Effets de cohérence Zeeman dans une vapeur atomique excitée par des électrons lents

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Effets de cohérence Zeeman dans une vapeur atomique excitée par des électrons lents

Odette Nedelec

To cite this version:

Odette Nedelec. Effets de cohérence Zeeman dans une vapeur atomique excitée par des électrons lents. Journal de Physique, 1966, 27 (11-12), pp.660-670. �10.1051/jphys:019660027011-12066000�.

�jpa-00206458�

660.

EFFETS DE

COHÉRENCE

ZEEMAN

DANS UNE VAPEUR

ATOMIQUE EXCITÉE

^{PAR DES}

ÉLECTRONS

LENTS

Par ODETTE

NEDELEC,

Laboratoire de

Spectrométrie Physique,

Faculté des

Sciences,

^Grenoble.

Résumé. ²⁰¹⁴ On étudie les

phénomènes

résonnants observés sur la lumière de fluorescence issue d’un ensemble

unique

^et

complet

^de sous-niveaux Zeeman

équidistants

d’une vapeur

atomique

^excitée. Ces effets sont

exprimés

^{en fonction de la} lumière émise ^en

champ nul,

^indé-

pendamment

^du

procédé

d’excitation et du moment

cinétique

^{des niveaux. On considère suc-}

cessivement le cas où le niveau

duquel

^est issue la lumière observée est excité directement à

partir

^du

fondamental, puis

^{le cas d’une} désexcitation _par cascade. En

présence

^d’un

champ

^de

radiofréquence,

^les

équations

^{des diverses} courbes de résonance sont obtenues sans avoir à résoudre

d’équations couplées.

Abstract.2014A

study

^{is made of the resonant} effects observed on the fluorescent

light

^emitted

from ^a

unique

^and

complete

^{set of}

equally spaced

Zeeman sublevels of ^an excited atomic _gas.

These effects are

expressed

^{as a function of the}

light

emitted in the absence of a

magnetic field, independently

^{from the} excitation process and from the

angular

^{momenta of the levels.}

We first consider a level

directly

excited from the

ground

state, ^{then a cascade}

decay.

^Within

a radiofrequency field,

^{the resonant}

equations

^are calculated without

having

^{to solve}

coupled equations.

PHYSIQUE 27, 1966,

Introduction. ^-

L’experience

^{de double réso-}

nance de Brossel

[3]

^{a 6t6}

transpos6e

⁴ 1’excitation

électronique [2]

^et

interpretee partiellement

^{dans ce}

cas a 1’aide de la formule de

Majorana,

^{une inter-}

pr6tation complete

^{avec cette methode} n6cessitant la connaissance des

populations

des différents sous-

niveaux Zeeman.

Depuis,

^{divers autres effets r6son-}

nants ont 6t6 mis en evidence _par excitation

optique,

effets liés à la

presence

^{d’une «} aimantation trans-

versale

globale

^{» dans la vapeur}

[4].

^{Le but de cet}

article est de

d6velopper

^un formalisme

permettant

l’interpr6tation quantitative

^{des effets r6sonnants}

obtenus

apr6s

excitation

6lectronique,

^{en tenant}

compte

^{de la} désexcitation _par cascade.

Signalons

que des travaux r6cents

[8]

^ont

permis

^une

généra-

lisation de

1’expression

des effets r6sonnants dans

une vapeur

atomique

^excitée par voie

optique.

Dans le cas d’une excitation

optique,

^{il est} pos- sible de d6crire le

systeme

^excite par ^une matrice densit6 et de calculer les intensit6s observ6es ^en

appliquant

^les diff6rentes

r6gles

^de 1’6mission lumi-

neuse

[4]. Or,

^{dans le cas de} 1’excitation ^6lectro-

nique,

^{il est difficile d’ecrire} la matrice

d’excitation,

le processus d’excitation 6tant peu ^connu. Nous allons considérer la lumière de

fluorescence

^{issue d’un}

ensemble

unique (1)

^et

complet

^de sous-niveaux

(1)

Nos résultats ne sont pas valables : si l’observa- tion porte ^sur

plusieurs

^{ensembles de} cous-niveaux

Zeeman,

appartenant ^{a des niveaux}

hyperfins,

par

exemple ;

^au

voisinage

d’un croisement de deux ^sous- niveaux appartenant ^a des niveaux differents

(voir [5]) ;

si un

champ

^de

radiofrequence

6tablit des transitions appartenant ^a des niveaux differents.

Zeeman

iquidistants.

^Nous supposerons que l’itat

fondamental

^{n’est ni}

aligni,

ni orienti et que le seul temps ^de relaxation dans l’itat exciti est la durée de vie radiative. Dans ces

conditions,

^{nous montrons}

que la lumiere de

fluorescence, apr6s

^excitation

électronique,

peut ^{etre décrite 4}

partir

^de

grandeurs

directement accessibles a

1’experience :

^{le taux de}

polarisation

^{de la} lumiere 6mise en

champ

^{nul et la}

direction du

jet

d’61ectrons.

Le formalisme _que nous utilisons au

depart

^est

celui de la matrice

densit6,

^{mis au}

point

par Barrat

et

Cohen-Tannoudji [4]

^pour d6crire les divers effets r6sonnants

apparaissant

^{sur la} lumiere 6mise _par

une vapeur excitée _par une

source optique

^ordinaire

(lampe

^a

décharge).

^{Dans une}

premiere 6tape

^nous

adaptons

^ce formalisme de

fagon

^{a éviter de faire}

intervenir la nature

physique

^du

procédé

^d’exci-

tation,

^ainsi que les elements individuels de la matrice densit6

(paragraphe I).

^{Nous montrons}

ensuite _que la lumiere 6mise en

champ

^nul

peut

^6tre décrite a I’aide d’un nombre limit6 de

parametres expérimentaux (paragraphe II).

^{Puis nous 6tudions}

1’6volution dans ^un

champ magnétique,

^{d’un niveau}

excite directement ^a

partir

^du fondamental

(para- graphe III)

^{ou excite par emission}

spontanee

^issue

d’un niveau

d’énergie supérieure (paragraphe IV).

1. Generalites ^sur le traitement

di6orique.

^-

A)

COMPARAISON ^DE L’EXCITATION OPTIQUE ^ET ELEC- TRONIQUE. ^- L’excitation

électronique

^telle que

nous la faisons dans nos cellules

(voir [2])

^satisfait

aux conditions de validit6 de la th6orie utilis6e _pour

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019660027011-12066000

d6crire un etat excite _par une source

optique

« large » [4].

^{Dans les deux cas :}

- L’onde lumineuse 6mise _par les atomes excites n’a _{pas de}

phase

^d6finie.

- La

dispersion d’energie A

^{de la} raie excitatrice

ou du

jet

d’61ectrons est

grande

^{devant la}

largeur

naturelle de 1’etat excite et devant 1’ecart Zeeman des

sous-niveaux ;

^{il en resulte} que la ^« duree ⁾⁾ du processus d’excitation d’un atome,

qui

^{est de l’ordre}

de 1

/A,

^{est un} temps ^{tres court devant les autres}

temps

^du

systeme (durée

^de

vie, p6riode

^de

Larmor) ;

en outre,

plusieurs

sous-niveaux peuvent ^{etre excites} simultan6ment dans le meme atome, ^les

populations

de ces niveaux 6tant

indépendantes

^de l’intensit6

et de la direction des

champs magn6tiques appli- ques.

- L’intensit6 excitatrice est suffisamment faible pour n’avoir _pas d’action ult6rieure sur 1’6tat excite.

Notons que 1’6mission de lumi6re _par un atome est consideree

6galement

^{comme un} processus instan-

tan6,

^{sa « duree )) 6tant de l’ordre de l’inverse de la}

frequence

^de la raie 6mise.

Les caract6res différents des modes d’excitation

optique

^et

6lectronique

^sont essentiellement :

- L’excitation

6lectronique

permet d’atteindre

non seulement le niveau de resonance

optique,

^mais

n’importe quel

^niveau

excite ;

^{il faudra donc tenir}

compte ^des

ph6nom6nes

^de d6sexcitation _par cascade.

- L’excitation

électronique

^de

produit qu’un aligne-

ment, c’est-a-dire que deux 6tats propres de

signes opposes (mL

^{et -}

mL)

^{du meme moment orbital L}

sont

6galement peuplés.

^Des considerations

simples

de

symetrie permettent

^de

justifier

^cette pro-

pri6t6 [1].

^La lumiere 6mise en

champ

^{nul est} par- tiellement et

rectilignement polaris6e.

- Dans une excitation

optique, l’impulsion

^du

photon

^est

n6gligeable

^devant

l’impulsion

^des

atomes dont

l’ énergie ein6tique

^est

l’ énergie

^ther-

mique

^{4 la}

temperature

ordinaire. Par c,ontre,

l’impulsion

de l’ilectron est du même ordre de

grandeur

que

l’impulsion

^{des atomes. La} vitesse ainsi commu-

niqu6e

^{ne sera} consideree _que lors de 1’6valuation des limitations des dur6es de vie

atomiques

^dues

aux collisions contre les

parois

^des electrodes.

- L’intensit6 du courant est insufflsante _pour permettre d’obtenir ^un « pompage

6lectronique

^{)) du}

fondamental,

^6tant donne que la relaxation des atomes est

complete

^{lors d’un choc contre les 6lee-}

trodes.

B)

DESCRIPTION DE L’ETAT EXCITE. ^- Grace au

caractere instantane des processus d’excitation ^et

d’6mission,

la vitesse de variation de la matrice densite d6crivant 1’6tat excite est la somme de trois

termes

(voir [4]).

d (1)

dt

^O"mm decrit le processus d’excitation. _{On posera}

GO etant la matrice d’excitation.

d(3)

dt

^{amm, decrit} l’évolution _propre dans le niveau

dt

excite et est donn6 par le commutateur -

i(JC, o),

Je etant le Hamiltonien du niveau excite. Dans le

cas ou seul un

champ magnetique Ho dirig6

^suivant

1’axe de

quantification

^{Oz est}

applique,

^{les termes}

de ^ce commutateur sont

egaux

^à

a condition _que le moment

ein6tique

^{total soit un}

bon nombre

quantique.

^{we est la}

pulsation

^de

Larmor dans le niveau excite considere : _coe ⁼ gV-B

Ho, g

⁼ facteur de

Landé,

(LB ⁼

magnéton

^de

Bohr.

d(2)

décrit l’émission Nous

dt

^amm, décrit l’émission

spontanee.

^{Nous Ie}

prenons

6gal

^{4 -}

famm’,

^{r etant} l’inverse de la duree de vie r du niveau excite.

Pour d6crire 1’6tat excite _par bombardement elec-

tronique,

il faudrait donc connaitre la matrice d’excitation aO.

Puisque

^Ie

jet

d’electrons ne

possede

aucune direction

privil6gi6e

^{autour de sa direction}

de

propagation,

^et que ^nous supposons que l’état fondamental a la

symetrie sph6rique,

^{il en resulte}

que le

systeme excite,

consid6r6 immédiatement

apr6s 1’excitation, poss6de

^la

symétrie cylindrique

autour de la direction

du jet.

^Si

le jet

^est

parallele

a I’axe de

quantification Oz,

^les

phases

^{des coef-}

ficients _am du

d6veloppement

^{de la} fonction d’onde d’un atome excite

(t-O) ^{- E} am(t==O) 1m >

^varient

m

de

façon

al6atoire d’un atome a

l’autre,

^{et la valeur}

moyenne, pour 1’ensemble des atomes

excites,

^des

produits _a.(t.0) a’(t=O)

^{est nulle si m =1= m’. La}

matrice

am(t=O) . a’(t=O)’

dicrivant l’excitation instan-

tanée,

^{est donc}

diagonale

^{si le}

jet

d’electrons est

parallèle

^{à l’axe de}

quantification

^{Oz. Nous}

1’ecrirons,

dans ce

cas, ago

^{Si la direction du}

jet

^est

quelconque

par rapport ^{aux axes de}

quantification,

^{nous obte-}

nons la matrice cO en

transformant 6o

par rotation

(voir appendice) :

Cette transformation est valable en

presence

^de

champ magn6tique, puisque

nous avons

suppose

que la

r6partition

^{des moments}

cin6tiques

^{créés lors de}

1’excitation est

indépendante

^du

champ. Rappelons qu’aucune r6gle

^{de selection ne}

permet

^{de d6ter-} miner les termes de

ao.

Les axes de

quantification

^seront d6finis de la

fugon

suivante : Oz a la direction et le sens du

champ magn6tique Ho ;

^le

plan jet-champ

permet de determiner

Ox, perpendiculaire

⁴

^{Oz ;} Oy

^est

tel _que le tri6dre

Ox, Oy,

^Oz soit direct

( fig.1).

C)

^{INTENSITE LUMINEUSE OBSERVEE. -}

Rap- pelons

que la

quantite

^de lumi6re 6mise _par unite de

temps

^{dans un}

angle

solide A92 autour d’une direc- tion donn6e et avec un 6tat de

polarisation

^{ex donne}

s’ecrit

[4],

^{a une constante}

multiplicative

^B

pres :

Toutes les constantes sont

group6es

^{dans le}

terme

Io qui

^est

proportionnel

^a l’intensit6 totale 6mise et 4

l’angle

solide observe.

ex : ^{est un vecteur} unitaire

rep6rant

^la

polari-

sation d’ observation.

(L :

d6signe

^un sous-niveau du niveau

final.

D : est

l’op6rateur

^moment

dipolaire 6lectrique.

Nous avons introduit la constante T’ _pour norma-

liser la matrice densite.

Afin d’obtenir une

expression

^des intensit6s obser- v6es

indépendante

^des elements individuels de la matrice

densite,

^nous

remplaçons

les coefficients de

Clebsch-Gordan, qui

^sont

g6n6ralement utilisés,

par les

composantes

^standard

Dq

^de

l’op6rateur

^moment

dipolaire 6lectrique

^{D. D est un}

op6rateur

^vectoriel

hermitique

et, par definition :

§, ’r),

^{sont les vecteurs unitaire des axes}

Ox, Oy,

^Oz.

(Notations

^{de Blatt et}

Weisskopf).

L’intensite observ6e

peut

^{ainsi Atre mise sous la} forme :

Le

probl6me

^{du calcul des} intensit6s consiste à 6valuer la valeur moyenne dans I’atome de chacun des neuf

operateurs D q D:.

^{Les seules}

polarisations

d’observation

qui

permettent d’observer les transi- tions

correspondant

^{a un seul}

op6rateur Dq D+

sont 6+, ^{a-- et 7u} pures

qui

^sont

orthogonales.

Le

produit

^{tensoriel de deux}

op6rateurs

^tensoriels irr6ductibles Tk1 et Tk8 peut ^{etre mis sous forme}

d’operateurs

tensoriels irréductibles Tk dont les

composantes

^sont

[7] :

En utilisant la formule

(5)

^{et le fait}

que Dq = T q 1) et DQ

⁼

(- 1)q D-a,

^on peu construire des

op6ra-

teurs tensoriels irr6ductibles

TQ (k

⁼

^{0, 1,} 2)

^à

partir

^de combinaisons linéaires des

Dq D:.

^Confor-

mement aux notations utilis6es _par d’autres

auteurs

[8]

^nous

appelons ao

^{la valeur moyenne d’un}

op6rateur Tk

^{_ -}

Ces valeurs _moyennes

repr6sentent respecti-

vement :

k ⁼ 0 : la

population globale

^{du niveau}

(scalaire)

ou la lumi6re totale

6mise,

k ⁼ 1 : l’orientation

(3 composantes)

^{ou la}

lumiere 6mise

polaris6e circulairement,

k ⁼ 2 :

Falignement (5 composantes)

^{ou la}

lumiere 6mise

polaris6e rectilignement.

D’apr6s

^le th6or6me de

Wigner-Eckart,

^{les élé-}

ments de matrice

JmlTklJm’

> ^sont propor- tionnels aux coefficients de Clebsch-Gordan

Jkm’ql Jm

>. Un

opérateur Ta

^{a donc des élé-}

ments de matrice entre des sous-niveaux tels _que

m - m’ ⁼ q. Pour _que chacun de ^ces

op6rateurs

soit defini de

facon precise,

^il

faut,

^en outre, calculer 1’element de matrice r6duit

correspondant

^a

chaque

groupe k ^en fonction du moment

cin6tique

^des

niveaux entre

lesquels

^se fait la transition

[6].

En

fait,

^{nous verrons} que ^ce calcul est inutile dans

notre cas, la

correspondance

^{etablie avec les}

op6ra-

teurs

Dq Dt permettant d’exprimer

^{la valeur}

moyenne de chacun de ces

op6rateurs Tkq

^{en fonction}

de la lumiere 6mise en

champ

nul. Pour

exprimer

l’intensit6 observ6e a I’aide des

op6rateurs Tk

^on

doit définir ^une fonction de la

polarisation

^d’obser-

vation

O§(6x),

^{telle que :}

663 Pour

cela,

^on peut

proc6der

par

identification,

^de

manière à obtenir les memes résultats

qu’avec (4).

Dans le cas d’une

polarisation

d’observation recti-

ligne, reperee

par les

angles polaires P’

^{et oc’}

(angles d’Euler, fig. 3),

^on obtient ainsi :

II.

Description

^de la lumiere emise en

champ

^nul.

- Nous d6crirons la lumiere 6mise en

champ

^nul

par l’interm6diaire de valeurs _moyennes

d’opera-

teurs.

On ne consid6rera ici _que des

proc6d6s

d’excitation

poss6dant

^{un axe de}

symétrie.

Pour que la

descrip-

tion de la lumière de fluorescence soit la

plus simple possible,

^nous choisissons 1’axe de

quantification

^Oz

selon 1’axe de

symetrie

^de 1’excitation

(2) :

^{la matrice}

d’excitation 6°

(= erg)

^est

diagonale,

^{et les seuls}

op6rateurs Dq D+ pouvant

^{avoir une valeur moyenne}

non nulle sont alors les trois

op6rateurs

^«

longi-

tudinaux o. Ces valeurs _moyennes seront les ^«

polari-

sations de

difinition

^{» : :}

Ces

polarisations

^sont directement accessibles a

l’expérience:

il suffit de mesurer les intensités 6mises avec la

polarisation

propre ^a chacun de ces

trois

opérateurs,

^le

champ magn6tique

^{6tant nul.}

Dans le cas de 1’excitation

électronique,

^{la lumiere}

6mise est

polarisee rectilignement (polarisation

par-

tielle) : ^Ia+

^{= 10-.} L’état excite peut ^{alors etre} decrit a 1’aide seulement de deux

parametres.

^Nous

adopterons

^les intensités

Il

^et

III qui d6signent respectivement

^les intensités observ6es en

champ

nul avec une

polarisation //

^{ou 1 au}

jet 6lectronique.

Les

polarisations

^de d6finition seront donc

(voir [8]) :

(2)

Precisons la direction de (( l’axe de

symetrie

^de

1’excitation », dans des cas

particuliers :

Excitation

electronique :

direction de

propagation

^du

jet d’electrons ;

lumi6re naturelle : direction _{de propa-}

gation

^du

faisceau,

^lumi6re

polarisee

circulairement : direction de

propagation

^du

faisceau ;

^lumi6re

polaris6e rectilignement :

^{direction du vecteur}

6lectrique.

Ces

procedes d’excitation, qui poss6dent

^{un axe de}

symétrie,

^{sont les} seuls utilises en

pratique.

Ces notations conviennent

6galement

pour d6crire

un

systeme

^excite par ^une lumiere dont la

polari-

sation

rectiligne

^{aurait même direction} que le

jet

d’electrons ou par ^une lumière naturelle se propa- geant ^{dans la meme direction} que

le jet d’61ectrons,

c’est-a-dire tous modes d’excitation cr6ant un

aligne-

ment dans 1’etat excite.

Exprimons

^{les valeurs}

moyennes des

op6rateurs Ta

^{a 1’aide de}

[5],

^de

[8],

et de

[9] :

Les valeurs _moyennes des

op6rateurs,

^d6crivant

1’excitation du

syst6me

par ^un

jet

^faisant

I’angle Pi

avec 1’axe de

quantification,

^{seront :}

Une

transformation

^{unitaire ne}

changeant

pas la trace, ^nous pouvons

effectuer

^la

transformation

^sur

l’ 0 pérateur

^{et non sur} la matrice densité :

En

resume,

^la

description

^de 1’etat excite necessite la connaissance de tous les termes de la matrice densite ou de la valeur _moyenne d’un nombre

d’op6-

rateurs

orthogonaux 6gal

^{au nombre des termes de}

la matrice densite. Le fait _que l’observation

porte

sur une transition

dipolaire ilectrique (c’ est-à-dire

^se

fait _par l’interm6diaire d’un

photon

^{de moment}

cin6tique 1)

entraine que la connaissance des valeurs moyennes de neuf

op6rateurs

^{au maximum}

(Dq DQ

ou

Ta)

^est n6cessaire _pour d6crire la lumi6re de fluo-

rescence. De

plus,

la connaissance des

symgtries

^dans

le

procidi

d’excitation et le choix de l’orientation des

axes de

quantification

permet ^{de r6duire encore le} nombre de

parametres

n6cessaires _pour d6crire la lumiere 6mise ^en

champ

^nul.

Si on peut ^{trouver un axe de}

quantification tel

que la matrice d’excitation soit

diagonale,

^la lumière de

fluorescence s’exprime

^en

fonction

seulement de trois

paramètres

que nous avons

appel6s

^les

« polarisations

de d6finition ^)). Dans ^ce _cas, la

description

^{de la}

lumiere 6mise en

champ

^nul par l’interm6diaire des

op6rateurs

tensoriels irréductibles utilise trois

donn6es

exprimees

^{en fonction des trois «}

polarisa-

tions de definition )) :

L’intensiti totale

proportionnelle

^{h :}

Le « taux

d’orientation »

^:

Le « taux

d’alignement » :

^:

Pll

^-

P.L IPII ⁺ 2P.L-

L’excitation

electronique produisant

^un

aligne-

ment pur, deux

parametres

^suffisent pour d6crire la lumi6re émise : l’intensit6 totale et le taux d’ali- gnement ^fournis par les mesures de

Ill

^et

Ij..

Rappelons qu’une

excitation

optique

^{est dite en}

«

polarisation

incohérente ^» ou en «

polarisation

coherente )) selon _que la matrice d’excitation est dia-

gonale

^{ou non}

[4],

c’est-a-dire selon _que les

op6ra-

teurs transversaux

(T k, q 0 0)

^{ont une valeur}

moyenne nulle ou non nulle. De

même, l’excitation electronique

peut introduire de la ^« coherence hertzienne ^» dans un

systeme atomique,

^{a condition}

que le

jet

d’electrons ^ne soit _pas

parallele

^{a 1’axe de}

quantification

Oz determine _{par la} direction du

champ magnétique.

^Les

phenomenes

^{observés par}

excitation

optique

^en

polarisation

^{« coh6rente » ou}

« incohérente » peuvent

respectivement

^se

généraliser

a 1’excitation

electronique

« transversale » ou

« longi-

tudinale ».

I I I.

Evolution

dans ^un seul niveau. ^-

A)

^CHAMP

MAGNETIQUE ^{DE DIRECTION FIXE. -} Pour d6crire 1’evolution du

syst6me

^sous 1’eflet d’un

champ magnétique,

^on

prend

^{la direction du}

champ magn6- tique

^{comme axe de}

quantification.

^{Nous avons vu}

qu’un

^{terme (Jmm’ de la} matrice densit6 est alors solution de

1’6quation

différentielle

(voir (1)) :

Chaque op6rateur T"

intervenant dans

1’expres-

sion de l’intensit6

observ6e,

^a des elements de matrice ^{entre un} ensemble de

couples

^{de sous-}

niveaux dont la difference

(m

^-

m’)

^est

6gale

^a q.

Le calcul de sa valeur _moyenne

aQ

^fait donc inter- venir les termes de la matrice densite tels _que

m - m’ = - q. Par

consequent

La matrice d’excitation (j°

peut d6pendre

^du

temps ; ^on pose

expression qui

^d6finit

pk.

Si 1’excitation est

continue,

^{le calcul de}

Tr [ cpO . T§]

est irnm6diat

((10), (11))

^en fonction des

polari-

sations de definition.

Citons,

^comme

experiences

^de

ce type ^{" la}

dépolarisation magn6tique,

^{les reso-}

nances obtenues en modulant l’intensit6 du

champ magn6tique Ho.

Si 1’excitation est

modul6e,

^{la fonc-}

tion du temps ^{se met en facteur sur tous les termes} de la matrice d’excitation et il

suffira,

^en outre, ^de connaitre cette fonction du temps pour determiner la valeur _moyenne d’un

op6rateur quelconque ;

^on

obtient dans le cas d’un

champ statique

Soit

Les

ph6nom6nes

r6sonnants observes dans ^un

champ statique,

1’excitation 6tant continue ou

modul6e en

intensité,

^{sont etudies en detail dans}

[1].

Remarquons

que dans ^un

champ magnetique

^de

direction

fixe,

^{seuls les}

op6rateurs

transversaux

(q

^;

0)

^{ont leur valeur} moyenne modifi6e

(dans

^le

sens d’une

diminution)

^{au cours de} 1’evolution. II faudra

donc,

pour observer ^un

phenomene

^r6sonnant

dans un

champ magnetique

^{de direction}

fixe,

que 1’excitation introduise de la coherence hertzienne dans le

systeme atomique

^et que la

polarisation

d’observation soit ^« coh6rente ^» faisant intervenir

un

op6rateur

transversal dont la valeur moyenne ^en

champ

^{nul est} differente de zero.

B)

^{CHAMP DE} RADIOFREQUENCE

2H 1

^{cos Wt PER-}

PENDICULAIRE AU CHAMP STATIQUE

Ho.

^{- Les}

exp6-

riences de ce type, ^{li6es a une} excitation

optique

sont bien ^connues. Si 1’excitation est en ^«

polari-

sation incoherente _», la mesure du taux de

polari-

sation de la lumiere 6mise en fonction de l’intensit6 du

champ magnetique statique

^{conduit a des courbes}

de resonance du type

Brossel-Majorana (1950) [3].

Dans le cas

general,

^on peut

observer,

^en outre, des modulations de la lumi6re 6mise

(light-beats).

^La

th6orie de ces effets a ete faite _par Barrat

[3]

^et par Series et al.

[3] qui

^{ont vérifié}

exp6rimentalement

un

grand

^{nombre de} resonances de ce type ^{dans le}

cas d’un niveau J ⁼ 1. Nous allons montrer que,

quelle

que soit la nature

physique

^de

l’excitation,

^et

quels

que soient les moments

cinitiques

^des

niveaux,

si les

polarisations

^en

champ

^{nul sont les}

^memes,

^on

obtiendra des courbes de risonance semblables.

Pour d6crire 1’evolution de l’atome

excite,

^sous

1’effet des deux

champs magn6tiques,

^{on se ramenera}

au cas d’un

champ magn6tique unique

^en

quanti-

fiant dans le ref erentiel du

champ

^effectif

[3]

^tour-

nant a la

frequence

^{(ù du}

champ

^de

radiofréquence (fig. 2).

^Le

fait

de choisir le

champ effectif

^{comme axe}

de

quantification Oz permet

le calcul immidiat de la

matrice

densité à l’ état stationnaire de

fagon

^indé-

pendante

^{du moment}

ein6tique

^{du niveau. La}

méthode _que ^nous d6crivons ici est presque ^ana-

logue

^{a celle de}

^Barrat,

^{a ceci}

pres

que Barrat ^con-

serve la direction Oz du

champ Ho

pour ^axe de

quantification

dans le ref erentiel tournant. Les

nouveaux axes

(OZ, OX, OY)

que ^nous prenons pour

axes de

quantification (fig. 3)

^{sont obtenus a}

partir

des axes

primitifs (Oz, ^Ox, Oy)

par rotation

d’angles

d’Euler ^{oc =}

cot,

^{= arc} tg

H, _, y == _HO-H

^{Y 0}

^(voir

appendice, fig. 3)

^{où H est tel que}

gtlb H

^{= (ù.}

Les diff6rentes

etapes

^{du calcul sont les} suivantes :

- On

exprime

^{la matrice} d’excitation a° ⁼

6ezp

dans le référentiel ^tournant du

champ

^effectif

- On calcule la matrice densite selon

l’équa-

tion

(13),

^le

champ agissant

^{etant le}

champ

^effee-

tif

Hetp. Appelons

^aeff la solution obtenue en

regime

stationnaire

(t » 1/r).

^La matrice densite dans le ref erentiel de

1’experimentateur

^{est, en}

regime

stationnaire :

-

Enfin,

^on calcule l’intensit6 observ6e

(6q. (6)).

Pratiquement,

^on

opere

^dans l’ ordre inverse : la valeur moyenne

cr; de ^chaque op6rateur

^{devra etre}

exprimée

^en faisant intervenir la matrice densite dans le référentiel du

champ

^effectif.

II faut connaitre comment

ag depend

^du temps

pour

pouvoir

^{calculer la} matrice densite O"eff. Posons :

où

q;ff

^ne

depend

pas du temps.

Décomposons

les rotations faissant _{passer de}

6egp

à

Jga (voir appendice) :

La rotation

(cx)

^fait

apparaitre

^{des fonctions du} temps ^{sur les termes non}

diagonaux

^de

segp

D6composons

^{cette matrice en} sous-matrices con- tenant des termes A une seule

fréquence n :

La transformation de l’une de ces sous-matrices dans la rotation

(?)

fournit la matrice

(pexp :

En tenant compte ^de 1’evolution du

syst6me (voir éq. (29)) :

- En reportant

(20)

^dans

(17), 6q

peut ^{etre mis}

sous la forme :

En

effet, 1’expression

^{de la trace d’un}

op6ra-

teur

Tq

^fait intervenir les termes de la matrice densite _O’eff tels _{que mil} ^- m"’ ^{= -} q’ ; ^{le terme} d’6volution

correspondant

^à

l’opérateur q’

^{sera done:}

- D’autre part, ^{en utilisant}

1’6quation (19) :

La restriction

(m -

^{m’ =}

n) portant

^{sur le choix}

des termes de

aexp impose l’op6rateur T., qui

^inter-

viendra dans la trace, c’est-h-dire

qui

^a des elements

de matrice entre des sous-niveaux tels _que

m -

m’ - - n, d’où q"

^{= - n. La valeur}

moyenne d’un

op6rateur

^{dans le} relerentiel de

1’experimentateur

^{est donc} finalement :

(al-*-)o s’exprime

^{en fonction des}

polarisations

^de

definition

(10), (11).

(1)

^decrit 1’excitation dans le r6f6rentiel tournant

du

champ effectif ;

Uq’,n décrit 1’evolution dans ce

meme

référentiel ;

^{les deux}

premiers

^{termes d6cri-}

vent le retour du r6f6rentiel de

1’experimentateur.

Cette formule

(22)

^montre que les divers

types

^de

resonance observes

dependent

^des combinaisons de

- q"

^et

q qui

^{servent a d6crire}

1’(excitation (10), (11)

et l’ observation

(7) respectivement,

^{ces resonances}

etat observables a la

frequence Iq - q’I w.

^On

obtient ainsi :

- Pour 1’orientation : 5

types

^de courbes obser- v6es aux

fréquences 0,

co, 2 w.

- Pour

l’ alignement :

¹³ types de courbes obser- v6es aux

fréquences 0,

co,

2 w, 3 w,

^{4 w.}

La formule de

Majorana-Brossel [3]

^{est un cas}

particulier

^de

1’equation (22),

^dans

laquelle q"’

^{= 0}

(excitation longitudinale)

et q ^{= 0}

(observation

^en

polarisation

incoherente ou a

frequence nulle).

C)

CONCLUSION. ^- De-cette

etude,

resumee dans les formules

(16)

^et

(22)

^et concernant la lumière 6mise

apr6s

^{evolution dans des}

champs magn6- tiques

par ^un ensemble

unique

^et

complet

^{de sous-}

niveaux Zeeman sans effet de

cascade,

^on peut d6duire un certain nombre de

faits, parmi lesquels

nous

soulignerons

^ceux

qui

^{sont nouveaux ou}

qui

ont

ete j ustifies

^de

^facon precise.

- L’intensité

observ6e, apr6s

^{evolution dans un}

champ magnétique,

peut

s’exprimer

^en fonction de l’intensit6 6mise en

champ

nul. L’intensite 6mise n’est _pas fonction des elements individuels de la matrice

densite,

^{mais de} trois combinaisons linéaires de ces elements

correspondant

^{a la}

population totale,

a

l’orientation,

^a

1’alignement,

^{d6crits a 1’aide des}

op6rateurs

tensoriels irréductibles k ⁼

0,

^{1 et 2. La}

valeur moyenne de Tk=O) est invariante _par rota-

tion,

^ainsi que ^sous I’influence d’un

champ ^magn6- tique.

^Des resonances ne peuvent ^{donc etre obser-} v6es que si 1’excitation cree une orientation

(k

⁼

1)

ou un

alignement (k

⁼

2),

^et l’intensité des riso-

nances sera

proportionnelle

^{au taux} d’orientation ou au taux

d’alignement.

- A l’intirieur de

chaque

ensemble k les

gquations

des courbes de résonance sont les mêmes et ne

dipen-

dent ni du moment

cinétique

^du

niveau,

^{ni de la}

matrice d’excitation. Ces deux derniers facteurs peuvent

cependant

intervenir dans la forme des courbes de resonance

observ6es,

^{dans le cas ou}

l’exr,itat,ion ne

produit

pas ^une orientation ou un

alignement

purs : si l’observation

enregistre

la super-

position

^de

signaux

^{des deux}

f amilles,

le r6sultat

d6pendra

^{de la} contribution de chacune d’elles.

- Tous les

phenomenes

r6sonnants obtenus

apr6s

excitation

électronique

^sont

identiques

^{à ceux}

qui

^ont

ete decrits _par excitation

optique

^en lumière recti-

ligne [3].

^{La direction du}

jet joue

^{le même rôle que la}

direction de la

polarisation

excitatrice. La transition observ6e et Ie

procédé

d’excitation n’interviennent que dans la valeur du taux

d’alignement

^dont

depend 1’amplitude

^de 1’ensemble des courbes obtenues.

Quand

^la relaxation dans le niveau r6sonnant n’est

plus uniquement

constituee _par l’émission

spontanee,

des extensions de cette th6orie peuvent

etre

envisag6es

^{en utilisant} les resultats de

1811-

IV.

gvolution

dans

plusieurs

niveaux successifs.

-

A)

^{RAPPELS ET} GENERALITES. ^- Dans des

travaux ant6rieurs

[2]

^{la resonance} d’un niveau de

configuration 3F4

^{a 6t6 observ6e sur} la transition 6

3D3

^{- 6}

3P2

^{du mercure. Cet effet a ete}

interpr6t6

par la transmission de la

polarisation

^{dans une cas-}

cade de désexcitation.

Depuis,

^{divers autres effets}

r6sonnants ont ete mis en evidence sur la meme transition du mercure :

dépolarisation magnétique, precession

^coh6rente par excitation

modul6e,

^batte-

ments lumineux

[9].

Ces effets r6sonnants

apparais-

sent pour des valeurs du

champ magn6tique

^corres-

pondant

^aux conditions de

r6sonance,

^non pas dans le niveau

6 3D3,

^{mais dans un niveau}

superieur

^de

configuration 3F4.

^{Nous donnons ici}

l’interpr6tation

de ces effets de cascade en faisant intervenir la lumiere 6mise en

champ

^nul.

Nous consid6rerons d’abord ^une cascade 4 deux transitions. Les niveaux

superieur,

intermediaire et

final,

^ainsi que leurs moments

cin6tiques,

^{sont d6si-}

gn6s

par

F,

^{D et P}

respectivement,

^{un de leurs}

sous-niveaux etant

designe

^par

f , d,

p. On _supposera

que le

^niveau

supirieur

^{F est} atteint directement _par l’excitation

ilectronique,

^et que D ^est

peuplé unique-

ment par émission

spontanée

^à

partir

^{de F.}

La variation de la matrice densite dans le niveau

D,

^{due a la}

premiere

transition de d6sexci- tation

F --+ D,

^est

[4] :

CP et 6D

representent

^la matrice densite dans les niveaux F et D

respectivement.

^Nous poserons :

aO-D 6tant la matrice d’excitation dans le niveau D.

B)

^CHAMP MAGNETIQUE ^{DE DIRECTION FIXE. -} L’intensité excitatrice

pouvant

^etre

modul6e,

posons :

expression qui

^définit

pif .

Comme nous l’avons vu

précédemment (15),

^la

matrice densite dans Ie niveau F est, ^en

régime

stationnaire

(t»

¹

ff F) :

La matrice d’excitation dans D est obtenue en

reportant (24)

^dans

(23).

Posons :

Un terme de la matrice d’excitation de D peut ainsi

s’6crire,

^{en tenant}

compte

^de 1’evolution dans F :

6oov serait la matrice d’excitation dans

D,

^{a condi-}

tion _que tous les

rF

^{UP soient}

egaux

^a

1,

c’est-a-dire

en dehors de toute evolution dans le niveau F.

(Ceci

^est effectivement realise

quel

que soit

r p quand

^le

champ magn6tique

^{et la}

frequence

^d’exci-

tation sont

nuls.)

La variation totale de la matrice densite dans

D,

due a 1’excitation _par

F,

^a 1’evolution dans le

champ magn6tique,

^{a la}

désexcitation,

^{etant :}

la matrice densite dans D est en

regime

stationnaire

La valeur _moyenne de

l’opérateur Tl,l qui

^{decrit la}

lumiere 6mise sur la transition D - P est donc

(voir eq. (16)) :

OOD

^{est une matrice}

indépendante

^du temps ^et Tr

[pi°D . Tj]

^{se calcule} par l’intermédiaire des for- mules

(10), (11)

^{en fonction des}

grandeurs III

^et

Il

sur la transition D -* P. L’evolution du

systeme

pour ^une cascade a deux niveaux r6sonnants est

decrite _par le

produit

^{de deux termes u de même}

forme,

^au lieu d’un seul dans le cas de 1’excitation directe

(formule (16)) :

^la coherence introduite _par le niveau F dans le niveau D ne peut

s’y

^maintenir

que si ^une condition de resonance

analogue

^{4 celle}

qui

^{est r6alis6e dans le} niveau F est

6galement

^r6ali-

sée dans le niveau

D ;

^{de meme} pour ^une cascade a trois ou quatre ^niveaux r6sonnants

successifs,

^il

y aurait trois ou quatre ^{termes u. Les}

equations

ainsi obtenues sont

explicit6es

enti6rement et les courbes de resonance construites

graphiquement,

dans le cas d’un

champ magn6tique statique, l’exci-

tation etant continue ou modul6e

[1].

C)

^{CHAMP DE} RADIOFREQUENCE, PERPENDICU- LAIRE AU CHAMP STATIQUE. ^- Nous devons d6crire 1’evolution de 1’atome dans le référentiel tournant de

F, puis

^{dans le} référentiel tournant de D

qui

different _par l’orientation du

champ effectif,

que

nous

rep6rerons

par

PF

pour

F, PD

pour D.

Expri-

mons la valeur _moyenne d’un

op6rateur Tq

^{dans le}

niveau D en fonction de la matrice densite dans le référentiel tournant de

D,

^en

proc6dant

^comme

dans

(17) :

Posons :

En tenant compte ^de 1’6volution dans D

(voir eq. (30)) :

^"

Le

probl6me

^{est done de} determiner la valeur

moyenne

^des différents

op6rateurs

^{d6crivant 1’exci-} tation du niveau D dans le referentiel tournant de

D,

en tenant compte ^de 1’evolution dans le niveau F.

aOD)

^et

6eg

^{sont les} matrices d6crivant 1’excitation du

niveau D, exprim6es

^{dans le}

référentiel

^tournant