Des algèbres amassées de rang fini aux algèbres amassées provenant de l'infini-gone

Des algèbres amassées de rang ni aux algèbres amassées

provenant de l'inni-gone

par

Ndouné Ndouné

Thèse présentée au Département de mathématiques

en vue de l'obtention du grade de docteur ès Sciences (PhD)

FACULTÉ DES SCIENCES

UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE

Le 03 Juillet 2014

le jury a accepté la thèse de Monsieur Ndouné Ndouné dans sa version nale.

Membres du jury Professeur Ibrahim Assem

Directeur de recherche Département de Mathématiques Professeur Vasilisa Shramchenko

Codirectrice de recherche Département de Mathématiques

Professeur Thomas Brüstle Membre interne Département de Mathématiques Patrick Le Meur Maître de Conférences Membre externe Département de Mathématiques

Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand 2 Professeur Shiping Liu

Président-rapporteur Département de Mathématiques

Je dédie ce travail à mes enfants : Abona Ndouné Jean Samuel Kotsomi Ndouné Anne Naomi

SOMMAIRE

Les structures amassées constituent aujourd'hui un des domaines de mathématiques où la recherche est très active. Cela est dû aux multiples connections de ces structures avec d'autres branches de mathématiques et de physique, à l'instar de la théorie de re-présentations des algèbres, de la géométrie de Poisson, des surfaces et de la physique mathématique. Ce faisant, de nombreux mathématiciens ont focalisé leur recherche sur les liens entre les algèbres amassées et les autres domaines de mathématiques, alors que d'autres s'interressent toujours aux algèbres amassées en tant que structures algébriques. En ce qui nous concerne, nous utilisons les idées de la théorie des représentations des algèbres, la théorie des catégories et les surfaces pour étudier les algèbres amassées vues comme structures algébriques. Dans cette thèse nous donnons une classication des al-gèbres amassées provenant de l'inni-gone et établissons une relation entre ces alal-gèbres et celles associées aux carquois de type A∞. Ensuite nous montrons que si Q est un

carquois ni, connexe et acyclique dont le carquois répétitif ZQ contient une tranche locale isomorphe à Qop_{, alors il existe un plongement de ZQ dans l'espace et une}

symé-trie de l'espace qui induisent une involution dans ZQ. Comme conséquence immédiate de ce résultat, nous montrons que : si une algèbre amassée contient une graine (x, Q) telle que Q est un carquois acyclique équivalent par mutations à Qop_{, alors le groupe des}

automorphismes amassés de cette algèbre est un produit semi-direct du sous-groupe des automorphismes directs et du groupe Z2.

REMERCIEMENTS

Je remercie Dieu tout puissant pour son amour et sa grâce, lui qui m'a tiré d'Ombessa et m'a conduit jusqu'à Sherbrooke pour faire cette thèse.

Humainement parlant, je tiens à exprimer ma gratitude et ma reconnaissance à mes su-perviseurs de thèse M.Ibrahim Assem et Mme Vasilisa Shramchenko d'avoir accepté de partager avec moi leur savoir et leur savoir-faire mathématiques.Je tiens aussi à souligner une ambiance chaleureuse de travail qu'ils ont pu créer ainsi que leur soutien moral et nancier pendant toute la période de ce programme.

De tout mon coeur, je dis merci aux membres du Jury de cette thèse.

Je remercie Grégoire Dupont qui était toujours prompt à discuter avec moi de mathéma-tiques.

Je remercie tous les membres du groupe de recherche en Structures Algébriques et Géo-métrique de l'Université de Sherbrooke.

Je remercie le Professeur Thomas Bouetou de m'avoir recommandé et encouragé à venir à l'Université de Sherbrooke.

Je remercie mon collègue Kodjo Essonana Magnani qui a partagé les vicissitudes des mardis noirs avec moi.

Je remercie mes amis Viviana Gubitosi, Hussein Khreibani, Philippe Dompierre, Cyril Batkam, Eric Tsala pour leur amitié et leur soutien pendant cette période.

traversais des moments diciles.

Je remercie mes amis Samuel Fortier et Véronique Peron pour leur soutien humain et spirituel qui a contribué à l'agrément de ma vie et celle de mes enfants à Sherbrooke. Je remercie l'Institut des Sciences Mathématiques (ISM) pour la bourse qu'il m'a octroyé pendant cette thèse.

Je remercie la Faculté des Sciences pour le soutien nancier pendant les trois premières années de ma thèse.

Je remercie ma première mère Mme Kotsomi Jacquéline qui m'a communiqué les valeurs fondamentales de la vie et la persévérance au travail ; elle s'est investie pour que j'aie accès à l'instruction en m'envoyant à l'école. Grand merci encore ma mère chérie. Je tiens aussi à exprimer toute ma reconnaissance à ma deuxième mère Mme Mouala Élisabeth épouse Mairo pour son amour envers moi, elle qui a payé mes études universi-taires au Cameroun. Sans elle je n'aurai jamais fait les études supérieures. Grand merci encore ma mère chérie.

Ce serait un acte ingrat de ma part de ne pas signaler le soutien moral et spirituel de ma dulcinée, ma chère épouse Mme Ndouné Benice.

Je remercie mon frère Boadé George et son épouse Mme Boadé Laure qui m'ont encou-ragé à venir au Canada et qui m'ont acceuilli chez eux à mon arrivée avec toute ma délégation.

Ndouné Ndouné Sherbrooke, Mai 2014

TABLE DES MATIÈRES

SOMMAIRE iii

REMERCIEMENTS iv

TABLE DES MATIÈRES vi

INTRODUCTION 1

CHAPITRE 1  Algèbres amassées etcatégories amassées 4

1.1 Algèbres amassées . . . 5

1.1.1 Mutations de carquois . . . 5

1.1.2 Mutation de graines . . . 7

1.2 Algèbres amassées . . . 8

1.2.1 Algèbre amassée associée à un carquois . . . 8

1.2.2 Algèbres amassées associées à une surface marquée . . . 11

1.3.1 Catégorie amassée associée à un carquois acyclique . . . 15

1.3.2 Lien avec les représentations . . . 19

1.3.3 L'application de Caldero-Chapoton-Keller . . . 21

1.3.4 Caractères d'amas de Palu . . . 22

1.3.5 Catégorie amassée associée à une surface marquée (S, M) . . . . . 23

CHAPITRE 2  Algèbres amassées provenant de l'inni-gone 27 2.1 Construction des algèbres amassées sur un carquois inni . . . 28

2.1.1 Notations et dénitions fondamentales . . . 28

2.1.2 Système projectif d'algèbres amassées . . . 29

2.2 Présentation des algèbres amassées provenant de l'inni-gone . . . 43

2.2.1 Les triangulations de l'inni-gone . . . 43

2.2.2 Triangulations de S et leurs carquois . . . 45

2.3 Les algèbres amassées provenant de S . . . 46

2.4 La spécicité des algèbres amassées provenant de S . . . 52

CHAPITRE 3 La catégorie des diagonales de l'inni-gone 63 3.1 La catégorie amassée de type A∞ . . . 63

3.2 La catégorie des diagonales de l'inni-gone . . . 67

3.3 Les sous catégories inclinantes amassées de C . . . 72

4.1 Les automorphismes amassés . . . 75 4.2 Automorphismes involutifs de carquois . . . 78 4.3 Automorphismes amassés involutifs . . . 89 4.4 Automorphismes amassés et carquois non mutation équivalents à leurs

opposés . . . 97

CONCLUSION 99

INTRODUCTION

Les algèbres amassées ont été introduites en 2002 par Fomin et Zelevinsky [FZ02] dans le but de comprendre la positivité totale et les bases canoniques des algèbres enveloppantes quantiques associées aux algèbres de Lie semi-simples.Bien qu'introduites dans ce but, les algèbres amassées sont très tôt devenues omniprésentes dans plusieurs branches de mathématiques.Ainsi on les retrouve dans la théorie de Lie, dans la théorie de Teichmül-ler, la géométrie de Poisson, la combinatoire, la théorie des représentations des algèbres, la géométrie classique, la physique mathématique et la liste est loin d'être exhaustive. Si on considère une matrice antisymétrisable B ∈ Mn(Z) et un ensemble

d'indétermi-nées X = {x1, x2, ..., xn}, l'algèbre amassée A(X, B) est la Z-algèbre engendrée par un

ensemble de variables construites de manière récursive par un procédé appelé mutation. Lorsque la matrice B est antisymétrique on dit que l'algèbre amassée A(X, B) est sim-plement lacée.Étant donné qu'il existe une bijection entre les matrices antisymétriques à coecients dans Z et les carquois nis sans boucles ni 2-cycles, une algèbre amassée simplement lacée sera déterminée par un carquois Q, avec |Q0| = n et un ensemble

d'in-déterminées X = {x1, x2, ..., xn} ; ce qu'on notera A(X, Q). Dans ce travail, le terme

algèbre amassée signiera algèbre amassée simplement lacée.

Dans le cas où Q est un carquois acyclique, la combinatoire de A(X, Q) est codée dans la catégorie amassée CQ de Buan-Marsh-Reineke-Reiten-Todorov [BMR+06] via

l'appli-cation de Caldero-Chapoton-Keller [CC], [CK08], [CK08].

Les algèbres amassées ayant des connexions avec plusieurs autres domaines de mathéma-tiques, de nombreux chercheurs ont focalisé leurs travaux sur l'étude de ces interactions. L'étude des algèbres amassées en tant que structures algébriques se trouve par exemple dans les articles ( [FZ02], [FZ03], [BFZ05], [FZ07], [ASS12], [ADS13]) la liste n'est pas exhaustive et leurs propriétés en tant qu'anneaux ont été étudiées récemment par Geiss, Leclerc et Schröer [GLS].

Cependant, pour mieux comprendre les algèbres amassées, il fallait dénir un cadre caté-gorique pour leur étude. Ceci implique de comprendre les bons morphismes (morphismes qui préservent les structures amassées) entre les algèbres amassées. C'est ainsi que Assem, Schier et Shramchenko en [ASS12] étudient un aspect important des algèbres amassées vues comme structures algébriques : les automorphismes amassés. Dans cette étude il a été conjecturé par ces auteurs que : si Q est un carquois acyclique équivalent par muta-tions à son carquois opposé Qop_{, alors le groupe des automorphismes amassés de l'algèbre}

amassée A(X, Q) est un produit semi-direct du sous-groupe des automorphismes amas-sés directs et de Z2. La démonstration de cette conjecture sera un des résultats de cette

thèse. L'introduction de la catégorie des algèbres amassées est survenue peu de temps après dans un travail de Assem, Dupont et Schier [ADS13]. Dans le présent travail, bien que nous étudions certains aspects précis des algèbres amassées en tant que struc-tures algébriques, nous faisons aussi appel à des notions provenant d'autres branches des mathématiques à l'instar des représentations des algèbres, des catégories, de la géométrie des surfaces.

Dans [FST08], Fomin, Shapiro et Thurston ont initié une étude des algèbres amassées provenant des surfaces (S, M), ayant un nombre ni de points marqués. Un des résultats importants de cette étude stipule qu'une algèbre amassée associée à une triangulation d'une surface (S, M) ne dépend pas de la triangulation choisie, mais seulement de la

surface (S, M).

Au vu de la dénition initiale des algèbres amassées selon Fomin et Zelevinsky, le carquois

Q est ni. Si nous considérons que Q est dénombrable, et localement ni, il existe une

dénition plus générale d'algèbres amassées, nous réferons à [HJ12], [JP13], [ADS13], et [GG].

Dans cette lancée, nous donnerons une nouvelle construction des algèbres amassées sur les carquois de type A∞ qui exhibe la liste complète des variables amassées, chacune

étant donnée par une formule explicite. Ensuite nous étudierons les algèbres amassées géométriques innies, plus précisement celles provenant des triangulations de l'inni-gone. Nous montrerons que le résultat de Fomin, Shapiro et Thurston évoqué plus haut dans le cas des surfaces marquées (S, M) n'est plus valide. Nous donnerons une classication des algèbres amassées provenant de l'inni-gone.

Enn dans [HJ12] Holm et Jørgensen étudient la catégorie amassée D associée à un carquois de type A∞ construite par Jørgensen en [Jør04]. Nous construisons la catégorie

des diagonales de l'inni-gone et montrons qu'elle est équivalente à la catégorie D, ce qui nous permet d'expliciter D. An d'obtenir une description simpliée des triangles d'Auslander-Reiten de la catégorie D, nous utilisons l'approche de Brüstle et Zhang introduite pour décrire en termes géométriques la catégorie amassée associée à une surface marquée sans ponction (S, M), voir [BZ11].

CHAPITRE 1

Algèbres amassées et catégories

amassées

Les algèbres amassées ont été introduites en 2002 par S. Fomin et A. Zelevinsky [FZ02]. Dans ce chapitre introductif, nous récapitulons et présentons des résultats fondamentaux sur les algèbres amassées dénies sur les carquois et les algèbres amassées provenant des triangulations des surfaces marquées. Nous décrivons aussi la catégorie amassée associée à un carquois acyclique, ainsi que celle associée à une surface marquée. Nous donnerons des propriétés fondamentales des algèbres amassées ainsi que leurs interactions avec les catégories amassées associées. Dans ce chapitre, nous supposons tous les carquois nis, connexes, sans boucles ni deux-cycles, sauf mention contraire.

1.1 Algèbres amassées

1.1.1 Mutations de carquois

La mutation de carquois est une opération introduite par Fomin et Zelevinsky dans l'étude des algèbres amassées [FZ02].

Dénition 1.1 Un carquois est un quadruplet Q = (Q0, Q1, s, t), formé d'un ensemble

de sommets Q0, d'un ensemble de flèches Q1 et de deux applications s, t : Q1 −→ Q0

qui, à chaque èche α ∈ Q1, associent respectivement sa source s(α) et son but t(α).

Nous disons que le carquois Q est fini si Q0 et Q1 sont des ensembles nis.

Un p-cycle dans Q est une suite de p èches avec p ≥ 1

i₁ α1 //i₂ α2 //i₃ //· · · //ip

αp _//

ip₊₁ = i₁

telles que s(α1) = t(αp). U ne boucle est un 1-cyle, en d'autres termes, c'est une èche

dont le but coïncide avec la source. Un carquois sans p-cycle pour tout p est appelé un carquois acyclique.

Étant donné un sommet i de Q0, on pose i+ = {α ∈ Q1|s(α) = i} et i−= {α ∈ Q1|t(α) =

i}.

Soit Q et Q _{deux carquois. Une application f : Q −→ Q} _{est un morphisme de carquois}

si pour toute èche i α

−→ j de Q on a f(s(α)) = s(f(α)) et f(t(α)) = t(f(α)). On dit

que f est un automorphisme de carquois s'il est un morphisme de carquois bijectif. Une application g : Q −→ Q _{est un anti-morphisme de carquois si pour toute èche}

Dénition 1.2 Une application g : Q −→ Q est un anti-automorphisme de Q s'il est un anti-morphisme bijectif du carquois Q.

Dans la suite, nous supposerons que tous nos carquois sont nis et connexes, sans p-cycles, avec p ≤ 2, sauf mention contraire.

Dénition 1.3 Soient Q un carquois et k un sommet de Q. La mutation de Q en k est le nouveau carquois noté μk(Q) dont les sommets sont les sommets de Q, obtenu à partir

de Q en eectuant les modications suivantes :

(1) pour tout chemin de la forme i−→k−→j, on ajoute une èche i−→j. (2) on change le sens de toutes les èches incidentes à k.

(3) on ôte du carquois obtenu une réunion disjointe maximale de paire de èches formant des 2-cycles.

Ainsi, μk(Q) est encore un carquois connexe sans p-cycles, avec p ≤ 2 et l'opération μk

est une involution.

Exemple 1.4 On considère le carquois Q donné par : 1 7 7 7 7 7 7 7 7oooo 2 3 CC  _ CC

. En opérant une mutation au second sommet de Q, nous obtenons le nouveau carquois

μ_{2(Q) :} 3 7 7 7 7 7 7 7 7oooo 2 1 CC  _ CC

On dit que deux carquois Q et Q _{sont équivalents par mutations et on note Q ∼ Q}_,

s'il existe une suite de sommets (k1, k2, ..., kn) de Q tels que μk_n...μk₂μk₁(Q) = Q. La

relation ∼ est une relation d'équivalence. On note Mut(Q) la classe d'équivalence de Q pour la relation ∼.

Un carquois est dit de mutation finie si Mut(Q) est un ensemble ni. La classication des carquois de mutation nie est résolue dans [FST12].

1.1.2 Mutation de graines

Soit n un entier strictement positif et F = Q(x1, x2, ..., xn) le corps des fractions

ration-nelles engendré par les indéterminées x1, x2, ..., xn. Soit Q un carquois sans p-cycles, p ≤ 2

et Q0 = {1, 2, ..., n}, une graine associée à Q est un couple (u, Q), avec u = {u1, u2, ..., un}

et u1, u2, ..., un engendrent librement le corps F. Le corps F est appelé le corps ambiant.

Si (u, Q) est une graine et k un sommet de Q, la mutation de la graine (u, Q) notée

μk(u, Q), est la nouvelle graine (u, Q), où Q = μk(Q) et uest obtenu de u en remplaçant

l'élément uk par l'élément uk déni par la relation suivante dite relation d'échange

uku  k =  α∈i+ ut(α)+  α∈i− us(α).

Exemple 1.5 On considère le carquois Q donné par : 1 → 2 → 3 et l'ensemble d'indé-terminées x = {x1, x2, x3}. La mutation de la graine (x, Q) par rapport au sommet 1 est

la graine μ1(x, Q) = (x, Q) telle que Q : 1 ← 2 → 3 et x = {1+xx12, x2, x3}

Soit Q un carquois, la graine initiale associée à Q est le couple (x, Q) avec x = {x1, x2, ..., xn}.

Un amas associé à Q _{est l'ensemble x} _{qui apparaît dans une graine (x}_{, Q}_{) obtenue par}

mutations successives à partir de la graine initiale (x, Q). L'amas x est appelé amas

1.2 Algèbres amassées

1.2.1 Algèbre amassée associée à un carquois

Dénition 1.6 Soit (x, Q) une graine. L'alg`ebre amass´ee A(x, Q) de graine initiale (x, Q) est la Z-sous-algèbre de F engendrée par l'ensemble X, constitué de toutes les variables amassées.

Exemple 1.7 On considère le carquois Q donné par : 1 → 2 et l'ensemble d'indétermi-nées x = {x1, x2}. Nous déterminons tous les carquois et tous les amas générés par des

mutations en 1 et en 2. On a : μ_{1(Q) : 1 ← 2,} x1 _{= {}1+x2 x₁ , x2} μ₂μ_{1(Q) : 1 → 2,} x2 _{= {}1+x2 x1 , 1+x1+x2 x1x2 } μ₁μ₂μ_{1(Q) : 1 ← 2,} x3 _{= {}1+x1 x₂ ,1+xx₁1x+x₂ 2} μ₂μ₁μ₂μ_{1(Q) : 1 → 2,} x4 _{= {}1+x1 x₂ , x1} μ₁μ₂μ₁μ₂μ_{1(Q) : 1 ← 2,} x5 _{= {x2}, x₁}.

Toutes les variables des ensembles xj_{, avec 1 ≤ j ≤ 4 sont des variables amassées car}

elles sont obtenues par des suites nies de mutations àpartir des variables de l'amas initial x1_.

Si X1 = {yt|t ∈ Z} est l'ensemble de toutes les variables amassées de l'algèbre amassée

A(x, Q) obtenues en commençant par muter au sommet 1, avec comme données ini-tiales y1 = x1 et y2 = x2, alors les variables yt sont soumises aux relations d'échange

yt₋₁yt₊₁ = 1 + yt.

On a : y3 = 1+xx₁2 ; y4 = 1+xx₁1x+x₂ 2 ; y5 = 1+xx₂1 ; y6 = y1; y7 = y2;...

Ainsi, la suite (yt)t_∈Z est 5-périodique et le nombre de variables amassées de X₁ est égal

De même, si X2 = {zt|t ∈ Z} est l'ensemble de toutes les variables amassées de l'algèbre

amassée A(x, Q) obtenues en commençant par muter au sommet 2, avec comme données initiales z1 = x1 et z2 = x2, alors les variables zt sont soumises aux relations d'échange

ztzt+1 = 1 + zt−1. On a : z3 = 1+xx21 ; z4 = 1+x1+x2 x1x2 ; z5 = 1+x2 x1 ; z6 = z2; z7 = z1;...

Ainsi, la suite (zt)t∈Z est 5-périodique et le nombre de variables amassées de X2 est égal

à cinq ; de plus on a X1 = X2.

Puisque le carquois Q n'a que deux sommets, toutes les variables amassées sont des élé-ments de X1 ou de X2.

D'où A(x, Q) = Z[x1, x2,1+xx12,

1+x1+x2

x1x2 ,

1+x1

x2 ] est l'algèbre amassée de graine initiale (x, Q).

Une algèbre amassée peut n'avoir qu'un nombre ni de variables amassées comme le montre l'exemple précédent. Si tel est le cas, on dira que cette algèbre amassée est de

type f ini. La classication des algèbres amassées de type ni a été donnée par Fomin et

Zelevinsky en [FZ02].

Théorème 1.8 (Fomin-Zelevinsky)

Une algèbre amassée A(x, Q) est de type ni si et seulement si Q est équivalent par mutations à un carquois de type Dynkin.

Soit A(x, Q) une algèbre amassée de graine initiale (x, Q). On dit que A(x, Q) est de type

de mutation f inie si Q est un carquois de mutation nie. Il va de soi que toute algèbre

amassée de type ni est de type de mutation nie, mais la réciproque est fausse comme le démontre l'exemple suivant.

Exemple 1.9 Considérons le carquois de Kronecker généralisé Q ayant n èches où

n≥ 2, donné par : 1 → 2 et l'ensemble d'indéterminées x = {xn ₁, x₂}. Si on applique une

montre que les seuls carquois qu'on obtient en applicant des suites arbitraires de mutations à partir du carquois Q sont Q et Qop_{. La classe de mutation de Q est alors Mut(Q) =}

{Q, Qop_{} qui est nie. L'algèbre amassée A est de type de mutation ni mais n'est pas de}

type ni.

Gekhtman, Shapiro et Vainshtein ont montré dans [GSV08] que pour toute graine (x, Q)

associée à Q d'une algèbre amassée A, le carquois Q est uniquement déterminé par

l'amas x ;et nous pouvons donc utiliser la notation Q(x) pour le carquois Q dont la

graine associée est ( Q,x). On notera px le sommet de Q(x) correspondant à une variable

amassée x ∈ x. Nous mentionnons aussi que le même résultat mentionné ci-dessus a aussi été démontré par Buan, Marsh, Reiten et Todorov en [BMRT07] dans le cas des algèbres amassées acycliques.

Nous donnons quelques résultats fondamentaux dans la théorie des algèbres amassées. Le résultat suivant de Fomin et Zelevinsky est connu dans la littérature mathématique sous le nom de phénomène de Laurent.

Théorème 1.10 (Fomin-Zelevinsky)

Soient A(x, Q) une algèbre amassée de graine initiale (x, Q) et x une variable amas-sée de A(x, Q). Alors pour tout amas u = {u1, u2, ..., un} la variable x est un polynôme

de Laurent à coecients entiers,

x = p(u1, un2, ..., un)

l=1

udl

l

,

où p ∈ Z[u1, u2, ..., un], et dl est un entier naturel pour 1 ≤ l ≤ n. En plus P n'est divisible

u_i, 1 ≤ i ≤ n, on dit que x est une fraction irréductible.

Comme conséquence immédiate, nous avons A ⊆ Z[x±1

de détails. Nous énonçons maintenant une des plus fameuses conjectures sur les algèbres amassées connue sous le nom de conjecture de positivité.

Conjecture 1.11 Soit A(x, Q) une algèbre amassée de graine initiale (x, Q). Pour tout amas u = {u1, u2, ..., un}, chaque variable amassée de A(x, Q) est un polynôme de Laurent

de u1, u2, ..., un à coecients entiers non négatifs.

Cette conjecture à déjà été résolue dans plusieurs cas. Elle a été démontrée pour le cas des carquois Q provenant des triangulations de surfaces par Musiker, Schier et Williams [MSW11]. La conjecture a aussi été démontrée pour toutes les algèbres amassées de rang 3 par Kyongyong Lee et Ralf Schier en [LS13]. Aussi, la conjecture a été prouvée pour toutes les algèbres amassées associées aux carquois acycliques par Kimura et Qin [KQ]. Très récemment cette conjecture a été démontrée pour toutes les algèbres amassées anti-symétriques par Lee et Schier [LS]. Cette conjecture reste un problème ouvert dans le cas des algèbres amassées anti-symétrisables.

1.2.2 Algèbres amassées associées à une surface marquée

Dans [FST08] Fomin, Shapiro et Thurston, ont entrepris une étude systématique des algèbres amassées provenant des surfaces marquées. Nous faisons ressortir dans cette section quelques résultats importants à ce sujet.

Soit S une surface connexe et orientée, avec bord, et M un ensemble non vide de points de S, dits marqu´es tels que chaque composante connexe du bord ∂S de S contient au moins un point marqué. La paire (S, M) est appelée surface marqu´ee. Un point marqué à l'intérieur de la surface est appelé une ponction. Nous supposons dans toute la suite, sauf mention contraire, que (S, M) est une surface marquée sans ponctions, c'est-à-dire

Une courbe de S est une application continue de [0, 1] dans S. Une courbe est dite simple si sa restriction à ]0, 1[ est injective. Deux courbes γ et γ _{de S sont dites homotopes}

lorsqu'il existe une application continue H : [0, 1] × [0, 1] −→ S telle que H(t, 0) = γ(t),

H(t, 1) = γ(t). Deux courbes simples γ et γ de S sont dites isotopes s'il existe une

homotopie H qui transforme γ en γ_{, et pour tout x dans [0,1], H(., x) : t −→ H(t, x) est}

une courbe simple.

Dénition 1.12 Un arc dans (S, M) est une classe d'isotopie d'une courbe de S telle que

(a) les extrémités de la courbe sont des points de M ; (b) la courbe ne se coupe pas à l'intérieur de S ;

(c) excepté aux extrémités, la courbe est disjointe de M ;

(d) la courbe n'est pas isotope à une courbe constante en un point de M.

Une courbe γ est appelée un arc de bord s'il est isotope à un arc de ∂S. Autrement, γ est appeléun arc interne. Un lacet est une courbe telle que γ(0) = γ(1). Si γ est une courbe, l'inverse de γ est la courbe γ−1 _{: [0, 1] −→ S dénie par γ}−1_{(t) = γ(1 − t). Un lacet est}

dit contractile s'il est isotope à un lacet constant, une courbe est dite contractile si elle est isotope à une courbe sur le bord.

Dénition 1.13 Une triangulation de (S, M) est une collection maximale d'arcs in-ternes deux à deux non isotopes qui ne s'intersectent pas, excepté peut-être aux extrémi-tés.

Soit T une triangulation de (S, M), et τ un arc de T. Le flip de τ est l'arc τ _non-isotope

à τ tel que T _{= (T \{τ }) ∪ {τ}_{} est une triangulation de (S, M), on note f}

τ(T ) = T.

Deux triangulations T et T _{sont dites flip équivalentes s'il existe une suite nie de ips}

Fomin-Shapiro-Thurston ont montré qu'étant donnée une triangulation de (S, M) on peut lui associer un carquois QT.

Étant donné une triangulation T = {τ1, ..., τn} de (S, M), on lui associe une algèbre

amassée A(T ) de graine initiale ΣT = (xT, QT), où xT = {xτ1, ..., xτn} est un ensemble d'indéterminées. Une algèbre amassée est dite provenir d'une surface si elle a une graine dont le carquois est un carquois associé à une triangulation d'une surface marquée. Une question intéressante est de savoir si deux triangulations donnent lieu à une même algèbre amassée. La réponse à cette question est donnée par Fomin, Shapiro et Thurston [FST08] dans le théorème suivant.

Théorème 1.14 (Fomin-Shapiro-Thurston)

L'algèbre amassée associée à une triangulation de (S, M) ne dépend pas du choix de la triangulation, mais elle dépend uniquement de la surface (S, M).

Dans la littérature scientique, le théorème ci-dessus établit un lien entre les algèbres amassées et les surfaces marquées (S, M). Plus précisement, si (S, M) est une surface marquée et A l'algèbre amassée associée à (S, M) on a le résultat suivant.

Théorème 1.15 (Fomin-Shapiro-Thurston)

(1) Il existe une bijection entre les triangulations de (S, M) et les amas de A.

(2) Il existe une bijection entre les classes d'isotopie des arcs de (S, M) et les variables amassées de A, pour laquelle les triangulations de (S, M) sont en bijection avec les amas de A. En outre, le ip d'un arc correspond à la mutation de la variable amassée corres-pondante.

Soit T une triangulation de (S, M) et γ un arc interne de (S, M) alors il existe une triangulation T _{de (S, M) Contenant γ qui peut s'obtenir par une suite nie de ips}

à partir de la triangulation T dénissant la graine initiale ; par la suite on obtient la variable amassée xγ à l'aide de la suite de mutations correspondante.

1.3 Catégories amassées

Dans cette section, nous supposons connues les notions de catégories, catégories additives et foncteurs. On se xe un corps algébriquement clos K et nous supposons que C est une catégorie K-linéaire et triangulée. On notera C0 les objets de C et indC un ensemble

complet de représentants des objects indécomposables de C.

Dénition 1.16 Soient C et E deux catégories triangulées de suspensions respectives Σ et Σ_{. Un foncteur triangulé F : C −→ E est un foncteur additif qui transforme chaque}

triangle distingué de C en un triangle distingué de E, c'est-à-dire si

X u //Y v //Z w //_ΣX

est un triangle distingué de C, alors

F (X) F(u)//F (Y ) F(v)//F (Z) F(w)//ΣF (X)

est un triangle distingué de E.

Nous dénissons dans cette section la notion de foncteur de Serre introduite par Bondal et Kapranov [BK89].

Soit C une catégorie K-linéaire. Un foncteur K-linéaire Θ : C −→ C est appelé foncteur

de Serre à droite si pour tous objects X, Y de C on a des isomorphismes bifonctoriels

; de manière analogue, un foncteur K-linéaire Θ : C −→ C est appelé foncteur de Serre à gauche si pour tous objects X, Y de C on a des isomorphismes bifonctoriels

HomK(X, Y )∼=DHomK(ΘY, X).

où D=HomK(−, K) est la dualité des K-espaces vectoriels.

Un foncteur K-linéaire qui est à la fois un foncteur de Serre à droite et un foncteur de Serre à gauche est appelé un foncteur de Serre.

Soit d un entier strictement plus grand que 1. La catégorie C est dite d-Calabi-Y au si la puissance d-ème de la suspension est un foncteur de Serre, où d est le plus petit entier tel que Σd _{est un foncteur de Serre. Dans le cas où la catégorie C est triangulée et possède}

un foncteur de Serre, alors C a des triangles presque-Scindée. Nous notons par Γ(C) le carquois d'Auslander-Reiten de la catégorie C.

1.3.1 Catégorie amassée associée à un carquois acyclique

La catégorie amassée associée à un carquois acyclique est l'oeuvre de Buan, Marsh, Reineke, Reiten et Todorov [BMR+_06].

Dans cette partie, nous supposons que Q est un carquois ni, connexe et acyclique. Étant donné un corps algébriquement clos K, on désigne par KQ l'algèbre de chemins de Q et modKQ la catégorie des KQ-modules à droite de type ni. Pour ce qui concerne les propriétés de la catégorie modKQ et son carquois d'Auslander-Reiten noté Γ(modKQ) nous renvoyons le lecteur à [ASS06]. Nous notons Db_{(modKQ) la catégorie dérivée bornée}

sur modKQ; de manière plus explicite, Db_{(modKQ) est la catégorie des complexes de}

KQ-modules de type ni localisée par les quasi-isomorphismes, voir [Gri95], et pour la

description de cette catégorie nous référons à [Hap88]. Un objet de Db_{(modKQ) est une}

suite X = (Xn_{, d}n

et dn

X : Xn −→ Xn+1 des morphismes de modKQ vériant dnX+1 ◦ d n

X = 0 pour tout

n∈ Z. Un morphisme f : X −→ Y de Db_{(modKQ) est une suite (f}n₎

n∈Z de morphismes

fn _{: X}n _{−→ Y}n_{, n ∈ Z tels que d}n

Y ◦ fn = fn+1 ◦ dnX. La suspension [1] est dénie de

Db_{(modKQ) dans D}b_{(modKQ) sur les objets par (X}n_{, d}n

X)n∈Z)[1] = (Xn+1,−dnX+1)n∈Z;

et pour un morphisme de complexe f : X −→ Y , on dénit la suspension f[1] : X[1] −→

Y [1] par f[1]n= fn+1.

La catégorie Db_{(modKQ) est triangulée, Hom-nie, de Krull-Schmidt, possède un}

fonc-teur de Serre et donc des triangles d'Auslander-Reiten. Lorsque KQ est une K-algèbre héréditaire de dimension nie. L'algèbre de chemin KQ est de dimension nie puisque

Q est un carquois ni et acyclique. Le carquois d'Auslander-Reiten Γ(Db_{(modKQ)) de}

Db_{(modKQ) est connu, voir les travaux de Happel en [Hap88].}

À tout KQ-module indécomposable de type ni M, on associe un complexe concentré en degré zéro en posant M0 _{= M, M}i _{= 0 si i = 0 et toutes les diérentielles nulles. Ainsi,}

tout KQ-module indécomposable de type ni est vu comme un complexe indécomposable. La réciproque est le résultat suivant de Happel [Hap88].

Théorème 1.17 ([Hap88])

Soit KQ une algèbre héréditaire de dimension nie. Alors tout complexe indécomposable de Db_{(modKQ) est isomorphe à un complexe indécomposable concentré.}

Ainsi, les indécomposables de la catégorie Db_{(modKQ) sont donnés par M}•_{[i] avec i ∈ Z}

et M un indécomposable de mod(KQ).

Dénition 1.18 Soit C une catégorie K-linéaire,triangulée et Θ : C −→ C un foncteur de Serre. On appelle catégorie d'orbites de C par S la catégorie C/Θ dénie par : -ses objets sont donnés par ˜M = {Θi_{M|i ∈ Z, M ∈ C}

0},

HomK( ˜X, ˜Y )=



i∈Z

Hom (X, Θi

Y ).

- La composition des morphismes est donnée par le produit des matrices correspondantes .

On sait que la catégorie Db_{(modKQ) est munie d'un foncteur de translation}

d'Auslander-Reiten τ et le décalage [1] sont des automorphismes. La composition τ−1_{[1] est donc un}

foncteur de Serre dans Db_{(modKQ). Nous pouvons donc dénir la catégorie d'orbites de}

Db_{(modKQ) par τ}−1_{[1]. La dénition suivante est de Buan, Marsh, Reineke, Reiten et}

Todorov [BMR+_06].

Dénition 1.19 On appelle la catégorie amassée associée au carquois acyclique Q, la catégorie d'orbites CQ= Db(modKQ)/τ−1[1].

Soit Q un carquois acyclique. Soit ind(KQ) un ensemble de représentants de toutes les classes d'isomorphismes des objets indécomposables de modKQ. Pour chaque sommet i de Q, on note Pi le KQ-module indécomposable projectif correspondant.

Théorème 1.20 ([BMR+_06])

Soit Q un carquois connexe, ni et acyclique. Alors CQ est une catégorie Hom-nie,

de Krull-Schmidt et ind(CQ) = { ˜M , M ∈ ind(modKQ)} ∪ { ˜Pi[1], i ∈ Q0}.

La dénition de CQ induit la projection π : Db(mod(KQ))−→ CQ qui, à un objet M de

Db_{(modKQ) associe son orbite ˜M = π(M) sous l'action de τ}−1_[1].

En général, une catégorie d'orbites d'une catégorie triangulée n'est pas triangulée. Par example, il a été vérié en [Kel05] que, si on considère l'anneau des nombres duals A =

K[X]/(X2), la catégorie Db_{(mod(A)) est triangulée, et Θ = [2] est un foncteur de Serre ;}

Cependant, dans le cas de la catégorie CQ nous avons le résultat suivant de Keller qui est

énoncé en toute généralité à la section 4, page 4 dans [[Kel05], Théorème]. Théorème 1.21 (Keller)

Soit Q un carquois ni, connexe et acyclique. Alors la catégorie amassée CQ possède

une structure triangulée telle que le foncteur de projection π : Db_{(mod(KQ))−→ C} Q est

triangulé.

Nous décrivons maintenant le carquois d'Auslander-Reiten Γ(CQ) de la catégorie CQ.Un

objet indécomposable ˜M de CQ est dit transjectif s'il existe un entier k ∈ Z et i ∈ Q0

tel que ˜M [k] = ˜Pi[1]. Un object arbitraire de CQ est dit transjectif si tous ses facteurs

directs sont transjectifs. Un objet indécomposable de CQ qui n'est pas transjectif est

dit régulier. Le carquois d'Auslander-Reiten Γtr(CQ) de la sous-catégorie pleine de CQ

dont les objets indécomposables sont des indécomposables transjectifs est la composante connexe de Γ(CQ).

Exemple 1.22 Considérons le carquois Q donné par : 1 ← 2 ← 3. Le carquois d'Auslander-Reiten de CQ est donné par :

˜ P_3[1] $$H H H P˜3[0] ##G G G P˜1[1] $$H H H P˜1[0] $$H H H S˜2[0] . . . _P˜ 2[0] ::vv v $$H H H I˜2[0] ;;ww w ##G G G P˜2[1] ::vv v $$H H H P˜2[0] ::vv v $$H H H . . . ˜ P_1[0] ::vv v ˜ S_2[0] ;;ww w ˜ I_3[0] ::vv v ˜ P_3[1] ::vv v ˜ P_3[0]

Dans ce carquois, nous signalons qu'on identie les sommets de même étiquettes, ce qui donne un ruban de Möbius.

Dénition 1.23 Un objet T de CQ est dit inclinant amassé s'il satisfait aux conditions

suivantes :

(a) Hom_CQ(T, T [1]) = 0 ;

(b) si M est un objet de CQ tel que Hom_CQ(M, T [1]) = 0, alors M ∈ addT .

Une question importante reste de savoir quelle relation doit exister entre deux carquois

Q et Q pour que les catégories CQ et CQ soient équivalentes en temps que catégories

triangulées. Le résultat suivant de Keller fournit une réponse à cette question. Théorème 1.24 [Kel05]

Soient Q et Q _{deux carquois nis, connexes et acycliques. Alors les catégories}

amas-sées CQ et CQ sont équivalentes en tant que catégories triangulées si et seulement si Q

et Q _{sont équivalents par mutations.}

1.3.2 Lien avec les représentations

Soit Q un carquois ni de sommets {1, 2, ..., n}. Une représentation de Q est la donnée d'une famille d'espaces vectoriels (Vi)i∈Q0 de dimension nie et d'une famille

d'applica-tions linéaires Vα : Vi −→ Vj pour toute èche α : i → j de Q. Soient V = (Vi)i∈Q₀ et

W = (Wi)i_∈Q0 deux représentations de Q, on appelle morphisme de V dans W la donnée

de f = (fi)i∈Q₀ telle que fi : Vi −→ Wi est une application linéaire et pour tout α : i → j

on a le diagramme commutatif suivant.

Vi f_{i //} V_α  Wi W_α  Vj f_j //Wj

Les représentations de Q et leurs morphismes forment une catégorie notée rep(Q). La catégorie rep(Q) est une catégorie abélienne, équivalente à la catégorie mod(KQ). Soit R l'idéal bilatère de KQ engendré par toutes les èches de Q. Un idéal bilatère I de

KQ est dit admissible s'il existe un entier m ≥ 2 tel que Rm ⊂ I ⊂ R2.

Dénition 1.25 Soit Q un carquois ni et I un idéal admissible de KQ. L'algèbre A =

KQ/I est dite une algèbre de cordes si les conditions suivantes sont vériées :

• tout sommet x de Q a au plus deux èches entrantes et au plus deux èches sortantes ;

• pour toute èche α ∈ Q1 il existe au plus une èche β ∈ Q1 de source t(α) et au plus

une èche γ ∈ Q1 de but s(α) telle que αβ ∈ I et γα ∈ I.

Suivant [AS1] nous disons qu'une algèbre A de dimension nie est aimable si elle admet une présentation A = KQ/I vériant les conditions suivantes :

(A1) tout sommet de Q a au plus deux èches entrantes et au plus deux èches sortantes (A2) l'idéal I est engendré par des chemins de longueur 2

(A3) pour toute èche α ∈ Q1 il existe au plus une èche β ∈ Q1 de source t(α) et au

plus une èche γ ∈ Q1 de but s(α) telle que αβ ∈ I et γα ∈ I

(A4) pour toute èche α ∈ Q1 il existe au plus une èche β ∈ Q1 de source t(α) et au

plus une èche γ ∈ Q1 de but s(α) telle que αβ /∈ I et γα /∈ I

Remarque 1.26 Toute algèbre aimable est une algèbre de cordes. Soit ω la marche de Q dénie comme dans [BR87], donnée par

La marche ω est une corde si αi+1 = α−1i , 1 ≤ i ≤ n − 1, et aucune sous-marche de

ω ni son inverse n'appartient à I. Une bande est une corde cyclique b, telle que bn _est

une corde pour tout n > 1, mais b n'est pas une puissance d'une corde de longueur plus petite.

1.3.3 L'application de Caldero-Chapoton-Keller

Soit Q un carquois connexe, acyclique et ni, CQ la catégorie amassée associée à Q et

A(Q) l'algèbre amassée associée à Q, avec Q0 = {1, ..., n}. Un ob jet T de C est dit rigide

si HomC(T, T [1]) = 0. Nous rappelons qu'un objet T de CQ est dit inclinant amass´e s'il

est rigide et pour tout objet X de CQ, l'égalité HomC(X, T [1]) = 0 implique X ∈addT .

Remarques 1.27 Si T est un objet inclinant amassé sans multiplicité de CQ et |Q0| = n,

alors T = T1⊕T2⊕...⊕Tn, où les Ti, 1 ≤ i ≤ n, sont des facteurs directs indécomposables

deux à deux non-isomorphes.

Soit A(Q) = A(x, Q) l'algèbre amassée de graine initiale (x, Q), avec x = {x1, ..., xn}. Il

existe une application XQ

? de CQ vers l'anneau des polynômes de Larent Z[x±1₁ , ..., x±1n ]

appelée application de Caldero-Chapoton-Keller qui à tout objet indécomposable rigide

M associe la variable amassée X_MQ, et qui vérie : pour tout i ∈ Q₀, XQ_˜

P_i = xi et pour

tout objet M,N de CQ, on a X_MQ_⊕N = X_MQX_NQ.

On signale aussi que si M ∼= N, alors XMQ = X Q M.

Cette application induit une bijection entre l'ensemble des objets inclinants amassés de CQ vers l'ensemble des amas de A(Q). Plus explicitement, si T = T₁⊕ T₂⊕ ... ⊕ Tn est

un objet inclinant amassé de CQ où T1, ..., Tn sont des facteurs indécomposables deux à

deux non-isomorphes, on lui associe l'amas xT = {xT₁, ..., xT_n} de A(Q). En particulier,

Nous avons aussi la formule de multiplication suivante donnée par Caldero et Keller par le résultat suivant.

Théorème 1.28 [CK06]

Soit Q un carquois acyclique, M et N des objets dans CQ tels que Ext1(M, N) = K.

Alors XQ MX Q N = X Q B + X Q

B où B et B sont des uniques termes centraux des triangles

non-scindées

M //B //N //ΣM[1] et

M //B //N //ΣM[1] .

Pour plus de détails nous renvoyons aux articles [CC] [CK06] [CK08] [FK10]

1.3.4 Caractères d'amas de Palu

Soit T un objet inclinant amassé de CQ, Palu a déni une application X_?T de (CQ)₀à valeur

dans l'anneau des polynômes de Larent Z[x±1

1 , ..., x±1n ], appelée caractère d'amas telle que :

pour tout i ∈ Q0, XTT˜_i = xi et pour tout objet M,N de CQ, on a X

T

M⊕N = XMT XNT. De

même, XT

? induit une bijection de indCQ vers l'ensemble des variables amassées de A(Q).

Aussi le caractère d'amas de Palu associé à T vérient la même formule de multiplication que celle vériée par l'application Caldero-Chapoton-Keller [ [Pal08], Théorème 1.4]. Pour en savoir plus sur les caractères d'amas, nous référons à [Pal08].

1.3.5 Catégorie amassée associée à une surface marquée (S, M)

Dans [FST08] Fomin, Shapiro et Thurston associent à une triangulation Γ de (S, M) un carquois QΓ. Un triangle interne d'une triangulation Γ est un triangle dont tous les

côtés sont des arcs internes de Γ. Soit (S, M) une surface marquée et Γ une triangulation ayant au moins un triangle interne. Chaque triangle interne Δ donne un cycle orienté

α_Δβ_Δγ_Δ dans Q_Γ (à permutation cyclique près des facteurs α_Δ, β_Δ, γ_Δ). On dénit

W_{Γ =} 

Δ

α_Δβ_Δγ_Δ où la somme parcourt tous les triangles internes de Γ. Alors W_Γ est

un potentiel au sens de Derksen-Weyman-Zelevinsky ([DWZ08], [DWZ10]) et le couple (QΓ, WΓ) est appelé carquois à potentiel. La dénition ci-dessus d'un potentiel a été

introduite par Keller dans [Kel11], pour une dénition plus générale des potentiels et leurs propriétés, nous renvoyons à [DWZ08] et [DWZ10].

Soit IΓ l'idéal de l'algèbre des chemins KQΓ de QΓ engendré par tous les chemins αΔβΔ,

β_Δγ_Δ et γ_Δα_Δavec Δ parcourant tous les triangles internes de Γ. Nous dénissons

main-tenant la notion d'algèbre Jacobienne introduite par Ginzburg [Gin].

Dénition 1.29 L'algèbre Jacobienne de (QΓ, WΓ) est le quotient KQΓ/IΓ.

Pour plus de détails sur les algèbres Jacobiennes et leurs propriétés, nous renvoyons à ( [Gin],[DWZ08],[DWZ10], [Kel11]).

Le lemme suivant dû à Assem, Brüstle, Charbonneau-Jodoin et Plamondon établit un lien entre algèbres Jacobiennes et algèbres de [ABCJP10].

(S, M) et WΓ le potentiel associé à Γ. Alors l'algèbre Jacobienne J(QΓ, WΓ) est une

algèbre aimable.

Nous mentionnons sans donner des détails que si Γ est une triangulation, et (QΓ, WΓ)

son carquois avec potentiel, on lui associe une catégorie CΓ Hom-nie, 2-Calabi-Yau et

triangulée, pour plus de détails nous reférons à [Ami09] . La remarque qui suit est un résultat de Keller et Yang [[KY], Théorème 3.2].

Remarque 1.31 Si Γ et Γ _{sont deux triangulations de la surface (S, M) alors les}

caté-gories CΓ et CΓ sont équivalentes en tant que catégories triangulées.

La catégorie CΓ (à équivalence triangulée près) ne dépend donc pas du choix d'une

tri-angulation de (S, M). On la note C(S,M) et l'appelle la catégorie amass´ee associée à la

surface (S, M).

Théorème 1.32 ([KZ08])

Soient (S, M) une surface marquée, Γ une triangulation de (S, M) et (QΓ, WΓ) un

car-quois avec potentiel dont l'algèbre Jacobienne J(QΓ, WΓ) est de dimension nie. Alors il

existe un objet inclinant amassé TΓ tel que la catégorie CΓ/add(TΓ) soit équivalente à la

catégorie modJ(QΓ, WΓ), des modules de dimension nie sur J(QΓ, WΓ).

La catégorie C(S,M) dénie au moyen d'un carquois à potentiel n'est pas toujours facile

à manipuler dans la pratique, à part quelques cas isolés. Dans [BZ11] Brüstle et Zhang exhibent une description explicite de la catégorie C(S,M) en termes géométriques. Avant

de présenter cette description, nous rappelons quelques notions géométriques qui seront utilisées. En particulier, nous décrirons le carquois d'Auslander-Reiten de la catégorie C(S,M) en termes géométriques.

Dans la suite de ce chapitre, sauf mention contraire un arc δ de (S, M) désignera une courbe non-contractile qui n'est pas isotope à un segment de bord. Les arcs de S seront considérés sans orientation.

On note π1(S, M) le groupe fondamental de la surface (S, M) déni comme dans [Bob11]

et π∗

1(S, M) le groupe fondamental privé de son élément neutre. On désigne par ∼ la

relation d'équivalence dans π∗

1(S, M) engendrée par l'identication a ≈ a−1 et la

permu-tation cyclique. Le résultat suivant de Brüstle et Zhang [BZ11] donne la description des indécomposables de C(S,M).

Théorème 1.33 (Brüstle-Zhang)

Les indécomposables de C(S,M)sont donnés par des objets cordes et des objets bandes

dénis comme suit :

(1) L'ensemble des objects cordes est en bijection avec l'ensemble des arcs de (S, M). (2) L'ensemble des objects bandes est en bijection avec l'ensemble K∗_{× π}∗

1(S, M)/ ∼, où

K∗ _{= K \ {0}.}

Étant donné un arc γ de (S, M), nous désignons par sγ la courbe obtenue à partir de γ

en déplaçant le point initial de la courbe vers le prochain point marqué sur la frontière dans le sens horaire. De même, en déplaçant le point but de la courbe γ dans le sens horaire, le long de la frontière à l'autre point marqué suivant sur la frontière donne une nouvelle courbe γe. Nous mentionnons qu'un arc de bord ou un arc trivial correspond à

l'objet nul de C(S,M). Ces mouvements créent des morphismes irréductibles dans C(S,M)

et nous avons la description des triangles d'Auslander Reiten donnée dans le théorème suivant de [BZ11].

Théorème 1.34 ([BZ11])

comme suit : γ −→sγ⊕γe−→sγe−→ γ[1]. De plus tous les triangles d'Auslander-Reiten

entre des objets cordes de C(S,M) sont de cette forme.

([BZ11]) Nous avons un résultat similaire pour décrire les triangles d'Auslander-Reiten entre les objets bandes.

Théorème 1.35 ([BZ11]) Soit (λ, bm

) un objet bande de C(S,M), où λ ∈ K∗, and bm ∈ π1∗(S, M) avec m ≥ 1 et b

n'est pas une puissance d'un élément de π∗

1(S, M). Alors il existe un triangle

d'Auslander-Reiten dans C(S,M) déni comme suit :

(λ, bm) −→ (λ, bm+1) ⊕ (λ, bm−1) −→ (λ, bm) −→ (λ, bm)[1],

où (λ, b0_{) est l'objet nul de C}

(S,M). En particulier, tous les objets de bande sont de la

forme ci-dessus.

Le corollaire suivant établit un lien entre les triangulations de la surface (S, M) et les objets inclinants amassés de C(S,M); en fait ce résultat est vu comme l'analogue de

l'ap-plication de Caldero-Chapoton-Keller.

Corollaire 1.36 Il existe une bijection entre les triangulations de la surface (S, M) et les objets inclinants amassés de C(S,M).

CHAPITRE 2

Algèbres amassées provenant de

l'inni-gone

Dans ce chapitre, nous dénissons en toute généralité les algèbres amassées sur des car-quois innis et localement nis, en particulier nous étudions celles dénies sur des carcar-quois de type A∞ et celles provenant des triangulations de l'inni-gone. Nous caractérisons des

algèbres amassées sur des carquois de type A∞ comme des sous-anneaux particuliers

d'un produit d'algèbres amassées judicieusement choisies de type An. Nous décrivons les

algèbres amassées provenant de l'inni-gone et montrons qu'elles n'ont pas les mêmes pro-priétés combinatoires de celles provenant des surfaces marquées. Dans cet ordre d'idées, Fomin, Shapiro et Thurston ont montré qu'une algèbre amassée provenant d'une triangu-lation d'une surface (S, M) dépend uniquement de la surface (S, M) et non du choix d'une triangulation. Après avoir montré l'invalidité de ce résultat dans le cas de l'inni-gone, nous donnons une classication complète des algèbres amassées provenant de l'inni-gone en termes de types de triangulations de l'inni-gone dénies plus tard. Nous établissons enn le lien entre les algèbres amassées de type A∞ et les algèbres amassées provenant

de l'inni-gone.

2.1 Construction des algèbres amassées sur un

car-quois inni

2.1.1 Notations et dénitions fondamentales

Soit Q un carquois, Q0 son ensemble de sommets et Q1 son ensemble de èches. Étant

donné un sommet i de Q0, on rappelle que i+ = {α ∈ Q1|s(α) = i} et i− = {α ∈

Q₁|t(α) = i}. Nous disons que le carquois Q est localement fini si pour chaque i ∈ Q₀,

les ensembles i+ _{et i}− _{sont nis. Et Q est d´enombrable si Q}

0 est dénombrable.

Dans toute la suite de ce chapitre, nous supposons que Q est un carquois localement ni, dénombrable sans boucles ni 2-cycles ; Q est le corps des rationnels, et x = {xn, n≥ 1},

avec (xn)n_≥1 des indéterminées algébriquement indépendantes sur Q. Alors F = Q(x) est

le corps engendré librement par x = {xn, n ≥ 1}. On dénit la mutation d'un carquois

dénombrable localement nie de la même façon que pour un carquois ni. Aussi la muta-tion d'un amas dénombrable est dénie par la même formule que dans le cas d'un amas ni.

De même comme dans le cas des carquois nis, μk(Q) est encore un carquois connexe

sans p-cycles, avec p ≤ 2 et l'opération μk est une involution.

Une graine dans F est un couple (z, ˜Q) avec z = {zn, n≥ 1} une base de transcendence

de F et Q un carquois dénombrable localement ni, avec Q0 = {n, n ≥ 1}.

On vérie comme dans le cas d'un carquois ni que μ2

k(x, Q) = μk(x, Q).

apparaît dans la graine (u, R), obtenue à partir de la graine initiale par une suite nie de mutations. Les variables amass´ees sont les éléments des amas. On note X l'ensemble de toutes les variables amassées obtenues par toutes les suites nies de mutations.

Dénition 2.1 L'alg`ebre amass´ee de graine initiale (x, Q) est la sous Z-algèbre B(x, Q) = Z[X] du corps ambiant F engendrée par X .

2.1.2 Système projectif d'algèbres amassées

1 2 3 ... n− 1 n ....

Soit X = {xn, n≥ 1} une famille dénombrable d'indéterminées.

On note B = A(x, Q) l'algèbre amassée de graine initiale (x, Q).

Notre objectifdans cette partie est de donner une nouvelle construction de l'algèbre amassée B = A(x, Q) qui présente la liste complète des variables amassées, chacune étant donnée par une formule explicite.

On désigne par −→An le carquois de type An donné par : 1 −→ 2 −→ 3 −→ · · · −→ n

et par xn _{= {x}

1, x2, ..., xn} l'ensemble des variables attachées aux sommets de

− →

An. Soit

Fn _{= Q(x}

1, x2, ..., xn) le corps des fractions rationnelles en xi. Soit Xn l'ensemble de

toutes les variables amassées obtenues par toutes les suites nies de mutations de la graine initiale (xn_,−→_A

n). Ces données dénissent une algèbre amassée An = A(xn,−→An) de

graine initiale (xn_,−→_A

n). Nous rappelons que le phénomène Laurent stipule que pour tout

amas u = {u1, u2, ..., un}, chaque variable amassée de An s'exprime comme un polynôme

de Laurent en ui, avec 1 ≤ i ≤ n, c'est-à-dire, chaque variable amassée se met sous la

p(u1, u2, ..., un) n  l₌₁ udl l

où p ∈ Z[x1, x2, ..., xn] et dl ≥ 0 pour tout l, avec 1 ≤ l ≤ n.

Soient maintenant deux entiers strictement positifs i, j, avec i ≤ j. Nous dénissons l'application pi,j : Aj −→ Ai sur les générateurs de Aj comme suit :

pi,j ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ p(x1, x2, ..., xi, xi+1, ..., xj) j  l₌₁ xdl l ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠= p(x1, x2, ..., xi, 1, ..., 1) i  l=1 xdl l .

Comme pi,j est une évaluation, c'est un morphisme de Z-algèbres. Nous avons alors

pi,i = id_Ai et pour i < j, pi,j = pi,i+1 ◦ pi+1,i+2 ◦ ... ◦ pj−1,j. Ainsi, si i ≤ j ≤ k alors

pi,j ◦ pj,k = pi,k. Notre premier objectif est de montrer que si i ≤ j, alors pi,j est un

morphisme surjectif de Aj _{vers A}i_.

Proposition 2.2 Avec des notations ci-dessus, Ai _{= Z[p}

i,j(Xj)]. En particulier, pi,j est

un morphisme surjectif de Z-algèbres de Aj _{à A}i_.

Preuve. Nous rappelons que pour deux entiers strictement positifs i, j, avec i ≤ j. Nous dénissons l'application pi,j : Aj −→ Ai sur les générateurs de Aj comme suit :

pi,j ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ p(x1, x2, ..., xi, xi+1, ..., xj) j  l=1 xdl l ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠= p(x1, x2, ..., xi, 1, ..., 1) i  l=1 xdl l .

Nous avons alors les égalités suivantes : pi,i = id_Ai et pour i < j, pi,j = pi,i₊₁ ◦ pi_+1,i+2◦

En vertu des égalités ci-dessus, il sut de montrer que pour tout n ≥ 2, on a An₋₁

=

Z[pn−1,n(Xn)]. Pour cela, nous procédons par récurrence sur n.

Supposons premièrement que n = 2.

Dans ce cas nous connaissons les expressions explicites de A1 _{et A}2_.

On a A2 _{= Z[x} 1, x2,1+xx12, 1+x1+x2 x1x2 , 1+x1 x2 ] et A 1 _{= Z[x} 1,x21]. L'application p1,2 : A 2 _{−→ A}1

est dénie sur les générateurs par :

p_{1,2(x1) = x1}, p_{1,2(x2) = 1, p1,2(}1+x2

x₁ ) = x2₁, p1,2(1+xx1₁+x2) = 1+x2₁,and p1,2(1+xx₂1) = 1+x1.

Nous avons bien A1 _{= Z[p}

1,2(X2)] et aussi p1,2 : A2 −→ A1 est un morphisme surjectif de

Z-algèbres.

Nous supposons maintenant que pour tout j < n on a Aj−1 _{= Z[p}

j−1,j(Xj)] et montrons

que An−1 _{= Z[p}

n_−1,n(Xn)]. Pour cela, nous utilisons la catégorication des algèbres

amas-sées An_{,et A}n_{−1,comme dans [BMR+06]. On sait que pour les algèbres amassées de type}

ni, il existe une bijection entre les objets indécomposables de la catégorie amassée et les variables amassées de l'algèbre amassée via l'application Caldero-Chapoton-Keller . Nous rappelons à cet eet que le carquois d'Auslander-Reiten Γn_{de la catégorie amassée}

attachée à An _{est de la forme}

. . . !!B B B B B . !!B B B B B y0,n ##H H H y1,n ##H H H · %%K K K K K K . . . . !!B B B ==|| | | | _... !!C C C C C =={ { { _y 1,n−1 ##H H H H ;;vv v y2,n−1 %%K K K K K 99 · ##H H H H H ;;v v v v v . . .||| ==|| !!B B B y0,3 ==| | | !!B B ... ;;v v v v ##H H H H H . ;;v v v v ##H H H H 99 %%K K K K K . . . y0,2 ==|| !!B B y1,2 =={ { { !!C C ... ;;v v v v v ##H H H H H yn−2,2 99s s s s s %%K K K yn−1,2 ;; ##H H H y0,1 ==|| y1,1 ==|| y2,1 ;;v v v v ...vvv;;v yn−1,1 99ss s yn,1

avons alors y0,i = xi pour i tel que 1 ≤ i ≤ n; et nous notons yi,j les variables amassées de

An_{. En vertu de la dualité de Calabi-Yau de la catégorie amassée, on a y}

0,i = yi+1,n−i+1,

avec 1 ≤ i ≤ n.

Nous notons Γn−1 _{le carquois d'Auslander-Reiten de la catégorie amassée associée à}

l'algèbre amassée An−1_{. Il est de la forme}

. . . < < < < < . < < < < < y0,n−1 ##G G y1,n−1 ##G G · ##G G G G G G G . . . . < < < < AA    _... !!B B B B B B ==| | | | _y 1,n−2 ##G G G G G ;;w w y 2,n−2 ##G G G G G ;; · ##G G G G G G G ;;w w w w w w w . . . AA    < < < < y0,3 AA  < < ... ;;w w w w ##G G G G G G . ;;w w w w w ##G G G G G ;; ##G G G G G . . . y 0,2 AA < < y1,2 ==| | | | !!B B ... ;;w w w w w w w ##G G G G G G yn−3,2 ;;w w w w w ##G G yn−2,2 ;; ##G G y 0,1 AA y 1,1 AA y 2,1 ;;w w w w w ...www;;w y n−2,1 ;;w w y n−1,1

où nous identions encore chaque point de Γn_{−1 avec la variable amassée correspondante.}

D'où y

0,i = xi pour tout i tel que 1 ≤ i ≤ n − 1; et nous notons yi,j les variables amassées

de An_{−1.En vertu de la dualité de Calabi-Yau de la catégorie amassée, on a y}

0,i = yi_+1,n−i,

avec 1 ≤ i ≤ n − 1.

Nous disons que le point yi,j de Γn est stable si pn_−1,n(yi,j) = yi,j. Tous les points y0,i,

avec 1 ≤ i ≤ n − 1 sont stables. Il s'ensuit en vertu de la dénition de mutation que, pour chaque couple (i, j) tel que i + j ≤ n − 1, le point yi,j est stable, c'est-à-dire que

yi,j = yi,j .

En particulier xn n'apparaît pas dans y0,j, 1 ≤ i, s ≤ n − 1, donc y0,j(1) = y



0,j = xj.

Il reste à considérer les points de l'ensemble {yi,j/n≤ i + j ≤ n + 1} de Γn.

La preuve de cette proposition sera complète après les trois étapes suivantes (a) (b) (c).

(a) On rappelle que la démonstration est faite pour les points de l'ensemble {yi,j/n ≤

i + j ≤ n + 1} à part le point yn,1.

En premier on prétend que, si i + j = n et n ≥ 1, alors yi,j(1) = y



i,j; pour le démontrer,

nous procédons par récurrence sur i.

Si i = 1, nous avons y1,n−1= 1+yy1,n−2_0,n−1y0,n et aussi

y_{1,n−1(1) =} 1 + y1,n−2y0,n y_0,n−1 (1)

= 1 + y1,n−2

y_0,n−1

= y_1,n−1

où nous utilisons la stabilité de y0,n−1 et y1,n−2.

Supposons maintenant que le résultat est vrai pour tout i ≤ n − 1, alors yi+1,n−i−1 =

1+yi+1,n−i−2y_i,n−i y_i,n−i−1 .

Donc

yi_+1,n−i−1(1) = 1 + y

i+1,n−i−2yi,n−i

yi,n−i−1

(1)

= 1 + yi+1,n−i−2(1)yi,n−i(1)

yi,n_−i−1(1)

= 1 + y



i_+1,n−i−2yi,n_−i

y_i,n−i−1

= yi_+1,n−i−1

où nous utilisons l'hypothèse de récurrence et la stabilité de yi+1,n−i−2 et yi+1,n−i−1. Ceci

établit notre armation.

Pour terminer cette étape on traite le cas i = n. Dans ce cas on a yn,1 = 1+y_yn−1,1n−1,2.

Nous avons alors yn,1(1) = 1 + y n−1,2 yn_−1,1 (1) = 1 + yn−1,2 yn−1, = yn,1

(b) Ensuite on considère le cas particulier de la variable y1,n.Puisque y1,n= 1+yy_0,n1,n−1, nous

avons :

y_{1,n(1) =} 1 + y1,n−1(1)

y_0,n(1)

= 1 + y_1,n−1

en utilisant le point (a).

(c) Enn, nous prouvons que, si i + j = n + 1 et i ≥ 2, alors pn−1,n(yi,j) = y_0,i+ yi,n−i.

Supposons en premier que i = 2, alors y2,n−1y1,n−1= 1 + y1,ny2,n−2 est vériée.

y_{2,n−1(1) =} 1 + y1,n(1)y2,n−2(1) y_1,n−1(1) = 1 + (1 + y  1,n−1)y2,n−2 y_1,n−1 = 1 + y  2,n−2 y_1,n−1 + y  2,n−2 = y_0,1 + y_2,n−2

où nous utilisons les étapes (a), (b) et la dualité de Calabi-Yau.

Nous signalons que, dans le cas où la spécialisation donne une variable amassée, la spé-cialisation et la mutation commutent.

Finalement, si i ≥ 3, alors

yi_+1,n−i(1) = 1 + y

i+1,n−i−1(1)yi,n−i+1(1)

yi,n−i(1)

= 1 + y



i+1,n−i+1(y0,i + yi,n−i)

y_i,n _−i

= 1 + y



i+1,n−i+1yi,n−i

y_i,n−i + y



i+1,n−i+1

= y_0,i+1+ yi+1,n−i+1

Ceci complète la preuve de notre armation. Enn, il s'ensuit de (a)(b)(c) que An−1 _{= Z[p}

n−1,n(Xn)] comme nous l'avons déclaré.

Nous voulons montrer que chaque pi,j est un morphisme amassé au sens de Assem,

Dupont et Schier [ADS13].

Pour dénir les morphismes amassés, nous avons besoin de reproduire les dénitions d'al-gèbres amassées enracinées et les morphismes amassés enracinés introduits en [ADS13]. Dénition 2.3 Une graine enracinée est un triplet Σ = (X, ex, B) tel que :

(1) X est une famille d'indéterminées indexées par Z, appelé amas de Σ;

(2) ex ⊂ X est un sous-ensemble de X dont les éléments sont appelés variables échan-geables de Σ;

(3) B = (bx,y)x,y∈X ∈ MX(Z) est une matrice anti-symétrique appelée matrice d'échange

de Σ.

Les éléments de X\ex sont appelés des variables gel´ees. Une graine Σ = (X, ex, B) est dite sans coecients si X = ex, et dans ce cas on écrit simplement Σ = (X, ex, B). Étant donnée une graine Σ = (X, ex, B), le corps FΣ = Q(x | x ∈ X) est appelé le corps