Forme Trace et Ramification Sauvage

CHRISTINE BACHOC et BOAS EREZ

[Received 8 February 1989]

A B S T R A C T

Let A(K/Q) denote the fractional ideal of a cyclic p-extension K/Q whose square is the inverse different of the extension. Equipped with the trace form, A(K/Q) becomes a Z Gal (^/Q)-hermitian module (A(K/Q), TTK/Q) with discriminant 1. By using results on the Galois module structure of

A(K/Q) and a classification of forms in cyclotomic fields, we show that if p is totally—and hence wildly—ramified in K/Q, then the equivariant isometry class of (A(K/Q), TTK/Q) depends only on the degree of the extension.

0. Introduction

Soit K/Q une extension galoisienne de groupe de Galois G et de degre" fini impair. Dans cet article nous poursuivons l'Stude du ZG-re"seau (AK, TrK/Q)

obtenu en restreignant la forme trace

TTK/Q: KXK^>Q, TTK/Q(x,y) = traceK/Q(xy),

de l'extension K/Q a l'unique ideal AK de K dont le carre est la codifferente D(K/Q)~X. Rappelons que d'une part TidSal AK est le seul ideal rendant la forme

trace unimodulaire (voir § 1.4), et que d'autre part la codiff6rente e"tant stable par l'action de G, AK est un ZG-module.

Soit (ZG, rx) le ZG-reseau ou Tx est la forme sur l'algebre de groupe QG pour

laquelle les elements de G forment une base orthonormale. Dans [6-8] on compare (AK, Tr^o) et (ZG, Tt), et en particulier on se demande quand ils sont

isome'triques.

Par definition une condition necessaire pour l'existence d'une isome'trie e"quivariante (AK, Tr^o) ~ (ZG, 7i) est que le module galoisien AK soit

iso-morphe a ZG. II est montre" dans [6-8] que si G est abelien, alors AK est ZG-libre

si et seulement si l'extension K/Q est peu ramifie'e: une extension abelienne K/Q est dite peu ramifiee si les premiers p de Q qui se ramifient sauvagement dans

K/Q ont un indice de ramification e"gal a p: e(p) =p. II s'avSre que dans le cas

abe"lien l'isomorphisme de ZG-modules entre AK et ZG (sans formes) entraine

l'existence d'une isome'trie e"quivariante. En resume" on a done le

THEOREME 0.1 [6-8]. Soit K/Q une extension abelienne. II existe une isometrie

equivariante entre (AK, TrK/Q) et (ZG, Tx) si et seulement si K/Q est peu ramifiee.

Notre but est de montrer un analogue du Theoreme 0.1 dans une situation ou

K/Q est tr£s sauvagement ramifiee. Plus precisement on va consid6rer des

extensions galoisiennes K/Q telles que:

(0.2) le groupe de Galois G = Gal (K/Q) est un groupe cyclique d'ordre pn, ou p^2 est un nombre premier, et n est un entier naturel, et de plus p se ramifie totalement dans K/Q.

Ce travail a €i€ effectue" lorsque le deuxieme auteur be'ne'ficiait d'une bourse du F.N.R.S. Suisse et de rhospitalite1 de l'U.E.R. de Math6matiques de l'Universite" de Bordeaux 1.

A.M.S. (1980) subject classification: 12A57, 10C02.

Remarquons qu'aucune hypothdse n'est faite sur la ramification des nombres premiers autres que p.

Nous allons montrer le

THEOREME 0.3. Soient K/Q et K'/Q deux extensions galoisiennes verifiant (0.2).

Alors pour toute identification des groupes de Galois Gal (K/Q) et Gal (K'/Q) on a une isometrie equivariante entre (AK, Tr^o) et (AK.,

La demonstration de ce theoreme va suivre d'une description explicite d'un repre*sentant 'abstrait' de la classe d'isometrie equivariante de 04*, Tr*/©). Ainsi par exemple si l'ordre de G est p, l'extension est peu ramifiee et nous allons retrouver le fait que AK possede une base orthonormale, i.e., AK est isometrique

a la forme standard ( 1 , . . . , 1). Plus ge"ne"ralement si n est pair (respectivement impair) alors AK ~ (1) © ®n (respectivement AK ~ ( 1 , . . . , 1) © %) oii % est une

forme unimoduiaire, d6finie positive, paire, de rang pn -1 (respectivement pn —p). Les vecteurs de longueur 2 dans S8n engendrent un systeme de racines Rac(S8n) qui est de rang maximal; nous de"crivons 38n dans la Proposition 6.6 et nous calculons Rac(S8n) dans la Proposition 6.9.

Esquissons la preuve du Theoreme 0.3. Soit M l'ordre maximal de QG. On commence par remarquer que les hypotheses (0.2) permettent de se ramener au calcul de la classe d'isometrie equivariante du plus petit sous-module de K contenant AK qui soit stable par M (voir § 3). Ce module sera note" MAK. II est

essentiel pour cette 6tape de reduction que l'extension soit tres sauvagement ramifiee et qu'un seul premier divise l'indice [MAK: AK\ II s'agit ensuite de

montrer que la classe d'isome'trie equivariante de (MAK, Tr^o) ne depend que

des conditions (0.2). Nous utilisons le fait que MAK est libre sur M (voir [8]), et

nous nous ramenons a l'etude des formes sur M.

On sait, que pour G cyclique d'ordrep", M = Q%=0Z[p% ou Z[p'] est l'anneau

des entiers du corps cyclotomique Q(p') des racines p'-emes de I'unit6. Nous sommes done amends a 6tudier des formes 6quivariantes dans les corps cyclotomiques et au § 4 nous allons classer certaines formes Z[/7']-6quivariantes sur un id£al de Q(p') par un groupe % (voir la Proposition 4.2 et le Corollaire 4.6). A ce stade nous aurons besoin de la description en termes de sommes de Gauss des re'solvantes d'un g6ne"rateur libre de MAK sur M. Cette description

nous permettra de reperer la forme qui nous inte"resse dans le groupe %.

En r6sum6 notre travail aura done consist^—encore une fois^—a d6duire la structure quadratique d'une connaissance precise de la structure galoisienne. Nous disons a la Remarque 5.6 comment on retrouve de la meme manidre les r^sultats de Conner et Perlis sur l'anneau des entiers (voir [4, Chapter IV]). Remarquons aussi que les calculs du § 2 permettent de determiner l'ordre associe" Le paragraphe 1 contient les definitions et les notations ne"cessaires. Le dernier paragraphe contient des exemples.

Apres la redaction de cet article nous nous sommes rendus compte que beaucoup d'id6es que nous utilisons sur le lien entre forme trace et re'solvantes se trouvent de"ja dans l'oeuvre de A. Frohlich et sont a la base de la the"orie de son 'Pfaffien'. Nous invitons le lecteur a consid^rer notre travail comme une introduction k [11] et nos r€sultats comme un type de consequences qu'il serait souhaitable de pouvoir en tirer.

Remerciements. Les auteurs remercient Jacques Martinet et Jacques Queyrut

pour de stimulants entretiens ainsi que Eva Bayer pour les conseils permettant d'6tendre les resultats de [13] a la situation plus generate conside're'e au § 4.

1. Definitions et notations 1.1. Reseaux

Soit G un groupe fini, F un corps de nombres et ZF l'anneau des entiers de F.

On s'interesse aux couples (V, b) ou V est un FG -module de dimension finie sur

F muni d'une forme

b: VxV^F

biline"aire, symetrique et G-equivariante. C'est-a-dire que pour tout x et y dans V et pour tout g dans G,

Toutes les formes conside're'es dans la suite seront non-de"generees, c'est-a-dire d'adjoint injectif.

Un TFG-reseau (R, b) dans (V, b) est un ZFG-module R contenu dans V et tel

que FR = V. Soit R = {R, b) un ZFG-re"seau dans (V, b): —le re"seau dual de R est le ZFG-reseau

R* = {xeFR\ b{x,R)^ZF).

On sait que (/?*)*=/?.

—R est dit entier si R c R*, ou de facpn equivalente, si pour tout x et y dans R,

b(x,y) appartient a ZF;

—si R est entier on d6finit le discriminant de R comme etant l'indice disc(K) :=[R*:R),

c'est un entier positif si F = Q. —R est unimodulaire si R = R*. Soit maintenant F = <Q>:

—le re"seau entier R est pair si pour tout x dans R Tender b(x, x) est pair; —R est indecomposable s'il Test en tant que ZG-module.

La forme b est definie positive s'il existe une isome'trie de'finie sur le corps des re*elsM entre b et la forme standard ( 1 , . . . , 1).

Deux ZG-re"seaux R dans {V, b) et R' dans ( V , b') sont ZG-isometriques s'il existe un isomorphisme de ZG-modules # : R—>R' tel que b(x,y) =

b'(<]>(x), <l>(y)). On notera R~R' et on parlera aussi d' isometrie equivariante.

Nous notons par 0 une somme orthogonale. 1.2. Corps de nombres

Soit K/F une extension de corps de nombres. Pour un id6al premier P de K on note vP(J) la valuation en P de l'ide"al / . A u s s i D(K/F) est la differente de

entiers ZK pour la forme trace

TrK/F: KXK^F, TrK/F(x,y): = trace K/F(xy).

Dans le cas ou K/F est une extension galoisienne de groupe de Galois G la forme trace est G-equivariante et tout ideal stable sous l'action de G est un ZFG-reseau. 1.3. Rappels sur Valgebre QG pour G cyclique d'ordre pn

Dans toute la suite p =£ 2 est un nombre premier. Soit G un groupe cyclique d'ordre \G\ =pn. On filtre G par la famille de sous-groupes H( ou Ht est d'ordre

Considerons les deux families d'idempotents £ = {£,} et e = {et}

definies par

Hi

«, = £,-£,-_! (l«siss/i).

On verifie ais6ment les propri6tes suivantes: (a) E] = £( et si / < i alors £,£, = £,;

(b) e est l'unique famille d'indempotents (centraux) orthogonaux de l'algebre

decomposition en algebres simples de QG:

QG = 0 Q G e , , (1.1) Notons par Q(p') le corps cyclotomique des racines p'-emes de l'unite et par

Z[p'] son anneau d'entiers. G agit sur Q(p') via multiplication par une racine de

l'unite d'ordre p'. Ceci donne des isomorphismes de G-modules

et ZGe, = Z[p'] (1.2) induits par revaluation d'un caractere irreductible Xt de QG.

L'ordre maximal de QG est

M = (BZGe,. (1.3) i

A la decomposition (1.3) correspond la decomposition suivante du groupe des

classes localement libres de M en termes des groupes de classes d'ideaux des corps Q(p'):

(1.4)

EXEMPLE 1.5. Considerons les formes suivantes.

(a) V = QG muni de la forme b = Ts definie comme suit: pour z = Ec z(g)g

dans QG, soit

et p

(z):=z(l),

Remarquons que

= traceQG/Q(z). (1.6) (b) V = Q(p') muni de la forme

b(x, y) = tri0(ox, y) := traceQ(/,.)/Q(a*y),

ou " d6note la conjugaison complexe et o dans Q(p') est tel que 0=0.

Avec ces notations on voit que la decomposition (1.1) est orthogonale pour 7^ et que—grace a (1.6)—les isomorphismes (1.2) sont des isome'tries:

,

|G|

y)

1.4. Les reseaux A%, AK et MAK

Soit K/Q une extension galoisienne de groupe G. Pour la forme trace TTK/tQ le

dual d'un ideal / de K est I'id6al

J*=J-1D(K/Q)-\ (1.7)

On voit que, si le degre" de l'extension K/Q est impair, alors il existe un unique ide"al AK =A(K/Q) dans K avec A2K = D(A^/Q)~1: utiliser par exemple la formule

donnant la valuation de la differente D(K/Q) en termes des groupes de ramification

vP(D(K/Q)) = 2 (|G0\ P)\ - 1) (1.8)

(voir [14, IV.1, Proposition 4]). II est clair par (1.7) que AK est un ZG-reseau

unimodulaire.

Comme annonce", le but de cet article est de de"crire la classe de ZG-isome'trie du ZG-re"seau (AK, TTK/Q) dans le cas ou l'extension satisfait aux conditions (0.2)

de l'introduction. On suppose desormais que K/Q est une telle extension. D'apres [6-8], dans cette situation AK n'est meme pas ZG-projectif (sauf si n = 1), c'est pourquoi on essaye d'abord de d6crire la structure de AK sur l'ordre

maximal M.

DEFINITION 1.6. On note MAK le plus petit J(-module contenant AK qui soit

contenu dans K et on note Af le plus grand ^-module contenu dans AK\

Les ^-modules MAK et A% sont des ZG-r6seaux pour la forme trace; nous allons

voir au § 3 qu'ils sont une bonne approximation de (AK, Tr^/o). En effet de

maniere g6nerale on peut montrer que [AK: A%\ et [MAK: AK] sont des

puissances de p qui diminuent quand l'indice de ramification de p dans K augmente.

2. Proprietes des ZG-reseawc MAK et Af

Ce paragraphe decrit les reseaux MAK et A% definis plus haut. En particulier

nous donnons ici leur decomposition en somme de ZG-reseaux ind^composables et nous faisons le calcul de leur discriminant.

(2) A la decomposition (1.3) de Vordre maximal correspond la decomposition

A$ = Roe...®Rn, (2.2)

ou pour O^i^n, R( := e^Ajf) est un ZG-reseau indecomposable. Aussi MAK = RQ (B ... © Rn.

(3) Les reseaux /?, sont aussi decrits par

Rt = AKne,(K), R* = ei(AK).

(4) Pour OsSi'sSn, R( est un ZG-reseau entier, de rang sur Z egal a:

gp(p')=p'~1(p - 1 ) . Le polynome caracteristique de Vendomorphisme de QRt donne par un generateur de G est egal au p'-eme polynome cyclotomique (j>p>(x).

(5) Pour 1 ^ i «s n, Rt est pair.

Demonstration. (1) II suffit de remarquer que (MAK)* est aussi un ^-module

et que (MAK)* ^A% = AK\ il s'ensuit que (MAK)*CAK d'ou (Af)* <=. MAK\ la

propriete" de minimalite de MAK permet de conclure.

(2) De (1.3) on tire la decomposition en modules

II suffit de montrer que les R( := e,(i4^) sont deux a deux orthogonaux: ceci suit

du fait que pour ; # i, TTK/Q (e,(x), e^y)) = TTK/Q (e.-e,(jc), y) = 0 car etej = 0.

(3) II est clair que RtcAKn et{K) et par (2.2) il suffit de montrer que chaque AK n et(K) est un ^-module: soit xt dans AK n et{K) et soit m = Ey aft dans M (avec aj dans ZG)\ alors mxi = aixi, d'ou le resultat car ^4^ est ZG-stable. Pour Rf on procede de fa§on analogue ou bien on utilise le Lemme 2.4 ci-dessous.

(4) Via les isomorphismes (1.2) on peut conside"rer R( et Rf comme des

sous-Z[p']-modules sans torsion dans le Q(/?')-espace vectoriel et(K). Aussi et(K) = QRt d'ou rangz(/?,) = dimQ et(K) = q>(pl). Si g est un g£n6rateur de G,

alors comme QGet = Q(p') on a 4>p<(Eei)= 0- Mais 0 = 0p.(ge,) = <t>pi{g)et car e, est

un id6mpotent, d'ou e,(JQ = ker(0p.(g)). Comme le degr6 de <f>pi(x) est 6gal a <p{p'), <t>P'(x) est bien le polynome caracteristique de g sur Q/?, = e((K).

(5) Le fait que R{ est pair pour / ^ 1 est une propri^te g^nerale des rgseaux

ay ant un automorphisme de polynome caracteristique <f>pi(x) et d£coule par

exemple du Lemme 1-4 de [1].

Nous calculons maintenant le discriminant de A%, en calculant les discrimants des Rj. Nous allons voir qu'ils ne dependent que de la ramification sauvage dans

K/Q.

Pour le calcul nous introduisons des ZG-r6seaux auxiliaires 7J definis par:

Ti = AKnei{K) (O^i^n).

Soit Ki le sous-corps de K fixe par H(. Done [K( :Q]=p', e((K) = K( et aussi

Notons Trl>y la forme trace dans l'extension KJKj, ainsi Trn>0 = TrK/Q.

Attention: sauf mention explicite du contraire, la forme sur 7] est toujours TTK/Q et non pas

Trl0-PROPOSITION 2.3. (1) Pour 0 =* / *£ n, Tt est un ZG-reseau de rangp1.

(2) Comme £, = e0 + ... + e, on a les inclusions

(3) Le dual de Tt pour TxKiQ est

si n = i mod 2, (4) disc(7;) = ip sinon

r

(5) rn_2 e^f unimodulaire pour Trrt 0 d'aprds (4). La multiplication par p donne une isometrie equivariante entre (Tn_2, Trn0) et (A(Kn_2IQ), Trn_2 0).

Demonstration. (1) et (2) sont clairs. Pour montrer (3) nous allons appliquer le

lemme suivant a R = AK et / = £,.

LEMME 2.4. 5oi7 /? un reseau dans un Q-espace vectoriel V muni d'une forme b

et soit f un endomorphisme de V. On definit le transpose '/ de f en imposant

pour tout x et y de V. Alors f(R) est un reseau dans Im(/) de dual

Demonstration du Lemme 2.4. Elle suit des equivalences

x ef(R)* <^> x G Im(/) et b(x, f(R)) c Z,

b(x,f(R))^Z O bCf(x),R)czZ & xeCf)-

(R)*.

La Proposition 2.3(3) suit du lemme car

(AK)*=AK et '£, = £,,

d'ou (ei(AK))* = (er1(AK))nei(K) = AKnei(K) = Ti car pour JC dans £t(K), £t(x) = x.

(4) Par definition:

disc(7;) = [Tf : 7J] = [ 1 / p -1 T r , , . ^ ^ ) : >l^ n /C(]

' T r ^ ) ) ) ( * j ou A^o est la norme dans /C,/Q.

Rappelons le lemme suivant (voir [16, p. 155]).

LEMME 2.6. Soit J un ideal fractionnaire dans une extension galoisienne K/F,

qui soit stable sous Vaction de Ga\(K/F). Alors

(b) si P est un premier divisant p dans K et 6 = vp(D(K/F)), alors vp(TtK/F(J)) = [(d+s)/e]

et

vp(JnF) = l + [(s-l)/e],

ou [x] denote le plus grand entier plus petit ou egal a x.

REMARQUE 2.7. Dans ce lemme l'hypothese que / est stable par Ga\(K/F) est essentielle.

Calculons la valuation de la diff6rente dans notre situation (0.2).

LEMME 2.8. Soit Kn/Q une extension sujette aux conditions (0.2) et soit Kt le sous-corps de Kn tel que [K(: Q] —p'. Pour O^i^n, notons: P(i) Vunique ideal premier de Kt au-dessus de p, et <5, (respectivement 61>y) la valuation en P(i) de la

differente de KJQ (respectivement KJKj). Alors

(1) di = (i + l)pi-2-(pi-p)/(p-l),

(2) diJ = 6i-pi-jdj.

Le lemme suit d'un calcul standard utilisant la formule (1.8) et de la propri6te" de transitivite de la differente.

Valuation en q^p de disc(7)). Tout premier q =frp se ramifie moderement dans K = Kn/Q, done la valuation d de la differente D(K/Q) en ip(q) est d = e-l

(voir Lemme 2.6 pour les notations). D'ou il suit—par definition de AK—que la

valuation de AK en tp(q) est — \(e ~ 1)- Du Lemme 2.6, on tire alors pour Q

au-dessus de q:

Par consequent q =£p ne divise pas disc(7]).

Valuation en p de disc(7J). D'apres (2.5), et comme p se ramifie totalement

dans K/Q, on a

up(disc(7;)) =p\n - i) + vP(i)(AK n Kt) - vPii)(Tin>i(AK)).

Par le Lemme 2.8, Sni= dn — pn~'di. Par definition vPiny(AK) = — 2<5n et l'indice

de ramification de P(i) dans K/K( est eni = pn~l. Done le Lemme 2.6 entraine

que

up(disc(7;)) =pi(n - i) + 6, - 2[dJ2p"-i] (2.9)

et de l'expression pour dn du Lemme 2.8 on obtient alors

i((n + l)p' - (p1 -p)l(p - 1)) - 1 si n = i mod 2,

U

1 P J U((» + 1)P' (/>' 1)/(P " 1)) " 1 sinon. En remplacant dans (2.9) on obtient le resultat voulu.

Calcul de disc(/?,). On a vu a la Proposition 2.3(2) que

done disc(7;_1)disc(/?l) = [7]: T^x 0 #,]2disc(7;) et il suffit de montrer

car alors disc(/?,) = disc(7])disc(7^_1)=p. Pour i = 0 o n a ef l = £0 done Ro=To.

Pour i 2s 1 montrons

Soit / l'application de 7] dans Tf^jT^i, telle que f(x) = £,(JC) mod Tt-X. Alors /

est surjective car: si Tt est unimodulaire alors e,_!(7)) est le dual de T,ID e,_i(/iC) =AKnKi_l = Ti_.l et si 7J#Tf alors Ti_1 = r?_1. Calculons le

noyau de / : pour x dans Ti} comme x = £,(*) = £,_i(x) + £,(x), on a les

Equivalences

Ainsi (2.10) est demontre\

(5) Tn_2 est unimodulaire pour Trn>0 par le point (4), done pTn_2 est

unimodulaire pour Trn_2>0 car si x est dans Kn_2 alors Trn>0(*) =p2Trn_2>0(x).

Comme pTn-2 est un ideal, il est egal a A(Kn_2/Q).

Ceci acheve la demonstration de la Proposition 2.3.

REMARQUE 2.11. Les Rt ont un discriminant minimal, dans le sens ou un reseau

quelconque ayant les proprietes de R( enoncees a la Proposition 2.1(4) a pour

discriminant un multiple de p (voir § 4, Remarque 4.5). En particulier pour i 2= 1 les R( ne pouvaient pas etre unimodulaires.

3. Reduction a la determination des reseaux R( et Rf

On garde les notations precedentes; en particulier K/Q satisfait aux conditions (0.2), Kf est l'unique sous-corps de K = Kn de degre p' sur <Q> et Trl(/ denote la

trace dans Ki/Kj. Les reseaux R{ et Rf ont ete definis au paragraphe precedent

(voir Proposition 2.1).

THEOREME 3.1. Si n ^2 on a une ZG-isometrie

(AK, TTK/Q) ~ (A(Kn.2/Q), Trn_2>0) 0 (Bn, TTK/Q)

ou (Bn,TrK/Q) est un ZG-reseau unimodulaire de rang pn—pn~2. On pose Bx = A(KJQ). Alors pour tout n^l,

et la classe d'isometrie equivariante de Bn est determinee par celles de /?„_! et Rn.

A la Proposition 6.6 nous donnerons une decomposition de AK en termes des

reseaux Bt.

II est clair que, par recurrence sur n, le Theoreme 0.3 suit du Theoreme 3.1 une fois que Ton aura montre"—au § 5—que la classe d'isometrie des /?, et Rf ne depend que des conditions (0.2).

Demonstration. Nous savons par la Proposition 2.3 que pour tout n le

ZG-reseau (Tn_2, TTK/Q) est unimodulaire: rappelons que Tn_2: = AK DKn_2.

D'apres un lemme connu [12, 1.3.1] l'inclusion Tn^.2c.AK donne la

decomposition en ZG-reseaux

ou Bn est le complement orthogonal de Tn_2 dans AK form^ des elements x de AK

tels que TrK/Q(xTn-2) = 0. La Proposition 2.3(5) donne l'isome'trie (Tn.2, TTK/Q) ~ (A(Kn_2/Q), Trrt_2(0)

et il ne nous reste qu'a montrer que Bn a les proprie'te's voulues.

Remarquons que Bn est unimodulaire puisque AK et Tn-2 le sont. Comme

/?„_!©/?„ est inclus dans l'orthogonal de Kn_2 (pour TTK/Q) on a bien

/?„_!©/?„ c.Bn = B* c /?*_!©/?*. (3.2)

Montrons qu'a ZG-isometrie pres il y a un seul reseau Bn v6rifiant ces inclusions.

Pour tout i ^ l , disc(i?,)=p done /?,*//?, = Fp. La forme Tr^/Q induit sur ce quotient une forme non-nulle que nous noterons

b

: R*lRi xR*/R

-*(l/p)Z/Zcz®/Z.

Les r6seaux B unimodulaires verifiant les inclusions (3.2) correspondent bijec-tivement aux droites isotropes du quotient (fl^-i © Rn)/(Rn~i © Rn) = Fp © Fp

muni de la forme b = bn_x © bn.

LEMME 3.3. Fp © Fp muni de b posshde exactement deux droites isotropes. Les

reseaux B et B' correspondants sont ZG-isometriques.

Demonstration du lemme. (Voir aussi [9].) Soit xoi^0 dans Fp © {0} et yoi=0

dans {0}©Fp. Comme ^ ( ^ ^ O , une droite isotrope contient force" ment un vecteur de la forme x0 + ky0 avec k dans Fp\{0} et tel que

Ceci donne deux choix opposes pour k, d'ou deux droites. (On a au moins une solution car Bn existe!). La ZG-isom^trie de /?*_i©R* qui envoye (x, y) sur (x, —y) passe au quotient et echange les deux droites isotropes, done aussi les

deux r6seaux B et B' correspondants.

4. Classification de formes sur les corps cyclotomiques Q(p')

Notations du paragraphe. Dans ce paragraphe on fixe l'entier i 5* 1 et on pose

k = Q(p% k

= Q(p

)nU,

H'. groupe des ratines/?'-&mes de I'unit6 dans k,

£: un g^n^rateur de ju, ": conjugaison complexe,

p = &§> n k+ = pzk+, m{i) = - hip'-1 +1),

Remarquons que 5 est un g^nerateur totalement positif de la differente de l'extension k+/Q [17, chapitre 2].

Rappelons que nous cherchons maintenant a determiner la classe de ZG-isom6trie de /?, (pour tout / ^ 1). Le choix d'une racine de l'unite d'ordre p' permet de voir /?, comme un Z^-module (Proposition 2.1(4)). Etant de rang 1 sur

Zk, Ri est isomorphe a un ideal de k qui—par cet isomorphisme—est muni d'une

forme satisfaisant les proprie'te's suivantes: cette forme est

entiere,

invariante sous Faction de n,

(4.1)

definie positive, de discriminant p

(voir Propositions 2.1 et 2.3). Nous allons decrire les formes ay ant ces propri6te"s. On appellera Z^-re'seau un Zfc-module muni d'une forme invariante sous ju.

PROPOSITION 4.2. (1) A une forme bilineaire symetrique b: k x fc—• Q invariante

par n on associe un unique a dans k+ tel que b(x,y) = tr(axy). On pose a = ad.

(2) b est definie positive si et seulement si a est totalement positif, i.e. tous les

conjugues de a sont positifs.

(3) On note (J, a) le Zk-reseau obtenu en munissant Videal J de k de la forme b(x, y) = tr(axy) avec a = ad.

Alors (/, a) est entier de discriminant p si et seulement si aJJ = Zk.

(4) Les reseaux (J, a) et (/', a') sont Zk-isometriques si et seulement si il existe A dans k avec J' = kJ et a = AAa'.

Demonstration. (Voir aussi [13] et [9].) (1) Pour tout y dans k l'application qui

a x associe b(x, y) est une forme Q-lin6aire done, comme la forme trace tr est non-de'gene're'e, il existe un unique h(y) tel que pour tout x et y dans k,

b(x,y) = tv(xh(y)).

Comme b est invariante par JU et que les puissances de £ forment une Q-base pour A: on a pour tout y' dans k,

b{y'x,y) = b{x,y'y)

et done pour tout y et y' dans k, y'h(y) = h(y'y). Soit a := /i(l); alors a = a est bien dans k+ par symetrie de b et on a le resultat voulu.

(2) De fac,on ge'ne'rale la signature de la forme tr(axy) est egale a Card{aeGal(A:/Q)| o(a) > 0} - C a r d { o e Gal(A:/Q) | a(or)<0}. (3) Calculons le dual de (J, a):

xeJ* <=> t r ( o x / ) c Z <=> x e (aJD(k/Q))-\

Done

/* = (alDik/Q))-1 = (a(l - C)/)"1 (4.3)

par la transitivity de la diffe"rente, la definition de 6 et le fait que D(k/k+) =

Le r^seau (/, a) est entier si et seulement si / c / * , ce qui €quivaut par (4.3) a fl//c(l- £,)~x2.k\ mais comme P = P et aek+, la valuation en P de aJJ est

paire et

Si (/, a) est entier,

disc(/) = Nk/Q(J)Nk/Q(aJ)Nk/Q(l - £

Done le discriminant de (/, a) est p si et seulement si a~lJ~l = J, e'est-a-dire aJl = Z*.

(4) Une Z^-isometrie entre (/, a) et (/', a') est d'abord un isomorphisme de Z/t-modules, done une homothe'tie de rapport un A dans k. Ceci impose J' = U. Ecrivons que cette homothe'tie est une isome'trie: pour tout x, y dans / et avec

a = ad et a' = pd,

soit a 'AA = a.

REMARQUE 4.5. L'6galite (4.4) montre que le discriminant de (/, a) est necessairement un multiple de p.

La proposition pr6c€dente permet de d6crire l'ensemble Q(J) des classes de Zfc-isom6trie de Zk-formes sur un id6al / fix6 ayant les propri6t€s (4.1).

Soit Cl(fc) le groupe des classes d'ideaux de k et Cl(A:+)+ le groupe des classes d'ide*aux au sens restreint de k+. Soit ^V+ le noyau de la norme de Cl(^) dans C\(k+)+. Alors N+ est le sous-groupe de C\(k) forme des classes d'ideaux [/]

telles que / / soit principal et engendre par un e'le'ment totalement positif.

Soit E++ le groupe des unite's totalement positives de k+ et soit E** le groupe

des normes d'unite"s de k, qui est aussi le groupe des carres d'unites de k+: E**

est inclus dans E++ et nous posons

% = E++/E**.

COROLLAIRE 4.6. Soit fixe un ideal J de k dont la classe [J] appartient a N+. Soit a un element totalement positif de k+ tel que

aJl = Zk.

Uapplication qui a (J', a') associe a'a~l est une bijection de Vensemble Q(J) sur le groupe %.

COROLLAIRE 4.7. Le nombre de classes de Zk-isometrie de Zk-reseaux entiers de rang 1, de discriminant p, et definis positifs est

c = Card(N+)[E++:E**].

REMARQUE 4.8. Jacques Martinet a observe que le nombre c du Corollaire 4.7 est 6gal au quotient du nombre de classes de k par le nombre de classes de k+.

5. Structure galoisienne et forme trace

THEOREME 5.1. Soit K/Q une extension galoisienne soumise au seules conditions (0.2). Alors pour i 5= 1, (/?,., TTK/Q) est ZG-isometrique a (Z[p% 1).

Pour la demonstration de ce th6oreme nous allons utiliser deux resultats de*montres dans [8]. Le premier est que pour une extension K/Q satisfaisant (0.2), MAK est libre en tant que ./^-module. Le deuxieme est le calcul des

valuations de certaines resolvantes liees a AK.

REMARQUE 5.2. [8] traite de la structure de MAK en toute gen6ralit6 avec

comme seule condition la projectivite de AK en tant que ZG-module. Bien que AK ne soit pas projectif ici, on peut neanmoins appliquer les resultats de [8], car

dans la situation qui est la notre, la classe de MAK dans C\(M) ne depend que de

la ramification mode'ree: en effet les ideaux au-dessus de p dans les corps cyclotomiques Q(p') sont principaux (regarder (1.4)).

Par ce qui vient d'etre dit, il existe a dans MAK tel que MAK = Ma. En

etendant a K on obtient K = QGa et cette 6galite donne l'isomorphisme

<p: K = QGa = QG, (p(ka) = L

Si K est muni de la forme TTK/Q, on transforme <p en isom^trie en mettant sur QG

la forme

Ts(a): QG x QG ^ Q, Ts(a)(x, y) = prM^xy)

ou les notations sont celles de l'Exemple 1.5 et s(a) est l'^lement de QG d6fini par

G

D'apres l'Exemple 1.5 et avec les notations du § 4 on obtient la

PROPOSITION 5.3. Soit tp = 0 , X i l'isomorphisme entre QG et 0 , Q(p') de (1.2).

Alors pour tout i s* 1 la restriction de xj> ° cp a Rf est une ZG-isometrie de (Rf, TTK/Q) sur (Z[pl], Oi IGI"1^,) ou oi = Xi(s(a)). En dualisant on obtient que

(/?,, Tr^/Q) est isometrique a {Z[p% 1

En effet par la Proposition 2.1(3), Rf = e^A^) = ZGe^a), done V ° <p(R*) = \l>(ZGet) = Z[p% Pour calculer le dual de (Z[p% o~x \G\ /3,"1) utiliser (4.3) et le

fait que s(a) = s(a).

Pour demontrer le TMoreme 5.1 il suffit done de verifier, d'apres le Corollaire 4.6, que l'e"lement Et = IGKa,^,)"1 est trivial dans le groupe %, e'est-a-dire que Eit qui est une unite de kf, est la norme d'une unit6 de kt.

Nous allons d^crire Pelement a, en termes de resolvantes. Soit % un caractere de G e t

la resolvante de a par rapport a x-LEMME 5.4. Dans Q(p') on a Vegalite

Oi = (a | Xi)(a |

Xt)-Remarquons que (a \ xd(a \ xd e s t u n element de kit et meme de kt, alors que {a | xd lui est dans Kkt.

Le lemme de*coule de l'e*galite* suivante en appliquant

Xi-2 Ka)g(a)gh-

= 2 g(a)gk-\a)k

= 2Ti

Ensuite nous utilisons les re*sultats de [8] qui entralnent que

est dans kt et engendre une puissance de l'idlal (1 - £,)Z[p']. Ici r(x) est la somme de Gauss associe*e a la partie mode're'e du caractere % et x2 est le caractere de valeurs x2(g) '•= x(g2)- O*1 sai* qu e si o n Po s e

fix) = T(X)*(X) Oe conducteur)

alors, comme \G\ est impair, x2 est conjugu6 de x et on a/(#2) =f(x)> done

On en d6duit qu'il existe «, dans Ek. et n(i) un entier relatif tels que

| ( 0

En revenant a Eh

mais E( est une unit^ done

i(n - i)(p

-p'"

) + hip

-

- 1) - n{i) = 0

et

E, = {pFP)n-1 modulo N(Ekl)

ou r(i)= - ^ ( p ' - p1"1) . II reste a verifier que B: = pfi*° est dans N(Ek.). Mais 1

) done 5 = riCT oifi^Pr1, ou a parcourt Gal(fc;7Q). Si on note encore

o un prolongement

^A)^-

= [(1 - a(£,))(l - CnKl-a^OXl-C,)-

].

Done £, = 1 modulo N(Ek.) et (5.1) est de*montr6.

REMARQUE 5.5. Le resultat de (5.1) est independant du choix initial des caractdres Xu ce qui prouve bien que les r£seaux AK de deux extensions ve"rifiant

(0.2) sont ZG-isom6triques, pour toute identification de leurs groupes de Galois. REMARQUE 5.6. Avec les me"thodes de ce paragraphe et les resultats de [10] on peut retrouver—de fac,on plus directe mais 6quivalente—le fait que dans une extension cyclique K/Q de degr6 premier p =£ 2 le discriminant de l'extension classe le re"seau (ZK, TTKfQ) a isome'trie ^quivariante pres (voir [4, Chapter IV]).

Ceci sans hypothdse de ramification. Au lieu des resultats de [8] on utilise le The'oreme 7 de [10] qui exprime le produit (a | x)(a \ x) des re"solvantes associ6es a ZK en termes du conducteur de

x-6. Description explicite de AK: systemes de racines

Notations du paragraphe. Pour chaque i on reprend les notations du § 4. Si j ^ i

on pose

La forme tr,f0( 6r1*y) sur (Z[p'], 1) sera note*e bt{x, y).

6.1. Proprietes de (Z[/?'], 1) pour i 2* 1

Pour tout entier <? 3s 1 il existe un unique reseau entier d6fini positif (A,, b) de rang q, de discriminant q +1 et ay ant une base formee de racines, i.e. de vecteurs x avec b(x, x) = 2. Soit {e,} la base canonique de Uq+l. On peut voir

A^ plonge* dans l'espace eudidien Uq+1 muni de la forme standard ( 1 , . . . , 1); une

base de /\q est donne'e par les q vecteurs

ai = ei+x-ei (l^i^q). (6.1)

On de'finit le systdme de racines d'un re"seau entier (pair, defini positif) (R, b) comme e"tant le sous-re*seau engendre" par ses vecteurs x avec b{x, x) = 2. On le note Rac(/?, b). Rappelons le theoreme de structure suivant.

PROPOSITION 6.2 (Witt) [3, chapitre VI, No. 4.2]. Un reseau entier, defini positif

(R, b) qui est engendre par des vecteurs et avec b(eh e,) = 2 est une somme orthogonale de systemes de racines

A9, Bq, E6, E7, E8.

Les indices indiquent les rangs respectifs et les discriminants sont

disc(A9) = q + 1, disc(E6) = 3, disc(E8) = 1, disc(D9) = 4, disc(E7) = 2.

Dans la suite, seule la famille des A9 interviendra directement (cependant il y a une exception pour p = 3). Nous renvoyons a [5, Chapter 4] pour les definitions des autres systemes de racines irreductibles ainsi que pour une discussion des proprie'te's de ces re"seaux.

PROPOSITION 6.3. (i = 1) (Z[p], 1) est isometrique a A p . , .

Demonstration. Un calcul facile montre que dans la base {1, £,,..., £?~2} la matrice de la forme bx est bien celle donn^e par la base (6.1) avec q =p — 1.

PROPOSITION 6.4. Pour 0 <j < i, (Z[p'], 1) contient la somme orthogonale de pl~' copies de (Z[py], 1).

Demonstration. On definit une unite M/; de Z[p'] par

a,-(1-6X1-&)-'"'.

est une isom6trie de (Z[pj], b,) sur un sous reseau Z; de (Z[p'], bt). La somme

orthogonale des p'~J translates differents de Z7 par l'iteration de la multiplication

NOTATION. On designe par n(R) la somme orthogonale de n copies du reseau R. PROPOSITION 6.5. Pour p ¥=3 etpour i 2s 1, ainsi que pour p = 3 et i = l:

Rac(Z[3'],l) = (3'-2)(E6).

Demonstration. Par la Proposition 6.2 on sait que Rac = Rac(Z[p'], 1) est une

somme orthogonale de reseaux A,, O9, E6, E7 ou E8. Comme Z[p'] est indecomposable en tant que Z[p']-module il ne peut apparaitre dans cette somme qu'un seul type de reseau. Les Propositions 6.3 et 6.4 prouvent que

( p ' - ^ V O s Rac <=(Z[p'],l),

done Rac est de rang p ' — p ' "1 et de discriminant une puissance de p. En vue des propriete's des reseaux de la Proposition 6.2, il suit facilement que pour p =£ 3 la seule possibility est bien Rac = (p'~1)(Ap_1). Cette analyse donne par contre deux possibilit6s si p = 3 et i s* 2: (3'"1)(A2) et (3'"2)(E6). Mais la Proposition 6.4 appliquee avec / = 2 montre que

Or (Z[9], 1) est un reseau pair de rang 6, discriminant 3 et defini positif; le seul reseau ayant ces propriete's est E6 (voir [5, Table 15-9]). Ceci termine la demonstration.

6.2. Decomposition de A K

Soit K/Q une extension soumise aux seules conditions (0.2). PROPOSITION 6.6. Suivant la parite de n, on a les ZG-isometries

AK~(1)(BB2@B4(B...® Bn, sin est pair ou

AK~ Bx® fl3 0 ... 0 Bn, si n est impair.

Id, pour i 2s 2, Bt = Bt(p) est Vunique reseau unimodulaire contenant un sous-reseau dHndice p ZG-isometrique a

et pour i = l,

* i ~ < l , . . . , l > . (6.7)

Demonstration. Elle d^coule des Th^oremes 3.1 et 5.1. Pour (6.7) remarquons

que nous savons par (3.1) que R0(BRicBlf e'est-a-dire ( p ) 0 Ap_1c B1 (d'apres (6.3)), de plus le Lemme 3.3 montre que ceci caracterise Bx a isometrie

prds. L'isometrie (6.7) suit alors du fait que Ap_x peut etre construit comme le complement orthogonal d'un vecteur de longueur p dans Zp muni de la forme standard ( 1 , . . . , 1) (voir [5, Chapter 4.6]).

REMARQUE 6.8. L'isom6trie (6.7) donne une autre demonstration du fait que, si K/Q est cyclique de degre p, alors (AK, TTK/Q) est ZG-isometrique a (ZG, Tx)

PROPOSITION 6 Leur systeme de .9. Pour *2* racines est: (p'~2 E8 2 les + P'~ + P'~2\/rr

sont des ZG-reseaux ^p-i) pourp i6) pourp pourp = 3ef/^ = 3ef/ = Z-= 3, = 2.

Demonstration. Le QG-module QBt est isomorphe a Q(p'~x) 0 Q ( p ' ) done la

seule decomposition non-triviale de Bt en somme de ZG-reseaux aurait la forme Bi = M(BN ou M (respectivement N) serait un Z[pl - 1] (respectivement Z[p'])-. r6seau. On a remarque" au point (4.5) que de tels r£seaux ont pour discriminant un multiple de p\ done une telle decomposition contredirait le fait que B{ est

unimodulaire. Done, si B{ est Z-decomposable, la seule possibility est qu'il soit

isotypique, i.e. Bt = (pu)L pour un certain re"seau L et u ^ i — 2. Dans cette

decomposition les copies de L sont permutees circulairement sous l'action d'un g€n6rateur g de G. Elles sont toutefois stables par e, car e, est un polynome en

gp'~\ done en gp". On en tire que Ri = ei(Bi) = ei(Lyu et disc(/?,)=p implique pu = 1. Un raisonnement analogue a celui de la Proposition 6.5 donne le systeme

de racines.

6.3. Exemples numeriques

Les reseaux pairs unimodulaires de rang inferieur ou 6gal a 24 sont tous connus par un travail de Niemeier [5, Chapter 16]; ils ont tous pour rang un multiple de 8. En dimension 8 le seul est E8. Done avec les notations de la Proposition 6.6:

B2(3) = E8. En dimension 24 il y a 24 reseaux qui sont caracterises par leur

systeme de racines:

B2(5) a un systeme de racines de type (6)A4, B3(3) a un systeme de racines de type (4)E6.

II se peut, qu'en general (pour tout p) B2 puisse etre caracterise comme le seul

re*seau 'invariant' de l'algebre de Lie si (2, C) qui soit unimodulaire indecomposable et qui a un systeme de racines non-vide (voir [2]).

Bibliographie

1. E. BAYER-FLUCKIGER, 'Definite unimodular lattices having an automorphism of given charac-teristic polynomial', Comment. Math. Helv. 59 (1984) 509-538.

2. A. I. BONDAL et al., 'Invariant lattices, the Leech lattice and its even unimodular analogues in the Lie algebras Ap_{, Math. USSR Sbornik 58 (1987) no. 2, 435-465.

3. N. BOURBAKI, Groupes et algebres de Lie (Hermann, Paris, 1968), chapitres 4-6.

4. P. E. CONNER and R. PERLIS, A survey of trace forms in algebraic number fields (World Scientific, Singapore, 1984).

5. J. H. CONWAY and N. J. A. SLOANE, Sphere packings, lattices and groups (Springer, New York, 1988).

6. B. EREZ, 'Structure galoisienne et forme trace dans les corps de nombres', These, University de Geneve, 1987.

7. B. EREZ, 'The Galois structure of the trace form in extensions of odd prime degree', /. Algebra 118 (1988) 438-446.

8. B. EREZ, 'The Galois structure of the square root of the inverse different', en preparation. 9. W. FEIT, 'On integral representations of finite groups', Proc. London Math. Soc. (3) 29 (1974)

633-683.

10. A. FROHLICH, Galois module structure of algebraic integers, Ergebnisse der Mathematik (3)1 (Springer, Heidelberg, 1983).

11. A. FROHLICH, Classgroups and Hermitian modules, Progress in Mathematics 48 (Birkhauser, Boston, 1984).

12. J. MILNOR and D. HUSEMOLLER, Symmetric bilinear forms, Ergebnisse der Mathematik 73 (Springer, Heidelberg, 1973).

13. H.-G. QUEBBEMANN, 'Zur Klassifikation unimodularer Gitter mit Isometrie von Primzah-lordnung', /. reine angew. Math. 326 (1981) 158-170.

14. J.-P. SERRE, Corps locaux, 3eme Edition (Hermann, Paris, 1968).

15. N. STOLZFUS, 'Unraveling the integral knot concordance group', Mem. Amer. Math. Soc. 12, 192 (1977) 1-91.

16. S. ULLOM, 'Normal bases in Galois extensions of number fields', Nagoya Math. J. 34 (1969) 153-167.

17. L. C. WASHINGTON, Introduction to cyclotomic fields, Graduate Texts in Mathematics 83 (Springer, New York, 1982).

Universite de Bordeaux I Section de Mathematiques Laboratoire de Mathematiques Universite de Geneve

351, Cours de la Liberation C.P. 240

F-33405 Talence cedex Rue du Li&vre 2-4

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