HAL Id: jpa-00233697
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00233697
Submitted on 1 Jan 1939
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of
sci-entific research documents, whether they are
pub-lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
Discussion de formules et courbes theoriques relatives
aux rayons γ
T. Kahan
To cite this version:
DISCUSSION DE FORMULES ET COURBES
THEORIQUES
RELATIVES AUX RAYONS 03B3Par T. KAHAN,
Institut du Radium, Laboratoire Curie et Institut Henri Poincaré.
Sommaire. 2014 L’auteur
analyse et discute les diverses expressions théoriques concernant les trois effets photoniques : absorption photoélectrique, diffusion Compton et processus de matérialisation, en
fonction de leurs domaines de validité et d’application. Il présente et étudie ensuite diverses courbes
permettant de déterminer le nombre d’électrons projetés par effet Compton ainsi que l’allure des trois effets en fonction du nombre atomique et de l’énergie du quantum incident.
1. - Les
rayons ’Y donnent
lieu,
lors de leur passage à travers lamatière,
à trois processusfondamentaux,
à savoir l’effet
photoélectrique (1),
l’effetCompton
et l’effet de matérialisation
(ou
de création depaires d’électrons). L’importance
relative de cestrois
effets,
dansl’absorption
totale que subit lerayonnement
y,dépend
essentiellement du nombreatomique
de l’élément absorbant et de lafréquence
du
rayonnement
enquestion.
Si donc unpinceau
de rayons y passe à travers la
matière,
ces trois effetsdonneront lieu à une
absorption
continue(contrai-rement à ce
qui
se passe lors del’absorption
sélectivetelle que l’excitation d’atomes ou de noyaux sur
des niveaux
discrets)
suivant la loioù
I o
est l’intensitéinitiale,
I l’intensitéaprès
traversée d’une couche
d’épaisseur x
et T le coefficientd’absorption
représentant
le nombre moyen de processusd’absorption
photoélectrique,
de diffusionCompton
et de matérialisation que subit unphoton
ysur I cm de parcours. se composera donc de trois
termes
T -- 1 > --f- l; -I- J( .
2. Effet
photoélectrique.
- C’est l’annihilationdu
photon
incidentaccompagnée
par l’émission d’un électron orbitalqui emporte
l’énergie
totale duphoton.
En vertu duprincipe
de conservationde
l’impulsion,
l’électron libre estincapable
d’absorberde la lumière; on doit donc s’attendre à ce que la
probabilité
pourl’absorption photoélectrique
soit d’autantplus grande
que l’électron estplus
fortement lié.Aussi,
dans un atome de Zdonné,
cetteprobabilité
sera maximum pour la couche le
plus profonde,
c’est-à-dire la couche K. Cette
probabilité
varieaussi avec le nombre
atomique
de l’élémentabsor-bant et est d’autant
plus
grande
que Z estplus
(1) Remarquons que la conversion interne des rayons ’1
représente un type particulier d’effet photoélectrique. Si
un noyau émet un rayon -,,, il peut arriver que ce photon soit absorbé par un électron K du même atome.
élevé. Pour les rayons y très
durs,
l’effetphoto-électrique
ne se manifestera sensiblement que dansles éléments lourds.
Les formules
théoriques
de cet effet sont assezcompliquées
et varient avec larégion énergétique
considérée. Grosso modo et pour les éléments
légers
la section efficace
d’absorption photoélectrique
estproportionnelle
àZ5,
cequi
montre l’accroissementprodigieux
en fonction de Z.Nous sommes en
possession
dequatre
groupesdistincts de résultats
théoriques.
10 Calculs non relativistes de Sauter
(2)
et de Fischer(3),
valables pour ,20 Calculs relativistes
(c’est-à-dire
basés sur la théorie de l’électronmagnétique
deDirac)
deSauter
(5)
et de Hulme(~)
valables pourLes raisons pour
lesquelles
il faut recourir àl’équation
relativiste de Dirac sont les suivantes :a. La vitesse de l’électron dans son état initial
(couche
K,
etc.)
n’est paspetite
vis-à-vis de c(vitesse
de lalumière);
b. pour les rayons ydurs,
la vitesse duphotoélectron
peut
être de l’ordre de c.Sauter a
appliqué
dans ses calculsl’approximation
dite de Born
qui
consiste àremplacer
les fonctions d’ondes de l’électron considéré par des fonctions d’ondesplanes
correspondant
à un électron libre.Ainsi si
l’énergie
duphoton
incident estgrande
parrapport
àl’énergie
d’ionisation de l’électronK,
(2) Ann. der Physik, g3 i, vol. 9, p. 217. (3) Ann. der Physik, g3 ~, vol. 8, p. 8 2 1.
(4) Il est commode de rapporter, dans les formules théoriques, l’énergie hv du photon à l’énergie au repos mc2 de l’électron
--;; = 7.
= paramètre deCompton).
,
(5) Ann. der Physik, 1931, vol. 454.
Proc. Roy. Soc. A., I 93 I,
vol.133,
p. 3 8 ~ .431
on
utilise,
dans les éléments de matrices donnant laprobabilité
de transitionélectronique
de l’état lié(spectre discontinu)
à l’état libre(spectre
continu),
une onde
plane
pour la fonction d’onde duphoto-électron.
Voici la formule de Sauter
(valable
dans les condi-tionsci-dessus)
donnant la section efficaced’absorp-tion
photoélectrique
pour la couche K :v =
vitesse
duphotoélectron,
CTo_ ~ ~’ °
est la sectionefficace pour la diffusion
classique
de Thomson~ro
=rayon
électronique
=2,8.10~~
cm).
Pour y -* I, cette f ormule
prend
la f orme nonrelativiste
Pour des
énergies
photoniques
trèsgrandes,
la formule
(i)
devientce
qui
montre que JK décroîtplus
lentement avec lafréquence
dans larégion
relativiste que dans larégion
non relativiste
(2).
3~ Pour les éléments
lourds,
la formule(1)
deSauter n’est
plus
valable. Onpeut
alors utiliser laformule suivante de Hall
(’),
valable pour(1) Phys. Rev., 19 3 4, vol. 45, p. 62 0.
Cette
formule,
il estvrai,
prête
àcritique
aupoint
de vuethéorique,
mais ellereprésente
bien les résultatsexpérimentaux
même dans larégion
où h u N mc2.
Les calculs relativistes de
Hulme,
McDougall,
Buckingham
et Fowler(1)
sont valables pourtous les Z et totrs les hv.
mais ils sont
impraticables
à cause de l’extrêmelongueur
des calculsnumériques
nécessaireslorsque
est
supérieur
à4.
Aussi ces auteurs se sont-ilsbornés à calculer la section efficace
(relative
auxdeux électrons de la couche
K),
pour Z = 26, 5o et84
et pour
mc2fh v
=o,452
et1,443.
Ils se sont servisde la formule de Hall pour
compléter
leurs valeursdans la
région
mc2fh v
o, C~~ 2.
Les différences entre les valeursthéoriquement irréprochables
de cesauteurs et celles données par la formule
(4)
de Hallsont
petites
et diminuentlorsque
h vaugmente.
Laprécision
de ces calculs est d’environ 10 pour 100.Ajoutons
encore que Hall et Rarita(9)
ont aussi calculél’absorption
dans la couche Llorsque
l, et trouvent uneabsorption égale
à
1 f 5
del’absorption
de la couche K. Commel’absorp-tion dans toutes les autres couches est
négligeable,
il en résulte que OEK + 0-L
+ 5c’K.
En
multipliant
7 par le nombre d’atomes parcentimètre cube
N,
on obtient le coefficientd’absorp-tion
L’accord entre théorie et
expérience
estgénérale-ment excellent.
3. L’effet
Compton
(choc
photon-électron).
- Semanifeste par le transfert d’une
partie
del’énergie
du
photon
incident à l’électronfrappé.
Lephéno-mène
peut
seproduire
aussi sur un électron librecar ce
problème
de 2 corps satisfait aux théorèmesde conservation
mécaniques.
La section efficace decet effet est donnée par la formule de
Klein-Nishina déduite de la théorie relativiste de l’électron
où oc
= h vlmc2.
Dans le cas non relativiste
(ce « 1),
on retrouve= car les
premiers
termes dudéveloppement
en série de
(5)
sont, ; 1
Dans le cas où x > 1
(cas
relativisteextrême),
(5)
se réduit àce
qui
montre que pour h’.J jmc2
trèsgrand,
le nombre dephotons
diffusés diminue avec lafréquence
durayonnement
incident. En d’autres termes, lepouvoir
pénétrant
des rayons y très dursaugmente
avec lafréquence.
L’intensité I
(énergie
parem2/sec.)
diffusée parunité
d’angle
solide et par électron dans unedirec-tion p
est donnée en fonction de l’intensitéinci-dente
Io,
d’après
Klein-NishinaOn
peut
en déduire parintégration
la valeur dela section efficace par
électron,
c’est-à-dire la sectionefficace relative à la
part
del’énergie
incidente diffusée sous forme derayonnement
La section efficace
~~~
qui indique quelle
fraction del’énergie
dupinceau
de rayons y incident est convertieen
énergie
électronique
est naturellementIl est intéressant de connaître aussi le nombre
rt
(qJ1,
91)
d’électrons de recul(par
photon
incidentd’énergie
projetés
entre lesangles
et y2
~c~
estcompté
àpartir
de la direction duphoton
incident)
n
(~D
c~~)
estégalement
déterminé à l’aide de la formule Klein-Nishina. Les courbes de lafigure
ireprésentent
les nombres d’électronsprojetés
(par
photon
incidentd’énergie h v)
entre o-2oo,10-200,
2o-4oO, 4o-6oo,
60-800 et8o-goo,
pour desallant
jusqu’à
ex =40
(11)
environ.Remarquons
d’abord quelorsque
lafréquence
(11) Ci. SKOBELZYN, Z. /. Physik, 1930, 65, p. -i8~.Rectification, Ibid., p. C~6.
croît,
le nombre d’électronsprojetés
dans la directiondu rayon ; incident
augmente
en valeur relativetout en diminuant en valeur absolue. En outre,
si le nombre d’électrons
projetés
entre o et 2oo restepratiquement
constantjusqu’à a = 5
environ,
il décroît considérablement au delà de oc = 5 comme
il fallait du reste
s’y
attendre étant donné que la section efficace totale diminue avec lafréquence.
Signalons
aussi que la courbe relative au nombred’électrons diffusés entre o et 200 passe par un
maximum
plat
dans l’intervallecompris
environ entreFig 1. - n (~1, fonction de ce = "1
Le coefficient
d’absorption
par effetCompton
(par centimètre)
est donné par(11)
J L’accord entre théorie etexpérience
est satisfaisant.4. Effet de matérialisation
(ou
de création de pairesd’électrons).
- Cet effet(annihilation
duphoton
avec création d’unpositon
et d’unnégaton)
ne
peut
avoir lieu quelorsque l’énergie
duphoton
yest
supérieure
au double del’énergie
au repos mc2d’un électron > 2 mc2 =
1,02 MeV.
Lorsque
la section efficace pour lamatérialisation d’un
photon
defréquence ., (création
d’unepaire près
d’un noyau de nombreatomique Z)
est donnée par la formule suivante de Bethe et
Heitler
(1~), (avec l’approximation
deBorn)
(sans
effetd’écran).
433
1 1
Lorsque
h v :i
(effet
d’écrancomplet),
on a,
toujours
d’après
Bethe etHeitler,
On voit que la
probabilité
de matéralisation estproportionnelle
à Z2.Pour les autres valeurs de
h u,
il n’existe pas deformule condensée.
La méthode
théorique rigoureuse
utilisée parJaeger
et Hulme(’ ~) (qui
consiste à faireappel
auxfonctions d’onde
sphériques
exactes pour lemouve-ment d’un électron en
présence
d’un noyau lourd, sans recourir à desapproximations
autres que desapproximations numériques
dont onpeut
évaluer laprécision)
donne des valeurssupérieures
à cellesdéduites des calculs de Bethe et Heitler. Comme il
est
impossible
d’obtenir des formules exactesconden-sées pour la section efficace relative à ce
phénomène,
les auteurs
anglais (13)
se sont bornés à calculer 0":B1 pour desénergies photoniques
de 3 mc2 et 5,2 mc2.A titre de
comparaison,
nous donnons les résultatsdes calculs de Bethe-Heitler et de
Jaeger-Hulme,.
reatifs au
plomb
, , >
t
Toutefois,
même pour les élémentslourds,
onpeut
s’attendre à ce quel’approximation
de Born(formules
deBethe-Heitler)
donne de bons résultats pour les rayons y degrande énergie (1).
(13) Proc. Roy. Soc. A, 1936, vol. 153, p. 443.
("~) Remarquons toutefois que pour hu = 2,65 MeV (rayons
y
du Th C") l’expérience est en désaccord avec la valeur théorique indiquée par Jaeger et Hulme, mais en accord complet avec
la valeur théorique de Bethe et Heitler (c f . GENTNER, Z. f. Physik, rg36, 100 p. À fi 5 et J. C. JAcoBSEN, ibid.,
103, p. 747).
Le coefficient
d’absorption
parcentimètre,
dûau
phénomène
dematérialisation,
est donné par5.
Importance
relative des trois effets. - L’impor-tance relative des trois effets étudiés est fonction de hv et de Z(variation
avec lafréquence
durayon-nement incident et le nombre
atomique
de l’élémentabsorbant).
Lesrégions
où l’un de ces effets donneune contribution de
plus
de 5o pour I oo au coefficientd’absorption
total sont les suivantes, pourl’alu-minium
(Z =
13),
le cuivre(Z
==2 g)
et leplomb (Z =
82) (voir
le Tableauci-dessous).
La
figure 2
représente
l’allure(ordre
degrandeur)
Fig. 2. -
Importance relative (en pour ioo) des trois effets, en fonction de a = hvjmc2, dans le cas de l’aluminium.
de
l’importance
relative(exprimée
en pour ioo ducoefficient
d’absorption total)
des trois effets étudiésen fonction du
paramètre a
= dans le cas del’Al.;
ellepermet
de se rendrecompte
immédiatementLa
figure
3 est relative aucuivre,
lafigure
4.
auplomb.
Ainsi,
parexemple,
pour ex =5,
on lit surFig. 3. -
Importance relative (en pour i oo) des trois effets,
dans le cuivre, en fonction de ce = hvln1c2.
la
figure
4 :
Tp -9 pour 100, ’7c =
76
pour 100 et -- I 5pour 100
(g
+76
+ 1 ~ =100).
La-
Importance relative (en pour 100) des trois effets,
dans le plomb, en fonction de ex = hvlmc2.
figure 5
montre, pourquelques
valeurs deh v /mc2,
la variation del’importance
relative de trois effetsen fonction du nombre
atomique
Z.Fig. 5. - Variation de
l’importance relative (exprimée
en pour oo de v total) des trois effets, en fonction de Z.
Ce travail m’a été
