X.B Isométries vectorielles

Lycée Jean Perrin

Classe deTSI₁ 2017/2018 08/01/18 au 12/01/18

Colles : semaine 14

X Espaces euclidiens

X.A Matrices orthogonales

Matrices orthogonales, caractérisation par l'égalité A^TA = In ou par le fait que les colonnes forment une base orthonormée deRⁿ pour le produit scalaire :

∀X, Y ∈ Mn,1(R), (X|Y) =X^TY Groupe orthogonalO(n)(la dénition d'un groupe n'est pas exigible des étudiants).

X.B Isométries vectorielles

Isométries vectorielles, groupe orthogonal O(E). Caractérisation par la conservation du produit scalaire. Matrice dans une base orthonormée, déterminant. GroupeSO(E)des isométries positives, isométries négatives. Espace vectoriel euclidien orienté, valeurs propres d'une isométrie vectorielle.

Si un sous-espaceF est stable par une isométrie vectorielle, son orthogonalF^⊥ est stable par cette isométrie.

X.C Classication des isométries vectorielles en dimension 2 X.D Classication des isométries vectorielles en dimension 3

Démonstrations à connaître (pas plus de 15-20 minutes) :

Si f ∈ L(E)et si la matrice de f dans une base orthonormée est orthogonale, alors detf =±1 et f est une isométrie vectorielle.

Sif est une isométrie vectorielle, alorsSpecf ⊂ {−1,1}, et si−1et1sont valeurs propres, alors les sous-espaces propres correspondants sont orthogonaux.

Dans une base orthonormée directe de R², une isométrie positive a une matrice de la forme a −b b a

, avec a²+b²= 1.aetb sont indépendants de la base orthonormée directe choisie.