Seconde
Configurations du plan
Année scolaire 2012/2013 I) Droites remarquables des triangles :1) Médiane :
Définition : La médiane issue de A d'un triangle ABC est la... qui passe par A et le ... du côté ...
Question : Tracer les trois médianes du triangle ci-dessous :
Propriété :
Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. (=se coupent ...) Le point de concours s'appelle le ... du triangle ABC.
Il a une position très particulière par rapport à chaque médiane.
Expliquer :
2) Médiatrice :
Définition : La médiatrice d'un segment est ...
...
Question : Tracer la médiatrice du segment [BF] ci-dessous :
Propriété caractéristique : Un point M appartient à la médiatrice du segment [AB] si et seulement si ...(c'est-à-dire : M est ... de A et de B) Question : Si JK = JL que peut-on en déduire sur le point J ?
Application :
En utilisant la propriété caractéristique vue ci-dessus, retrouver par des tracés simples, le centre du cercle ci-dessous :
Indication : Une corde dans un cercle, est un segment qui relie deux points de ce cercle. Deux cordes distinctes suffisent pour effectuer le tracé demandé...
Question : Tracer les trois médiatrices du triangle ci-dessous :
Propriété : Les trois médiatrices d'un triangle sont... et le point de concours est le ...au triangle.
Cas particulier : le triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, le ... est situé au milieu de ...
Question : Tracer le centre du cercle circonscrit au triangle rectangle EFG ci-dessous
3) Bissectrice :
Définition : La bissectrice d'un angle est la ...qui partage cet angle en deux angles... de même...
Question : Tracer la bissectrice de l'angle BHK ci-dessous :
Remarque : La bissectrice ainsi tracée est l'axe de symétrie de l'angle BHK
Propriété caractéristique : La bissectrice d'un angle est constituée de l'ensemble des points situés à égale distance des demi-droites qui forment l'angle.
Propriété :
Les trois bissectrices d'un triangle sont ... et le point de concours est le...dans le triangle.
Question : Tracer les trois bissectrices du triangle ci-dessous :
4) Hauteur :
Définition : Dans un triangle, une hauteur est ...qui passe par un sommet et qui est ...au côté opposé.
Question : Tracer la hauteur issue de J du triangle MJF ci-dessous :
Remarque :
Une hauteur peut être extérieure au triangle.
Dans la figure précédente, tracer la hauteur issue du sommet M.
Propriété : Les trois hauteurs d'un triangle sont ... et le point de concours est ... du triangle.
Question : Tracer ... du triangle TSM ci-dessous :
Question : Dans le triangle ci-dessous, tracer tous les points de concours remarquables vus précédemment.
Que constate-t-on ? ...
...
La ... ainsi tracée est appelée la ... d'Euler.
(Euler (1707-1783) mathématicien suisse).
II) Parallélogrammes : Définition :
Un parallélogramme est un ... dont les...
...
ABDC est un parallélogramme Propriétés :
– Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses ...
se coupent en leur ...
– Un quadrilatère ... est un parallélogramme si et seulement si il a ...
...
– ABDC est un parallélogramme si et seulement si ... = ...
Question : Tracer le point H pour que FGTH soit un parallélogramme :
Parallélogrammes particuliers : 1) Losange :
Définition : Un ...ayant ses... est un losange.
Propriété :
- Un losange a ses diagonales ...
Remarque : Un quadrilatère qui a ses diagonales ... n'est pas forcément un losange.
Exemple :
ABCD n'est pas un losange
2) Rectangle :
Définition : Un ... ayant ... est un rectangle.
Propriété :
- Un rectangle a ses ...
2) Carré :
Un carré est à la fois un losange et un rectangle.
Il a donc toutes les propriétés de ces deux parallélogrammes particuliers.
Question : Tracer un carré JKLM tel que JL = 3,5 cm
III) Théorème de Pythagore et théorème de Thalès : 1) Théorème de Pythagore :
2) Réciproque du théorème de Pythagore :
Remarque :
Pour bien distinguer l'utilisation du théorème direct de celle de la réciproque, il est possible de consulter un document au format pdf :
http://mangeard.maths.free.fr/Ecole/Troisieme/2010-2011/conseils_pythagore.pdf 3) Théorème de Thalès :
Hypothèses :
Dans ces deux figures, (AB) et (AC) sont deux droites ... en A avec (...) // (...)
Conclusion :
Alors, on a les égalités de rapports suivantes : AB
... = ...
... = ...
...
4) Réciproque du théorème de Thalès :
Si les points A, B, M et les points A, C, N sont ... dans le même ordre, et si : ...
... = ...
... , alors les droites (...) et (...) sont parallèles. (mêmes figures que pour le 3) )
Remarque : Ce qui est hypothèse dans le théorème est conclusion dans la réciproque et vice-versa. Pour démontrer que deux droites sont parallèles, il faudra utiliser la réciproque et non le théorème direct.
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors ... = ... + ...
Si BC2 = AB2 + AC2, alors le triangle ABC est ...
IV) Angles :
1) Trigonométrie :
Dans cette partie, on se placera toujours dans un triangle rectangle
ABC est rectangle en ...
Le côté [AC] s’appelle ...
[AB] est le côté ... à l'angle BAC [BC] est le côté... à l'angle BAC
Cos BAC = ...
... = ...
...
Sin BAC = ...
... = ...
...
Tan BAC = ...
... = ...
...
Quelques relations :
tan BAC = ...
...
(cos BAC )2 + (sin BAC )2 = ...
Valeurs remarquables :
Angle (en degrés) 0 30 45 60 90
Sin Cos
Tan
2) Angles et droites :
a) La somme des angles d'un triangle est toujours égale à ...
b) Si deux droites sont sécantes, les angles... par le sommet ainsi formés sont égaux deux à deux.
c) Sur la figure ci-dessous, les droites (d) et (d') sont parallèles :
Nommer les angles de la figure ci-dessus.
Quelles égalités a-t-on ?
Réciproquement ,
- Si deux angles ... sont égaux, alors (d) et (d') sont parallèles.
- Si deux angles ... sont égaux, alors (d) et (d') sont parallèles.
3) Angles et cercles :
BAC = 90° si et seulement si A est sur le cercle de diamètre [...]
Théorème :
a) Dans un cercle, un angle inscrit est égal à ...de l'angle au ... qui intercepte le même arc.
b) Dans un cercle, deux angles ...qui interceptent le même arc sont égaux.
CAD et CBD sont deux angles... qui interceptent...
Donc : CAD ... CBD
CAD est un angle ... et COD est un angle...
Donc : CAD ... COD
