THÉORIE DES NOMBRES BESANÇON
Années 1998/2001
A u t o u r d e s f o r m e s t r a c e d e s a l g è b r e s c y c l i q u e s
G . B E R H U Y
A u t o u r d e s f o r m e s t r a c e d e s a l g è b r e s c y c l i q u e s G r é g o r y B e r h u y
U.M.R.6623 du C.N.R.S., Labo de Maths, Bureau 401M, 16 route de Gray, F-25030 Besançon, France
(e-mail : [email protected])
I n t r o d u c t i o n : Soit k un corps de caractéristique différente de 2. Dans cet article, on calcule les formes trace des algèbres cycliques ( a , L / k , a ) lorsque k vérifie P ( k ) = 0, ou lorsque k est quelconque et —1 G L*2. Dans u n e pre- mière partie, on r e d é m o n t r e u n t h é o r è m e de W a t a n a b e (cf.[W]) qui établit le lien entre les formes trace des produits croisés et certaines formes trace hermitiennes amplifiées. On utilise ensuite les résultats connus sur les formes trace des extensions cycliques pour obtenir celles des algèbres cycliques en utilisant le résultat de W a t a n a b e .
1 D é f i n i t i o n s e t r a p p e l s .
Soit k u n corps de caractéristique différente de 2, et soit L / k u n e extension finie séparable. Soit A G L*. On peut associer à L les formes q u a d r a t i q u e s suivantes, appelées respectivement f o r m e trace et f o r m e trace amplifiée :
T vE / k( { l } ) : s T vE / k( x2) T rB/ * « A ) ) : z T xE / k( X x2)
Si L possède une involution fc-linéaire non triviale a (ce qui implique [L : k]
pair), et si A = A17, on peut aussi définir u n e f o r m e trace hermitienne et u n e f o r m e trace hermitienne amplifiée :
T t E / k U l ) , ) : E —ï k , x t-ï T rE / k( x x ° ) T W < A )f f) : E - y k , x H- TrE/k(Axx< T)
Si A est u n e algèbre centrale simple sur k, on note T r d ^ la trace réduite de A (dont on rappelera la définition exacte dans la première partie), et on appelle f o r m e trace de A la f o r m e q u a d r a t i q u e Ta x G A i-» Trd^(a:2). On rappelle que la dimension d ' u n e algèbre centrale simple est un carré, et on appelle degré de A l'entier deg^ = \ / d ï mA. Rappelons enfin la définition
1
d ' u n e algèbre cyclique. Soit L / k u n e extension cyclique de degré n, a un n - l
générateur de Gai ( L / k ) et a G k*. L'anneau ( a , L / k , c r ) = de multi-
»=o
plication en = a et eX = cr(X)e, X E L est appelé une algèbre cyclique. On vérifie facilement que c'est u n e algèbre centrale simple, contenant L c o m m e sous-corps c o m m u t a t i f m a x i m a l .
Pour t o u t ce qui concerne les algèbres centrales simples et les algèbres à division, on p o u r r a consulter [J], [D], [Sel] ou [KMRT], par exemple.
2 R e m a r q u e s p r é l i m i n a i r e s .
On rappelle que si L / k est u n e extension galoisienne de degré n impair, alors Tr£,/fc((l)) ~ n ( l ) (cf.[CP] par exemple). Supposons m a i n t e n a n t que L / k est u n e extension cyclique de degré pair. Posons [L : k] = n = 2rs , avec r > 1 et s > 1 impair. La correspondance de Galois nous assure l'existence de deux sous-extensions de L, Li et L2, cycliques, de degrés respectifs 2r et s. Les degrés de ces deux extensions é t a n t premiers entre eux, Lx et L2 sont linéairement disjointes. O n a alors L ~ L\ ® L2 et
T rL /* ( ( l » ~ T ri l A« l } ) ® T rL 2/ , ( ( l ) ) , et on a donc
T rL / f c« l ) ) c s T rL l / k( ( l ) ) (1)
Enfin, soit r l'unique élément d'ordre 2 du groupe de Galois de L / k et soit K le sous-corps de L fixé par r . On a L = I \ ( V b ) , avec b G K* — I<*2. Alors on a :
T rL A« l } ) 2 > ® T r t f/ f c( ( l ) ) ± < 2 > ®TrK / k({b}) (2) T rL / k( { l )T) ^ < 2 > ® T rK / k( ( l ) ) ± - < 2 > ® T rK / k( ( b ) ) (3)
3 F o r m e s t r a c e d e s p r o d u i t s c r o i s é s . Rappelons t o u t d ' a b o r d la définition d ' u n produit croisé.
T h é o r è m e - D é f i n i t i o n 1 : Soit L / k une extension finie galoisienne de degré n, de groupe de Galois G, et soit x un 2-cocycle normalisé de G à valeurs dans L*. On définit sur le k-espace vectoriel de dimension n2
(x, L / k ) = 0 L ea une multiplication par les formules suivantes :
<r£G
eaX = a(X)e(T, pour A G L, eaeT = x ( a , r)eU T (la définition é t a n t é t e n d u e à t o u t élément de ( x , L / k ) par distributivité). Alors les éléments ea sont
inversibles, e ^ = 1 et (x, L / k ) est u n e algèbre centrale simple déployée par L, appelée produit croisé.
Pour u n e d é m o n s t r a t i o n , on p o u r r a consulter [D], section 12. On a alors le t h é o r è m e suivant :
T h é o r è m e 2 : (cf.[D], §12) Soit L une extension galoisienne finie de groupe de Galois G, et soit u n e /c-algèbre centrale simple A contenant L c o m m e sous-corps c o m m u t a t i f m a x i m a l . Alors il existe u n 2-cocycle normalisé x de G à valeurs dans L*, tel q u e A = (x, L / k ) .
D é f i n i t i o n 1 : Soit A une algèbre centrale simple de degré n sur k, et L un corps de déploiement de A. On a donc un isomorphisme d'algèbres tp : A ® L ^ Mn( L ) . La trace réduite d ' u n élément a G A est p a r définition T r d ^ ( a ) = Tr(</?(a <g) 1)), où Tr désigne la trace usuelle. On m o n t r e que cette définition ne d é p e n d pas du choix de L et de p (pour plus de détails, cf.[D] ou [Sel]). On sait en particulier que, si L est u n sous-corps c o m m u t a t i f m a x i m a l de A, alors l ' h o m o m o r p h i s m e A & L Mn( L ) , a ® A ^ (z azA) est un isomorphisme. On a donc T r d ^ ( a ) = Tr(!a), où la désigne la multiplication à gauche par a dans A (vu c o m m e L-espace vectoriel de dimension n).
On suppose m a i n t e n a n t que A = ( x , L / k ) . Soit (ea i) une L-base de ce pro- duit croisé (où les cr,- sont les éléments de G, avec = Id). On a alors le résultat suivant :
L e m m e 1 : Soit a = On a alors T r d ^ ( a ) = T rL/k( \ i ) .
P r e u v e : Il est facile de voir q u ' u n élément de A <g> L est u n e s o m m e d'élé- m e n t s du t y p e efft <g> A = (ea i <g> 1)A = eff.A. A u t r e m e n t dit, A <g> L est le L-espace vectoriel à droite engendré par les ea i. Pour calculer la trace de la multiplication p a r a, il f a u t donc écrire les éléments de A ® L sous la f o r m e de combinaisons linéaires à droite. On a
= E ^ W ^ ' ^ j K ^ = E e ^ . ^ o ^ ' H V f o , ^ - ) ) = ea ja J1( X i ) + •••
(car x(<Tj,Id) = 1). La trace de la multiplication par a est alors E ^ j "i i 1^ ) ) i
c'est-à-dire T r ^ / ^ A i ) .
On m o n t r e m a i n t e n a n t la. proposition suivante, due à W a t a n a b e (cf.[W], pro- position 6), de m a n i è r e légèrement différente, et qui nous sera utile dans la suite pour calculer 1a, f o r m e trace des algèbres cycliques :
3
P r o p o s i t i o n 1 : Soit A = ( x , L / k ) un produit croisé, et soit t le n o m b r e d'éléments d'ordre 2 de G a l ( L f k ) .
Alors Ta T rL / f c« l } ) 1 1 T rL / k( ( x ( r , r ) )T) 1
t,o(t)=2 Z P r e u v e : Soient T = { r G G a l ( L / k ) , o ( r ) = 2},
i ï = {cr G G a l ( L / k ) , cr / Id, o(<r) ^ 2}, et soient F = (eT, r G T ) et
G = a G H ) . On m o n t r e aisément grâce au l e m m e précédent que L, F et G sont orthogonaux deux à deux. H é t a n t constitué d'éléments d'ordres dif- férents de 1 et 2, il se p a r t i t i o n n e de la m a n i è r e suivante : H = X U X ~x, où
X- 1 est l'ensemble des inverses des éléments de X . On voit alors facilement, toujours grâce au l e m m e 1 que l'espace engendré par les ea, o G X est un sous-espace t o t a l e m e n t isotrope m a x i m a l de H . La restriction de Ta à- H est donc hyperbolique. Il est clair que la restriction de Ta à L est la f o r m e trace de L / k . De plus, le l e m m e 1 entraîne que les sous-espaces L er, où r G T sont orthogonaux deux à deux. Enfin, le fait que r G T soit d'ordre 2 implique l'égalité Trd^(AeT/ieT) = T t l / I c (x(t, r)A/iT), d'où le résultat annoncé.
C o r o l l a i r e 1 : (cf.[W]) Soit A = (a, L / k , a ) une algèbre cyclique sur k.
Alors Ta ^ T rL /* « l » K a > ® T r£ / f c« l )T) 1 où r = a f . P r e u v e : P o u r pouvoir utiliser la proposition 1, on va m a i n t e n a n t m e t t r e A sous la f o r m e d ' u n p r o d u i t croisé, ce qui est possible d'après le t h é o r è m e 2. P o u r 0 < i, j < n — 1, posons cri) = a si i + j > n et 1 sinon. Alors on p e u t vérifier que xa,a- est u n 2-cocycle, et que (a, L / k , a ) et ( xa, c , L / k ) sont équivalentes dans B r ( k ) (cf.[D], §12, Exercice 1 par exemple). C o m m e elles ont m ê m e degré, elles sont isomorphes. L'unique élément d'ordre 2 de G a l ( L / k ) é t a n t r = cr?, on a xa,<r(r, r ) = a, et donc
n ( n — 2)
Ta ^ T rL / k( ( l ) ) ± < a > ® T rL / k{ { l )T) 1 — - H , d'après la proposition 1.
4 Q u e l q u e s c a s p a r t i c u l i e r s .
Dans ce paragraphe, on donne des résultats qui sont valables sur n ' i m p o r t e quel corps.
L e m m e 2 : Soit k un corps de caractéristique différente de 2. Soit L / k u n e extension cyclique de degré n = 2rs , avec r > 0 et s > 1 impair. Soit D un représentant de la classe de disc(X/A;) m o d u l o k*2. Alors
T r L M ( l » *
n{ 1) si r = 0 s ( 2 , 2 D ) si r = 1
s ( l , D , q , q ) pour u n certain q € k*
s ( l , l , l , D ) ± s ( t ) ® ( 1 , 2 , D , 2 D ) pour u n certain t G k* si r = 3
P r e u v e : Le cas r = 0 est déjà connu (cf.[CPj). Pour les autres cas, on peut supposer 5 = 1 d'après (1). Le cas r = 1 est alors un simple calcul et les deux autres cas ont été traités dans [DEK], proposition 8 et proposition 10.
C o r o l l a i r e 2 : Soit k u n corps de caractéristique différente de 2. Soit L / k u n e extension cyclique de degré n = 2rs , avec r > 3 et s > 1 impair, soit r l ' u n i q u e élément d ' o r d r e 2 de son groupe de Galois, et soit, D u n re- présentant de la classe de dise ( L / k ) m o d u l o k*2. Alors
T ri A« l > 0
s ( 2 , - 2 D ) si r = 1 5(1, D , —q, —q) si r = 2
s{ 1 , 1 , 1 , D) 1 s { - t ) ® (1,2, D, 2D) si r = 3
P r e u v e : Le cas r — 1 est un calcul direct. Supposons r — 2. On garde les notations des préliminaires. D'après une r e m a r q u e précédente, K et L ont m ê m e discriminant. C o m m e K / k est cyclique de degré 2s, on a T vK / k( { l ) ) ~ s { 2 , 2 D ) . Posons $ = (2) ® Tr*/*((&)). E n utilisant (2) et le t h é o r è m e de simplification de W i t t , 011 obtient $ ~ s(q,q). On utilise alors (3). Si r — 3, K / k é t a n t une extension cyclique de degré 4 contenue dans L, on a par [DEK], proposition 9 et p a r (1), l'isomorphisme T rK 7, ( ( l } ) ~ s ( l , l , 2 , 2 £ > ) , et donc
(2) 0 T rK/k( ( l } ) ^ 5 ( 1 , 1 , 1 , D), en t e n a n t c o m p t e du fait que (2,2) ~ (1,1).
On achève alors la preuve de la m ê m e manière.
5
C o r o l l a i r e 3 : Soit k un corps de caractéristique différente de 2. Soit A = (a, L / k , a ) u n e algèbre cyclique de degré n = 2rs , avec r > 0 et 5 > 1 impair, et soit D un représentant de la classe de dise ( L / k ) m o d k*2. Alors
' n( i ) ± n(n ~ ^ H si r = 0
x / 2
£{2, 2a, 2 D , - 2 a D ) _L si r = 1
T a ^ I 2 2 n(n _ 2)
s ( l , a, D , a D ) 1 2s(q, - a q ) L — - H si r = 2 s ( l , a) (g) ( 1 , 1 , 1 , D ) ± s{t, - a t ) ® (1, 2, D , 2D)
k 1 8s(4s - 1)H si r = 3
P r e u v e : Le cas impair est connu (cf.[Se2], Annexe, p a r exemple), et les autres cas sont u n e application directe du corollaire 1 et du corollaire 2.
5 F o r m e t r a c e d e s e x t e n s i o n s e t d e s a l g è b r e s c y c l i q u e s s u r l e s c o r p s k t e l s q u e I 3( k ) = 0 . T h é o r è m e 3 : Soit k un corps de caractéristique différente de 2 tel que /3(A;) = 0, et soit L / k u n e extension cyclique de degré n = 2rs , avec r > 3 et s > 1 impair. Soit D un représentant de la classe de dise ( L / k ) m o d u l o k*2. Alors T ri A. « l ) ) ~ s ( 2 , 2 D ) 1 ( 2rs - 2 a ) ( l ) .
P r e u v e : Le fait que D = dise ( L / k ) m o d k*2 provient de l'égalité
det(Tr£/fc((l})) = disc(L/fc) dans k*/k"2. On peut se limiter au cas où s — 1, d'après les préliminaires.
On sait, d'après [DEK], corollaire 3, que u>2(Tr£/fc((l))) = (2, D). Il est bien connu q u ' u n corps vérifiant I3( k ) = 0 est non ordonné et que t o u t e f o r m e q u a d r a t i q u e sur k est entièrement déterminée par sa dimension, son discri- m i n a n t et son invariant de Hasse (cf. [EL]). On vérifie alors que la f o r m e (2, 2D) L (2r — 2)(1) possède les invariants désirés, ce qui achève la preuve.
C o r o l l a i r e 4 : Soit k u n corps de caractéristique différente de 2 vérifiant I3( k ) = 0. Soit L / k une extension cyclique de degré n = 2rs , avec r > 3 et .s > 1 impair, soit r l'unique élément d'ordre 2 de son groupe de Ga- lois, et soit D un représentant de la classe de disc(L/fc) m o d u l o k*2. Alors T rL / f c( ( l )T) ~ s < - 2 , - 2 D ) _L 2 . ( 1 ) 1 ( 2 ^ - 2 s ) K
P r e u v e : Gardons les notations des r e m a r q u e s préliminaires. L'extension K / k est u n e extension cyclique de degré 2r~1s et contenue dans L. D'après u n e r e m a r q u e faite plus h a u t , K et L ont m ê m e discriminant. En utilisant alors [DEK], corollaire 4, et la formule (1), on a
T r t f/ J f c« l » ~ s(2, 2D) L ( 2 ' ~ls - 2 s ) ( l ) . Posons $ = (2) (g> Tr/t/fc((&)). On a donc
s ( 2 , 2 D ) 1 (2r5 - 2s){l) ~ s { l , D ) 1 ( 2r~1s - 2.s){2) 1 $ d'après (2). En r e m a r q u a n t que (2,2) ~ (1,1), on obtient
$ ~ s ( 2 , 2 D , - 1 , - D ) + 2r-15 ( l ) dans W ( k ) . Puisque D est u n e s o m m e de deux carrés, on a {D, D ) ~ (1,1) et donc
$ ~ ( 2r~1s - 4 s ) ( l ) + s ( 2 , 2 D , — 1 , - D ) + 1} + s ( D , D )
~ s ( l , 2, D, 2D) + ( 2r - 1s - 4s){l), et c o m m e $ est de dimension 2r~1sJ on a
$ ~ s ( l , 2 , D , 2 D ) ± (2r-1_s — 4 s ) ( l ) . On obtient alors le résultat en utilisant (3).
On a alors :
C o r o l l a i r e 5 : Soit k u n corps de caractéristique différente de 2 vérifiant P { k ) = 0. Soit A = (a, L / k , a ) une algèbre cyclique de degré n = 2rs , avec r > 3 et s > 1 impair, et soit D u n représentant de la classe de
disc(L/fc) m o d fc*2.
fl(ïl — 1 )
Alors 'Ta ^ s ( 2 , 2 a , 2 D , - 2 a D ) _L ( 2rs - 2 s ) ( l ) J- V M.
P r e u v e : En utilisant le corollaire 1 et le corollaire 4, on obtient Ta ^ s ( 2 , 2 D ) 1 ( 2rs - 2 s ) ( l ) X s { ~ 2 a , - 2 a D ) 1 2s(a)
fy/yi — 2 )
_L (-J: - — 2s)H. E n r e m a r q u a n t que (a, a) ~ (2a, 2a), on obtient le résultat.
Ce résultat donne en particulier les formes trace des algèbres centrales simples sur les corps locaux et les corps globaux non ordonnés, car t o u t e algèbre cen- trale simple sur de tels corps est cyclique.
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6 F o r m e s t r a c e d e s a l g è b r e s c y c l i q u e s l o r s q u e - 1 e s t u n c a r r é d a n s L .
Rappelons le résultat suivant, prouvé dans [DEK] :
T h é o r è m e 4 : Soit k u n corps de caractéristique différente de 2. Soit L / k u n e extension cyclique de degré 2r, avec r > 3, telle que —1 G L*2. Soit D un représentant de la. classe de dise ( L / k ) modulo k*2.
Alors T rL / f c« l » ~ (D) 1 (2r - 1)(1).
C o r o l l a i r e 6 : Soit k de caractéristique différente de 2. Soit L / k u n e extension cyclique de degré n = 2r.s, avec r > 3 et s > 1 impair, telle que —1 G L*2. Soit r l'unique élément d'ordre 2 de son groupe de Ga- lois, et soit D u n représentant de la classe de dise ( L / k ) m o d u l o k*2. Alors T ri / f c( ( l }T) ~ s ( 2 , 2 D ) 1 ( Y ^ s - 2 s ) ( l ) 1 2r-2 5f t
P r e u v e : Gardons les notations des remarques préliminaires (cf.§2). D ' a p r è s [DEK], corollaire 4, et une r e m a r q u e précédente, on a
T vK / k( ( l ) ) ~ s { 2 , 2 D ) ± ( 2r'1s - 2 s ) ( l ) . En utilisant la formule (2) et l'isomorphisme (2,2) ~ (1,1), on obtient par simplification de W i t t que (2) <g> TrK/k((b)) ~ 2r _ 15 ( l ) . On conclue en utilisant (3).
C o r o l l a i r e 7 : Soit k de caractéristique différente de 2 . Soit
A = (a, L / k , a ) u n e algèbre cyclique de degré n = 2rs , avec r > 3 et s > 1 impair, telle que —1 G L*2. Soit D u n représentant de la classe de disc(jL/k) m o d u l o fc*2. Alors
Ta ^ s ( 2 , 2 a , 2 D , 2 a D ) 1 ( 2r~1s - 2 s ) ( l , a ) ± ~ ^ H . ù P r e u v e : On applique le corollaire 1 et le corollaire 6.
R é f é r e n c e s
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