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Submitted on 1 Jan 1997
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Formulation variationnelle à deux champs pour la magnétodynamique dans IR3
B. Bandelier, F. Rioux-Damidau
To cite this version:
B. Bandelier, F. Rioux-Damidau. Formulation variationnelle à deux champs pour la magné- todynamique dans IR3. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1997, 7 (9), pp.1813-1819.
�10.1051/jp3:1997224�. �jpa-00249682�
J. Phys. III IFance 7 (1997) 1813-1819 SEPTEMBER1997, PAGE 1813
Formulation variatiouuelle h deux champs pour la
magn4todyuamique dons llt~ (*)
B. Bandelier et F. Rioux-Damidau (**)
U2R2M, Universitd Paris XI (***), Bitiment 220, 91405 Orsay, France
(Regu le 20 mars 1997, rdvisd le 12 juin 1997, acceptd le 13 jwn 1997)
PACS.02.70 Dh Finite-element and Galerkin methods PACS 41.20.-q Electric, magnetic and electromagnetic fields
R4sumd. On propose une formulation variationnelle de la magndtodynamique dans laquelle
la loi d'AmpAre ainsi que la loi de Faraday sont dcrites au sens faible. On conserve ainsi les
champs dlectriques et magndtiques comme inconnues du problbme. Divers tests num6riques ont dt6 effectuds pour un exemple oh la solution est calculable analytiquement. Des comparaisons
avec la formulation en h bien connue mettent en dvidence l'intdrAt de la mdthode proposde. De
plus, celle-ci foumit directement des critkres d'adaptation de maillage
Abstract. We present a variational formulation for magnetodynamics m which Ampbre's
law and Faraday's law are written m a weak form. Electrical and magnetic fields are thus the unknown quantities. Several numerical tests have been done m a case where an analytical solu- tion exists. Comparisons with the well-known h formulation show the interest of the proposed
method Moreover, it directly gives mesh adaption criteria.
1. Introduction
Les formulations variationnelles en champs dans le domaine des basses fr4quences sont d6sor-
mais bien connues. La formulation en champ magn4tique s'obtient en 6crivant la loi de Faraday
au sens faible et la loi d'AmpAre au sens fort ill. Inversement, en exprimant la loi d'AmpAre
faiblement et la loi de Faraday fortement, on obtient la formulation en champ Alectrique [2, 3].
Chacune de ces deux formulations ne conserve qu'un seul champ comme inconnue, soit h, soit
e. Certes, le champ qui a 6t6 61imin6 peut toujours Atre calcu16 h partir de l'autre. Mais ce calcul fait intervenir un rotationnel, ce qui conduit inAvitablement h une perte de pr4cision numArique.
En revanche, l'6criture sous forme faible de la loi de Faraday et de la loi d'Ampbre permet de
conserver h et e comme inconnues. On obtient alors une formulation variationnelle constitu4e
de deux 4quations Elle se distingue des formulations mixtes classiques [4] par la pr4sence
d'un terme supp14mentaire qui 4vite l'apparition d'414ments diagonaux nuls dans la matrice
(* Le contenu de cet article a dtd prdsentd h NUMELEC 97
(** Auteur auquel doit Atre adressde la correspondance (e-mail frangoise.rioux©ief.u-psud.fr) (***) URA CNRS 2212
@ Les kditions de Physique 1997
1814 JOURNAL DE PHYSIQUE III Nag
globale aprks discr6tisation. La rAsolution du problAme discret par A14ments finis permet alors d'approcher les deux champs avec une pr4cision du mAme ordre. On peut ainsi esp4rer obtenir la mAme qualit4 d'approximation dans les conducteurs, pour le champ magn6tique et les courants de Foucault.
2. Formulation variationnelle
On considAre un inducteur fl~ parcouru par un courant source j~ sinusoidal de pulsation uJ. Il crAe dans IR~ un champ magnAtique source h~. Un conducteur fl, de frontikre T, de conductivitA a, de perm4abilit4 constante ~t est plongA dans ce champ h~. Le comp14mentaire de fl, i.e. le
domaine ext4rieur au conducteur est dAsignA par fl~. En supposant fl~ simplement connexe, le
champ magnAtique h l'extArieur de fl s'Acrit h
=
h~ + grad ~2
oh ~2 est le potentiel magnAtique de rAaction, harmonique dans fl~.
L'Acriture de la loi de Faraday sous forme faible conduit h
iuJ~t / h h' dfl
+ /
e rot h' dfl + iuJ~to /
(h~ n + ~~ ~2' dT = 0 ii
n n r n
Vh' E H(rot,fl),V~2' E Hi (T),
oh n est la normale entrant dans fl. Hi (T) dAsigne l'espace des traces sur T des potentiels
de r6action pouvant exister dans fl~. H(rot,fl) est l'espace des champs de vecteurs de carr6 sommable et h rotationnel de carr4 sommable dans fl.
En 61iminant le champ 61ectrique e par la loi d'ohm de l'dquation variationnelle ii), on
obtient la formulation de la magn6todynamique en champ h et en potentiel ~2 sur la frontibre
ill qui a dt6 imp16ment4e dans le code Trifou. Tel n'est pas le choix que nous faisons ici. Nous
conservons l'6quation (1) et nous exprimons la loi d'ohm dans fl
en 4crivant :
froth e'dfl /
a e e'dfl
= 0, Ve' E fll~(fl). (2)
n n
Finalement, le problAme variationnel h r4soudre est le suivant
#tant donna j~,
ou h~, tro~uer (h,~2,e) E H(rot,fl) x Hi (T) x IL~ill) udrzfiant ii) et (2).
L'4quation (2) impliquant 4videmment la loi d'AmpAre, ce problAme variationnel pour ce
qui concerne le champ magn4tique est 4quivalent h la formulation en h oh le champ e a 4t4
41imin4.
3. #14ments finis mixtes
Le problbme variationnel pr4sent4 ci-dessus est ensuite approch4 par 414ments finis. Le domaine conducteur fl est mail14 en t6trabdres, et sa frontibre T en triangles.
Le champ magn6tique h ainsi que son rotationnel apparaissent dans les 6quations ii) et (2). Il semble naturel de choisir comme espace d'interpolation de ce champ un sous-espace de
l'espace H(rot,fl). Nous faisons donc appel aux 414ments d'arAte de N4d41ec [5] qui assurent la continuitA de la composante tangentielle du champ.
L'intAgrale de frontikre est discr4tis4e de maniAre classique par l'interm4diaire d'une densit4 de charge de simple couche. En introduisant un op4rateur de Dirichlet-Neumann R, elle s'4crit
/(h~ n + Rq7) ~2'dT.
r
N°9 FORMULATION POUR LA MAGNETODYNAMIQUE 1815
Le potentiel ~2 est interpo14 h l'aide d'Al4ments de frontiAre de Lagrange, les fonctions de base 4tant des polyn6mes de degrA un. Les inconnues sont les valeurs de
~2 aux sommets des triangles
frontaliers.
Quant au champ Alectrique e, il intervient seulement en tant que tel dans les Aquations, sans l'intermAdiaire d'un opArateur diE4rentiel. A priori, la seule condition h satisfaire est que e soit de carrA sommable. On peut alors penser h chercher e dans n'importe quel sous-espace de fll~(fl). Cependant, cela ne suilit pas pour que le problkme approchA soit bien posA. Les
espaces d'approximation, et donc les 414ments finis choisis pour interpoler e et h doivent Atre
compatibles [6].
La th40rie des 414ments mixtes olfre un cadre permettant de choisir des 414ments finis compa- tibles [4, 7]. Les 416ments de Whitney s'inscrivent dans ce cadre en v4rifiant automatiquement les conditions de compatibilitA. L'AlAment "naturel" pour le champ e semble Atre l'AlAment de
facette. Les degrds de libertA sont les flux de e c'est h dire l'intensitd du courant h a prbs au
travers des facettes de l'AlAment. Il prdsente par ailleurs l'intArAt d'assurer la continuitA de la composante normale du courant si on le calcule par la loi d'Ohm h la traversAe des facettes internes.
Si l'on note W~ l'espace vectoriel engendrd par les fonctions de base d'arAte, et W~ celui engendrd par les fonctions de base de facette, on a
rot W~ c W~.
Le champ magnAtique approchA appartenant h W~ et le champ Alectrique h W~, l'dquation (2) implique que la loi d'Ampbre est vArifiAe exactement. Dans chaque AlAment, on a e
= ) rot h.
Le champ Alectrique approchd est donc constant par A14ment comme le rotationnel de toute fonction de W~. Mais it suilit alors de reporter cette expression de e dans ii pour retrouver la formulation en h oh h E W~.
Lorsque h E Wl et e E W~, la formulation mixte donne les mAmes rdsultats que celle en h seul. Le calcul de e n'apporte rien puisqu'on peut l'obtenir directement h partir de rot h.
Nous sommes en prAsence d'un faux problAme mixte, du fait que l'expression de e issue de (2)
peut Atre reportAe dans II). Ce problbme pseudo-mixte peut cependant faciliter le traitement des conducteurs non simplement connexes dans la mesure oh l'on dispose de conditions aux
limites h la frontibre de ces conducteurs [8].
4. Interpolation de e et h par d14ments d'arkte
Une alternative consiste h interpoler e et h h l'aide des AlAments d'arAtes, ce qui revient h vArifier la loi d'Ampbre de manibre plus faible que lorsque e est cherchd dans W~. Pour une
formulation mixte standard, utiliser le mAme AlAment pour les deux champs reprAsente un choix
pArilleux car le problbme devient mal pos6. Mais notre formulation n'est pas classique du fait de la prAsence de J~ e e'dfl dans (2). Grlce h ce terme, les conditions h remplir pour que le
problAme soit bien pos4 sont moins s4vAres.
Nous allons montrer que la solution du problbme discret est unique. Dans ii) et (2), nous
avons suppos4 implicitement que les fonctions-test h', ~2' et e' dtaient r4elles. Dans le cas oh
celles-ci peuvent Atre complexes, et pour le problAme discret, ces 4quations s'4crivent :
iuJ~t h R dfl +
e rot R dfl + iuJ~to R
~2 / dT
=
w~to / h~
n /dT, Vh' E W~, V~2' E W°, (3)
r
1816 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°9
froth ?dfl ae ?dfl
= 0, Ve' E IV~ (4)
n
oh W° reprdsente l'espace engendr4 par les fonctions de base nodales sur la frontiAre. Les
grandeurs surlign4es d4signent les complexes conjugu4s.
Supposons que l'on puisse trouver deux triplets (hi,&~i,ei et (h2,&~2,e2) dans W~ x W° x W~
solutions de notre problAme discret (3) (4). Si nous notons p, u et q les di1f6rences hi h2,
~2i &~2 et ei e2 respectivement, p, u et q sont solutions de (3) avec second membre nul, et
de (4). En prenant h' = p et ~2' = u dans (3), on obtient
w~t (p(~dfl + q rotpdfl + w~to RuudT
= 0. (5)
De mAme, en prenant e'
= q dans (4), it vient
/rotp qdfl / a(q(~dfl
= 0. (6)
n n
En multipliant (5) par ii i) et en prenant la partie r4elle, on obtient
uJ~t / (p(~dfl
+ / Re(q rotp)dfl
+ / Im(q rotp)dfl
n n n
+ uJpo RUUdT
= 0. (7)
L'4quation (6) implique que
rot p q = q rotp
= a(q(~ EM- En reportant dans (7), on obtient
uJ~t (p(~dfl + a(q(~dfl + uJ~to RUUdT
= 0. (8)
Le terme J~ Ru UdT repr4sente une approximation de J~~ (gradu(~ dfl. Ii ne peut donc pas
Atre n4gatif. On a donc p
= q = o. La composante tangentielle de p 4tant nulle sur T, le
potentiel scalaire magn4tique u ne peut qu'y Atre constant, en tant que trace d'une fonction constante dans fl~. Mais comme le potentiel est approch4 par l'interm4diaire d'une densit4 de
charge de simple couche, it est nul h l'infini et donc nul sur T. On a donc l'unicit4 de h, de
~2 et
de e. Mais comme le problAme discret se rambne h un systAme d'4quations lin4aires comportant
autant d'6quations que d'inconnues, l'unicit4 de la solution implique son existence.
5. Tests numdriques
Nous avons Atud14 le cas d'une sphAre conductrice de rayon R plong6e dans un champ magnA-
tique homogAne sinusoidal en temps. L'4paisseur de peau d est telle que d/R
= 0,89. Nous avons calcu14 le champ h et la densitd de courant induit j h partir de la formulation classique en h et h partir de notre formulation h deux champs. Dans ce dernier cas, nous avons consid4r4 deux types d'61dments pour le champ 41ectrique les d14ments de facettes ii titre de v4rification) et les 614ments d'arAtes. Le traitement de l'intAgrale de frontiAre est eIfectu4 de la mAme fagon
dans les trois cas.
N°9 FORMULATION POUR LA MAGNETODYNAMIQUE 1817
Tableau I. Erreurs quadratiques moyennes pour les 3 foTmulations (Madlage grossier).
[Mean quadratic errors for the 3 formulations (coarse mesh).]
hja) hjaj-ejaj hjaj-ejfj
hjsl) 6,6 6,7 6,6
5,0 4,7 5,0
rot h($l) 12,5 18,2 12,5
e($i) 4,0 12,5
e-n($l) 1,8 10,6
rot e($i) 23,9
ndl 402 922 1182
mat 5295 16017 15087
CPU(s) 6 10 40
Tableau II. Erreurs quadratiques moyennes pour les 3 formulations (Madlage fin).
[Mean quadratic errors for the 3 formulations (fine mesh).]
h(a)-eta) h(al'elf)
h($l) 2,8 2,8 2,8
h-n($l) 1,5 1,5 1,5
rot h($l) 6,0 15,0 6,0
e($l) 2,1 6,0
e-n($l) 0,8 4,6
rot e($l) 20,21
ndl 7066 14850 19810
mat 127300 306000 290000
CPU(s) 971 1026 8582
Par ailleurs, nous avons utilis4 deux maillages de la sphAre le premier comporte 360 t4tra- Adres, le second 6192. Les r6sultats sont contenus darts les tableaux I et II.
Nous avons calculd dans les trois cas formulation en h (414ments d'arAtes), formulation h
deux champs (h arAtes, e arAtes), formulation h deux champs (h arAtes, e facettes) les erreurs
quadratiques moyennes sur les champs et leur rotationnel.
Les six premiAres lignes des tableaux concement des erreurs. Sur les trois derniAres lignes,
nous avons indiqu4 le nombre de degr4s de libert4, le nombre d'414ments de matrice non nuls
et le temps CPU, sur Cray YMP-EL, consacr4 h la r4solution du systbme linAaire. Notons que
ce temps ne comprend pas celui consacr4 au traitement de l'int4grale de surface qui est de 3,5
s pour le maillage grossier et 500 s pour le fin.
Chacun des deux champs occupe deux lignes du tableau. Sur les lignes rep4r4es simplement
par h et e, nous avons ports les erreurs sur le champ reconstitu4 h partir des degr4s de libert4
(d'arAte ou de facette). Mais on peut 4galement elfectuer une pond4ration afin de reconstituer
un champ moyen h chaque sommet du maillage [9]. L'interpolation entre ces champs moyens
fournit alors deux champs numAriques supplAmentaires que nous avons notAs h n et e
n.
Les erreurs concernant ces champs nodaux figurent Agalement dans les tableaux.
1818 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°9
Fig. 1 Les courants induits dans un cube soumis au champ cr4A par une spire.
[The induced currents in
a cube submitted to the magnetic field of a coil
'_
~ C" '.
-A ~ r
J
' ,r
'/
.
>
'
"
Fig. 2. Erreur locale
sur la Loi d'Ampkre (e rot h).
a
[Local error (e curl h).]
a
En comparant l'erreur sur rot h et l'erreur sur e, on peut constater que la formulation h deux champs arAtes-arAtes est particulikrement eilicace. Elle donne les deux champs avec
une excellente prAcision pour
un temps de calcul h peine supArieur h celui nAcessitA par la formulation en h seul. L'intArAt de reconstituer des champs nodaux mis en Avidence dans [9]
est 4galement confirm4 pour la m4thode h deux champs.
N°9 FORMULATION POUR LA MAGNETODYNAMIQUE 1819
6. Critbres de raflinement de maillage
Les deux champs e et h sont les inconnues du problAme. La loi d'AmpAre n'est v6rifide que
sous forme faible, de mAme que la loi de Faraday. La prdcision avec laquelle ces deux lois sont satisfaites localement peut Atre utilis4e comme critAre d'adaptation de maillage.
Nous avons calculd j
= a e et h dans un cube de cots a. L'inducteur est une spire filiforme de rayon a/2 situ6e dans un plan parallble h la face avant du cube, h une distance a/2 de celle-ci.
Le centre de la spire est placd h l'horizontale du sommet sup6rieur droit.
La r6partition des champs et des courants est donc fortement inhomogbne, ceux-ci dtant concentr4s au voisinage d'un sommet cf. Fig. I). Il est pr6visible qu'un railinement du maillage
soit utile dans cette rAgion. Pour le vArifier, nous avons calcu14 le champ de vecteur e ) rot h qui est reprAsentA sur la figure 2. On remarque que c'est 16 oh les variations du champ et du courant sont les plus importantes que la loi d'Ampkre est le mains bien satisfaite. La formulation proposAe semble donc fournir de manikre directe des critkres de railinement de maillage.
7. Conclusion
Nous avons propos4 une formulation h deux champs pour la magnAtodynamique. En conservant
les champs 41ectrique et magn4tique comme inconnues, cette formulation mixte permet de d4finir des critAres d'adaptation de maillage.
L'4tude des erreurs globales sur les champs dans un cas ou la solution analytique est connue
(sphAre conductrice plong4e dans un champ uniforme) montre que e et h sont approch4s avec
une pr4cision de mAme ordre. Le temps CPU de la formulation mixte n'est que trAs l4gArement sup4rieur h celui de la formulation en champ magn4tique seul. La matrice obtenue h partir de la m4thode mixte semble donc mieux conditionn4e.
La poursuite de ces travaux devrait permettre de pr4ciser le degr4 de g4n4ralit4 de ces conclusions. Une 4tude des erreurs locales est 4galement en cours.
Bibliographie
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