b
k k
αk
(
ak jbk)
Akej k jkX α
2 1 2
) 1
( = − = X −jk =
(
ak + jbk)
= Ake−jαk 21 2
) 1 (
Spectre unilatéral d’amplitude : Ak
de phase : αk
Spectre bilatéral d’amplitude : X( jk) de phase : ∠X( jk) le spectre d’amplitude est pair
) 2 ( )
( Ak
jk X jk
X = − =
le spectre de phase est impair ∠X(jk)=−∠X(−jk)=αk
Considérations de symétrie
Une fonction paire est seulement représentée par des cosinus : bk = 0 ; αk = {0, ±π} ; Im{X(jk)} = 0
Une fonction impaire est seulement représentée par des sinus : ak = 0 ; αk = { ±π / 2} ; Re{X(jk)} = 0
Une fonction à symétrie demi-onde ne possède pas d’harmoniques paires X(j2k) = 0 pour k∈ N
Théorème de Parseval
∑
∑
∑
+∞= +∞
−∞
= +∞
=
+
=
= +
=
1 2 2 2
1 2 2
0 ( ) (0) 2. ( )
2 1
k k
k
k X jk X X jk
A A
P
avec P=T1
∫
−TT22x2(t)dt= Xeff2 la puissance normalisée ( [V2] ou [A2] )Le carré de la valeur efficace d’un signal périodique est égal à la somme des carrés des valeurs efficaces de chacune de ses composantes.
2 2
2
ac DC
eff X X
X = +
k de 0 à +∞
k de -∞ à +∞
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Décalage temporel ) ( )
(t x t td
y = + ⇔ Y(jk)=ej2πkf0td X(jk)
d k
k kf t
jk X jk
Y( ) = ( ) β =α +2π 0
Multiplication par un phaseur (→ décalage fréquentiel)
ft
ej
t x t
y( )= ( ). 2π ⇔ Y(jk)= X
(
j(
kf0 − f) )
Phénomène de Gibbs
La reconstruction d’un signal à partir de ses coefficients de Fourier lorsqu’il possède des discontinuités d’ordre 0 fait apparaître des oscillations au niveau de la discontinuité (phénomène de Gibbs). Le dépassement correspond à 9% de la valeur de la discontinuité.
DSF usuelles :
• Signal carré périodique (T = 1/f0) :
0
1
∑
∞( )
=
+
=
1
2 0
2 cos 2 sin
2 ) 1 (
k
t kf k k
t
x π π
π
-1
1
∑
∞( )
=
=
1
2 0
2 cos 4 sin
) (
k
t kf k k
t
x π π
π
