• Aucun résultat trouvé

Isométries et similitudes vectorielles, groupe orthogonal

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "Isométries et similitudes vectorielles, groupe orthogonal"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

Préparation à l’agrégation 2017 – 2018 ENS de Lyon

Isométries et similitudes vectorielles, groupe orthogonal

Exercice 1(Caractérisations des isométries vectorielles, Berger T. 2 sect. 8.1). Soitϕ:E →F une application ensembliste entre espaces vectoriels euclidiens de même dimension, montrer que les propositions suivantes sont équivalentes.

• ∀x, y∈E,hϕ(x), ϕ(y)iF =hx , yiE.

• ϕest linéaire et ∀x∈E,kϕ(x)kF =kxkE.

Exercice 2 (Centre du groupe orthogonal, Berger T. 2 sect. 8.2). Soit (E,h·,·i) un espace euclidien, déterminer le centre deO(E) et le centre deSO(E).

Exercice 3 (Générateurs du groupe orthogonal, Berger T. 2 sect. 8.4). Soit (E,h·,·i) un espace euclidien, soientϕ∈O(E) etr:= rg(ϕ−Id).

1. Montrer queϕest produit de r réflexions et que ce nombre est minimal.

2. Sidim(E)>3 etϕ∈SO(E), montrer queϕest produit d’au plusr retournements. Ce nombre est-il minimal ? Qu’en est-il en dimension 2?

Exercice 4(Décomposition en réflexions). Soit(E,h·,·i)un plan euclidien, montrer que tout élément deSO(E) est produit de deux réflexions, dont l’une peut être choisie arbitrairement.

Exercice 5. Déterminer un invariant total pour l’action naturelle O(E) y E. Quelles sont les orbites de cette action ? Mêmes questions pour l’action naturelle deO(E)surE×E. Que se passe-t-il si on remplaceO(E)parSO(E)?

Exercice 6. Montrer que O(E) agit simplement transitivement sur l’ensemble des bases or- thonormée de(E,h·,·i). Combien y a-t-il d’orbites pour l’action deSO(E) sur ces bases ?

Exercice 7 (Conjugaison). 1. Dans O2(R), soit r la rotation d’angle α, s et s0 deux ré- flexions par rapport aux droites D etD0. Déterminer le type et les éléments caractéris- tiques de srs−1,ss0s−1,rsr−1.

2. Soient r et r0 deux rotations de SO3(R), déterminer les éléments caractéristiques de rr0r−1 en fonction de ceux der etr0.

3. À quelle condition deux rotations deSO3(R)commutent-elles ?

Exercice 8 (Encore des produits semi-directs). Montrer queO2(R)'S1o Z/2Z. Plus géné- ralement, montrer queO(E)'SO(E)o Z/2Z.

Exercice 9 (Connexité de SO(E)). Soit (E,h·,·i) un espace euclidien. Montrer que SO(E) est connexe. Montre queO(E) a exactement deux composantes connexes.

Exercice 10 (Similitude directe ou indirecte). Soit(E,h·,·i)un espace vectoriel euclidien et soient λ ∈ R et ϕ ∈ O(E), à quelles conditions sur λ et O la similitude ψ := λϕ est-elle directe ?

Exercice 11 (Commutation des similitudes vectorielles). Soit (E,h·,·i) un plan euclidien, montrer que les similitudes directes commutent. Qu’en est-il des similitudes indirectes ? Que se passe-t-il en dimension supérieure ?

1

Références

Documents relatifs

On munit R 2 de sa structure euclidienne canonique et on oriente R 2 de sorte que la base canonique soit directe... Les résultats

E est somme directe orthogonale des sev propres de u , ou encore, il existe une base orthonormée de E constituée de vecteurs propres de u. car : se fait par récurrence

majorés en valeur absolue par 1 (car la somme des carrés des coefficients d’une même colonne est égale à 1) donc les coefficients sont à valeurs dans {− 1, 0, 1 }4. De plus,

- 2 chambres avec lits doubles, 2 salles de bains avec baignoire, douche et toilettes séparées et douche extérieure.. - 1 chambre d’enfants avec 2 lits simples - 1 salle de bains

3) On munit le plan d'un repère orthonormé direct tel que les affixes des points A, B, et D soient respectivement 0 , 1 et 2i.. a- Déterminer l'expression complexe de S, puis

La double inclusion nous donne

4. Déterminer la charge des électrons d’atome d’oxygène en coulomb C :………... Déterminer la charge de noyau d’atome d’oxygène en coulomb C :………. L’atome

Groupes des isométries vectorielles d’un espace euclidien, des isométries affines d’un espace euclidien, des similitudes d’un espace euclidien.. Isométries vectorielles