Exercice 1. Formulation variationnelle

S´eance n ^o 3

Formulations variationnelles Corrig´e

16 Novembre 2004

Exercice 1. Formulation variationnelle

1.1 - Soit v ∈ H¹(Ω), on pose vi = v|Ωi et l’on multiplie la premi`ere ´equation par vi ce qui donne apr`es int´egration sur Ω_i,

− Z

Ωi

divki∇ui vi+ Z

Ωi

uivi = Z

Ωi

fivi

avec f_i =f|_Ωi. Nous obtenons par application alors la formule de Green Z

Ωi

k_i∇u_i· ∇v_i+ Z

Ωi

u_iv_i− Z

∂Ωi

k_i∂_niu_iv_i = Z

Ωi

f_iv_i

En sommant sur i et en posant k = X2

i

k_iχ_Ωi, on obtient, compte tenue de la condition aux limite sur Γ,

Z

Ω

¡k∇u· ∇v+u v¢

− Z

Σ

¡k1∂n1u1v1+k2∂n2u2v2

¢= Z

Ω

f v+ Z

Γ

k g v

Or v ∈H¹(Ω), et l’on sait qu’elle est alors continue `a l’interface Σ, de plusn1 =−n2, ainsi en vertue de la relation de continuit´e reliant les d´eriv´ees normales `a l’interface, l’int´egrale sur Σ est nulle. On aboutit ainsi `a la formulation variationnelle suivante : trouveru∈H¹(Ω) tel que

1.2 - On introduit la forme bilin´eaire

a(., .) :H¹(Ω)×H¹(Ω) → R

(u, v) 7→ a(u, v) = Z

Ω

¡k∇u· ∇v+u v¢

et la forme lin´eaire

` :H<sup>1</sup>(Ω) → R v 7→ `(v) =

Z

Ω

f v+ Z

Γ

k g v

L’´equation (1) est bien de la forme : Trouver u∈H¹(Ω) tel que

(2) a(u, v) =`(v) ∀v ∈ H¹(Ω)

avec H¹(Ω) un espace de Hilbert. Pour pouvoir appliquer le th´eor`eme de Lax-Milgram il faut v´erifier :

1 - Continuit´e de a : par l’in´egalit´e de Cauchy Schwartz

|a(u, v)| ≤ max(k1, k2)k∇uk_L²_(Ω)k∇vk_L²_(Ω)+kuk_L²_(Ω)kvk_L²_(Ω)

≤ max(k₁, k₂)kuk_H¹_(Ω)kvk_H¹_(Ω)+kuk_H¹_(Ω)kvk_H¹_(Ω)

= C_ak∇uk_H¹_(Ω)k∇vk_H¹_(Ω) avec C_a = max(k₁, k₂) + 1.

2 - Continuit´e de ` : par l’in´egalit´e de Cauchy Schwartz

|`(v)| ≤ kfk_L²_(Ω)kvk_L²_(Ω)+ max(k1, k2)kgk_L²_(Γ)kvk_L²_(Γ)

Par la continuit´e de l’application trace deH¹(Ω) dansL²(Γ), il existe une constanteC_Ω >0 tq

kvk_L²_(Γ) ≤CΩkvk_H¹_(Ω) ∀v ∈ H¹(Ω).

Ainsi,

|`(v)| ≤ ¡

kfk_L²_(Ω)+CΩmax(k1, k2)kgk_L²_(Γ)¢

kvk_H¹_(Ω) 3 - Coercivit´e de a :

|a(u, u)| = R

Ωk|∇u|²dx+R

Ω|u|²dx

≥ min(k₁, k₂)R

Ω|∇u|²dx+R

Ω|u|²dx

≥ αkuk²_H1(Ω)

avec α= min(k1, k2,1).

1.3 - En prenantv =ϕ∈ D(Ω_i), dans la formulation (1) on d´eduit Z

Ωi

k_i∇u∇ϕ dx+ Z

Ωi

uϕ dx= Z

Ωi

f ϕ dx qui s’´ecrit aussi en notant u_i =u_|Ωi etf_i =f_|Ωi

hk_i∇u_i,∇ϕi+hu_i, ϕi=hf_i, ϕi

pour tout ϕ∈ D(Ω_i). Soit, en utilisant la d´efinition de la d´erivation au sens des distribu- tions,

−hdivk_i∇u_i, ϕi+hu_i, ϕi=hf_i, ϕi pour tout ϕ∈ D(Ω_i), ce qui s’interpr`ete par

(3) −divk_i∇u_i+u_i =f_i dans D⁰(Ω_i).

La relation de continuit´e u₁ = u₂ `a l’interface Σ provient du fait que la solution u ∈ H<sup>1</sup>(Ω). Pour retrouver la condition des sauts sur les d´eriv´ees normales nous reprenons la formulation (1) et utilisons la formule de Green dans chaque domaine Ωi (en supposant que lesu<sub>i</sub> sont suffisamment r´eguli`eres pour pouvoir appliquer cette formule). Il vient apr`es la simplification due aux ´equations (3),

Z

Γ

k∂nu v dγ+ Z

Σ

¡k1∂nu1−k2∂nu2)v dσ= Z

Γ

k g v dγ

Par densit´e des traces des fonctionsH¹(Ω) dans L²(Σ∪Γ) on d´eduit que ∂_nu=g sur Γ et k₁∂_nu₁−k₂∂_nu₂ = 0 sur Σ.

Exercice 2. Convection-diffusion

2.1 - On multiplie l’´equation parψ ∈H₀¹(Ω), on int`egre sur Ω , puis on utilise la formule de Green. Ainsi on chercheϕ∈H₀¹(Ω) tel que

(4)

Z

Ω

∇ϕ· ∇ψ dx+ Z

Ω

∇ϕ·uψ dx= Z

Ω

f ψ dx, ∀ψ ∈H₀¹(Ω) 2.2 - On introduit la forme bilin´eaire

a:H₀¹(Ω)×H₀¹(Ω) → R

(ϕ, ψ) 7→ a(ϕ, ψ) = Z

Ω

∇ϕ· ∇ψ+∇ϕ·uψ dx ainsi que la forme lin´eaire

Ainsi on recherche ϕ∈H₀¹(Ω) telle que

a(ϕ, ψ) = `(ψ), ∀ψ ∈H<sub>0</sub><sup>1</sup>(Ω) On poss`ede les estimations de continuit´e suivantes,

|`(ψ)| Cauchy−Schwartz

≤ kfk_L²_(Ω)kψk_L²_(Ω)

≤ kfk_L²_(Ω)kψk_H¹_(Ω)

|a(ϕ, ψ)| Cauchy−Schwartz

≤ k∇ϕk_L²_(Ω)k∇ψk_L²_(Ω)+kuk_L^∞k∇ϕk_L²_(Ω)kψk_L²_(Ω)

≤ (1 +kuk_L^∞)kϕk_H¹_(Ω)kψk_H¹_(Ω)

Pour conclure grˆace au th´eor`eme de Lax-Milgram, on prouve la coercivit´e de a(., .),

|a(ϕ, ϕ)| ≥ k∇ϕk²_L2(Ω)− kuk_L^∞k∇ϕk_L²_(Ω)kϕk_L²_(Ω)

≥ (1−C_Ωkuk_L^∞)k∇ϕk²_L2(Ω)

≥ (1−CΩkukL^∞)k∇ϕk²_L²_(Ω)

o`u on a utilis´e l’in´egalit´e de Poincar´e : il existe une constante C_Ω >0 tq.

(5) kϕk_L²_(Ω) ≤CΩk∇ϕk_L²_(Ω) ∀ϕ∈H₀¹(Ω).

Cette in´egalit´e implique aussi que

kϕk²_H1(Ω) ≤(1 +C_Ω²)k∇ϕk²_L2(Ω) ∀ϕ∈H₀¹(Ω) ce qui nous pert de conclure

|a(ϕ, ϕ)| ≥ 1−C_Ωkuk_L^∞

1 +C_Ω² kϕk²_H1(Ω)

Ainsi pour

kuk_(L^∞₎² < 1 C_Ω,

la constante de coercivit´e est strictement positive, ce qui permet d’appliquer le th´eor`eme.

Exercice 3. Syst` eme de l’´ elasticit´ e

3.1 - On rechercheu∈(H₀¹(Ω))³. On multiplie l’´equation parv∈(H₀¹(Ω))³, et on int`egre sur Ω,

Z

Ω

−∂_jσ_i,j(u)v_idx= Z

Ω

f ·udx Green→

Z

Ω

σ_i,j(u)∂_jv_idx− Z

Γ

(σ_i,j(u)n_j) |{z}v_i

=0

d Γ = Z

Ω

f ·udx Z

Ω

λ(divu)δi,j∂jvi+ 2µ²i,j(u)∂jvidx= Z

Ω

f ·udx Z

Ω

λ(divu) (divv) + 2µ

·1

2²_i,j∂_jv_i+1

2²_j,i∂_iv_j

¸ dx=

Z

Ω

f ·udx

²_i,j =²_j,i λ Z

Ω

(divu) (divv)dx+ 2µ Z

Ω

²(u)· ·²(v)dx= Z

Ω

f ·udx On d´efinit alors la forme bilin´eaire suivante,

a: (H₀¹(Ω))³×(H₀¹(Ω))³ → R

(u,v) 7→ a(u,v) = λ Z

Ω

(divu) (divv)dx+ 2µ Z

Ω

²(u)· ·²(v)dx et la forme lin´eaire

`: (H<sub>0</sub><sup>1</sup>(Ω))<sup>3</sup> → R v 7→ `(v) =

Z

Ω

f ·udx Ainsi on recherche u∈(H₀¹(Ω))³ tel que

(6) a(u,v) =`(v), v∈(H<sub>0</sub><sup>1</sup>(Ω))<sup>3</sup> 3.2 - On consid`ereu∈(D(Ω))³,

k²(u)k²_(L2(Ω))^3×3 = Z

Ω

²i,j(u)²i,j(u)dx

= 1

4 Z

Ω

X3

i,j=1

|∂jui|²+|∂iuj|²+1 2

Z

Ω

∂jui∂iujdx

= 1

2 Z

Ω

|Du|²− 1 2

Z

Ω

u_i ∂_i,ju_j

| {z }

∂j,iuj

dx 1Z

2 1Z

2

Cette in´egalit´e reste valide pour u∈(H₀¹(Ω))³ par densit´e de (D(Ω))³ dans (H₀¹(Ω))³. 3.3 - On v´erifie facilement la continuit´e de a(., .) et de `(.). La coercivit´e de a(., .) est fournie par l’in´egalit´e suivante,

|a(u,u)| = λkdivuk_L²2(Ω)+ 2µk²(u)k²_(L2(Ω))^3×3 λ,µ≥0

≥ µkDuk²_(L2(Ω))^3×3 Poincare

≥ µ

1 +C_Ω² kuk²_(H1(Ω))³

o`u la constante CΩ est celle qui intervient dans l’in´egalit´e de Poincar´e (5).

Exercice 4. Minimisation dans un Hilbert

4.1 - Posons

J = inf

v∈Ukf−vk On consid`ere une suite {vm}m≥0 d’´el´ements de U telle que

J = lim

m→+∞kf −v_mk Montrons que v_m est de Cauchy.

kv_p −v_qk² = kv_p−fk²+kv_q−fk²+ 2 (v_p−f, v_q−f)

2(a,b)=¹₂ka+bk²−¹₂ka−bk²

= kv_p−fk²+kv_q−fk²+ 1

2kv_p−v_qk²− 1

2k2f −(v_p+v_q)k² Ainsi

1

2kv_p−v_qk² =kv_p−fk²+kv_q−fk²−2kf − v_p+v_q 2 k² Or f − ^vp+v₂ ^q ∈ U, du fait que U est convexe, ainsi par d´efinition

J ≤ kf− vp+vq

2 k

ce qui permet de conclure que 1

2kv_p−v_qk² ≤ kv_p−fk² +kv_q−fk²−2J²

et ainsi que v_m est de Cauchy. OrU est ferm´e, ainsi il existe un ´el´ement u∈ U tel que J =kf−uk

L’unicit´e de u se prouve en consid´erant deux solutionsu₁ 6=u₂. On a alors kf −u1 +u2

2 k² = kf −u1

2 +f −u2

2 k²

= 1

2J²+1

2(f −u1, f−u2) Or, du fait que u₁ 6=u₂, on a

(f −u1, f−u2)<kf−u1kkf −u2k=J² ce qui permet de conclure que

kf− u₁+u₂ 2 k<J qui est en contradiction avec la d´efinition de J.

4.2 - Soit u ∈ U une solution et v ∈ U, comme U est un ensemble convexe, alors pour 0≤t≤1 l’´el´ement u+t(v−u)∈ U et ainsi par d´efinition de l’optimalit´e de u , on a

kf−uk² ≤ kf −(u+t(v−u))k²

≤ kf −uk² +t²kv−uk²−2t(f−u, v−u) ce qui permet de conclure facilement que

(f−u, v−u)≤0,∀v ∈ U

4.3 - Les propri´et´es dea(., .) permettent de construire un produit scalaire dansV tel que [., .] =a(., .) et le th´eor`eme de repr´esentation de Riesz nous donne l’existence d’un ´el´ement f ∈V tel que

`(v) = [f, v], v ∈V On note k.k_V la norme associ´ee. Ainsi

J(v) = 1

2a(f−v, f −v)−1

2a(f, f) et sa minimisation est ´equivalente `a celle de kf −vk_V.