IV. Isométries vectorielles

Endomorphismes des espaces euclidiens

Notations : Eest un espace euclidien etn=dimE.

I. Calculs matriciels

II. Endomorphismes et matrices symétriques III. Matrices orthogonales

IV. Isométries vectorielles

Définition 1 – Automorphisme orthogonal / Isométrie vectorielle

Un endomorphisme f ∈L(E)est appelé un automorphisme orthogonal (ou une isométrie vectorielle) lorsque :

∀x∈E, °

°f(x)°

°= kxk

On noteO(E)l’ensemble des automorphismes orthogonaux de E . Remarque. Si f ∈L(E) et :

∀x∈E, °

°f(x)°

°= kxk

alors Ker(f)={0} donc f est injectif et comme f est un endomorphisme deE qui est de

dimension finie,f est un automorphisme deE.

Théorème 2 – Caractérisations des automorphismes orthogonaux

Soient f ∈L(E)etBune base orthonormée de E . On a équivalence entre : (i) f ∈O(E);

(ii) ∀x,y∈E ,〈f(x),f(y)〉 = 〈x,y〉; (iii) f(B)est une base orthonormée de E .

1

Théorème 3 – Groupe orthogonal de E On a les résultats suivants :

(1) id_E ∈O(E);

(2) Si f,g∈O(E), alors f g∈O(E);

(3) Si f ∈O(E), alors f ∈GL(E)et f⁻¹∈O(E).

On dit queO(E)est le groupe orthogonal de E . Proposition 4 – Orthogonal d’un sous-espace stable

Si f ∈O(E)et F est un sous-espace vectoriel de E stable par f , alors F^⊥est stable par f . Définition 5 – Matrice orthogonale

Une matrice M ∈Mn(R⁾est dite orthogonale lorsque l’endomorphisme f ∈L(R^n)ca- noniquement associé à M est un automorphisme orthogonal deR^{n. On noteO}n(R^)(ou O(n)) l’ensemble des matrices orthogonales deMn(R^).

Remarque. SoitM∈Mn(R) une matrice orthogonale au sens de la définition précédente.

Soientc₁, . . . ,c_nles colonnes deM etf l’endomorphisme canoniquement associé àM. Si on noteB=(e₁, . . . ,e_n) la base canonique deRⁿ, alors on a :

f(B)=(f(e₁), . . . ,f(e_n))=(c₁, . . . ,c_n)

La base canoniqueBest une base orthonormée deR^{net f} est un automorphisme ortho- gonal deRⁿdonc la famille (c₁, . . . ,c_n) est une base orthonormale deRⁿ. La matriceM est

bien orthogonale au sens donné au début du chapitre.

Théorème 6 – Caractérisation matricielle des automorphismes orthogonaux

Soient f ∈L(E)etBune base orthonormée de E . On a équivalence entre : (i) f ∈O(E);

(ii) Mat_B(f)∈O_n(R^).

Théorème 7 – Groupe orthogonal On a les résultats suivants :

(1) In∈On(R^);

(2) Si M,N∈On(R), alors M N∈On(R^);

(3) Si M∈O_n(R^{), alors M}∈GL_n(R^{)et M−1}∈O_n(R^).

On dit queOn(R⁾est le groupe orthogonal d’ordre n.

Proposition 8 – Déterminant d’une matrice orthogonale

Si M∈O_n(R^{), alorsdet(M)}∈{−1, 1}(la réciproque est fausse).

Notations : On note SO_n(R) (ou SO(n)) l’ensemble des matricesM ∈O_n(R) telles que

det(M)=1.

2

Théorème 9 – Groupe spécial orthogonal On a les résultats suivants :

(1) I_n∈SO_n(R^);

(2) Si M,N∈SOn(R), alors M N∈SOn(R^);

(3) Si M∈SO_n(R^{), alors M}∈GL_n(R^{)et M−1}∈SO_n(R^).

On dit queO_n(R⁾est le groupe spécial orthogonal d’ordre n.

Définition 10 – Orientation d’un espace euclidien

SiBetB⁰sont deux bases orthonormées de E , alorsdet_B(B⁰)∈{−1, 1}. On dit queB et B⁰ sont deux bases orthonormées de même sens lorsquedet_B(B⁰)=1. Dans le cas contraire, on dit queBetB⁰sont de sens contraires. Orienter E , c’est choisir une base orthonorméeB0de E et appeler bases directes les bases de même sens queB0.

V. Isométries vectorielles du plan

Théorème 11 – Matrices de O2(R⁾ etSO2(R⁾

Soit M∈O₂(R). On a les résultats suivants :

(1) Sidet(M)=1, alors il existeθ∈R^{, unique à2}πprès, tel que M=¡_{cosθ−sinθ}

sinθ cosθ

¢=R(θ).

(2) Sidet(M)= −1, alors il existeθ, unique à2πprès, tel que : M=¡_{cosθ sinθ}

sinθ −cosθ

¢

et il existe P ∈SO₂(R⁾telle que P⁻¹M P=diag(1,−1)=S.

Proposition 12 – Commutativité deSO2(R⁾

Siθ,θ⁰∈R, alors R(θ)R(θ⁰)=R(θ+θ⁰). Deux matrices deSO2(R⁾commutent, on dit que le groupeSO₂(R⁾est commutatif.

Théorème 13 – Automorphismes orthogonaux de R²

Soit f ∈O(R²). On munitR²de sa structure euclidienne canonique et on orienteR^2de sorte que la base canonique soit directe. On a les résultats suivants :

(1) Sidet(f)=1, alors il existeθ∈R^{, unique à2}πprès, tel que la matrice de f dans toute base orthonormée directe deR²soit R(θ). On dit alors que f est la rotation vectorielle deR^{2, d’angle}θ;

(2) Sidet(f)= −1, alors il existe une base orthonormée directe deR²dans laquelle la matrice de f est S. On dit alors que f est une réflexion deR^2.

Remarque. Dans le cas oùf est une réflexion deR², c’est (comme pour toute symétrie) la réflexion par rapport à Ker(f −id) parallèlement à Ker(f +id).

Les résultats à connaitre

• Endomorphisme orthogonal (ou isométrie vectorielle). C’est un automorphisme.

• Caractérisation par conservation du produit scalaire, par l’image d’une base orthonor- mée.

• Groupe O(E).

• Orthogonal d’un sous-espace stable par une isométrie vectorielle ;

• Matrice orthogonale.

• Caractérisation avec la transposée ; caractérisation avec les colonnes et les lignes, caractérisation comme matrice de changement de bases orthonormées ;

• Groupe On(R^).

• Caractérisation matricielles des automorphismes orthogonaux.

• Déterminant d’un automorphisme orthogonal, d’une matrice orthogonale.

• Groupe SOn(R^).

• Matrices de SO₂(R^{) et O}2(R). Commutativité de SO₂(R^).

• Classification des isométries vectorielles deR^2.

• Endomorphisme symétrique.

• Caractérisation matricielle des endomorphismes symétriques.

• Théorème spectral pour un endomorphisme symétrique deE.

• Théorème de diagonalisation des matrices symétriques.

• Deux sous-espaces propres pour un endomorphisme symétrique associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux (savoir redémontrer rapidement ce résultat).

On pourra en profiter pour aborder les points suivants (programme de première année) :

• Définition de produit scalaire (cas réel uniquement), norme associée.

• Inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d’égalité.

• Orthogonal d’un sous-espace vectoriel.

• Projection orthogonale et théorème associé.

Quelques objectifs du chapitre

• Savoir démontrer qu’en endomorphisme est un automorphisme orthogonal.

• Savoir démontrer qu’une matrice est orthogonale.

• Savoir étudier les automorphismes orthogonaux en dimension 2.

• Savoir démontrer qu’un endomorphisme est symétrique.

• Savoir utiliser le théorème spectral (version matricielle, version géométrique).

• Savoir diagonaliser rapidement une matrice 3×3 symétrique réelle.

En pratique

Ï

Comment démontrer qu’un endomorphisme est orthogonal ?

Soitf :E→E. Avant tout : penser à démontrer quef est linéaire. On utilise ensuite l’une des conditions équivalentes suivantes (Bdésigne une base orthonormée deE) :

(i) f ∈O(E) ;

(ii) Quels que soientx,y∈E,〈f(x),f(y)〉 = 〈x,y〉;

(iii) Quel que soitx∈E,kf(x)k²= kxk²;

(iv) L’image deBparf est une base orthonormée deE; (v) La matrice def dansBest une matrice orthogonale.

Ï

Comment démontrer qu’une matrice M est orthogonale ?

Pour montrer queM∈Mn(R) est orthogonale, on peut utiliser l’une des conditions équiva- lentes suivantes :

(i) M∈O_n(R^{) ;} (ii) M^>M=I_n; (iii) M M^>=In;

(iv) Mest inversible etM⁻¹=M^>;

(v) Les vecteurs colonne deM forment une base orthonormée deR^n; (vi) Les vecteurs ligne deM forment une base orthonormée deRⁿ (pour le produit scalaire canonique).

Ï

Comment étudier f ∈ O(E ) , lorsque dim E = 2 ?

Il y a deux types d’éléments dans O(E) :

• les rotations dont la matrice dans toute baseBorthonormée directe est de la forme

¡_{cosθ−sinθ}

sinθ cosθ

¢;

• les réflexions, pour lesquelles il existe une base orthonormée directe dans laquelle la matrice est¡_{1 0}

0−1

¢.

Soitf ∈O(E). Le déterminant de f :

• vaut 1 si f est une rotation ;

• vaut−1 si f est une réflexion.

Le sous-espaceF =Ker(f −id)=E₁(f) des invariants deF :

• est de dimension 0 ou 2 sif est une rotation ;

• est de dimension 1 si f est une réflexion (c’est alors la réflexion par rapport àF).

Ï

Comment démontrer qu’un endomorphisme est symétrique ?

Soitf :E→E. Avant tout : penser à démontrer quef est linéaire. On utilise ensuite l’une des conditions équivalentes suivantes (Bdésigne une base orthonormée deE) :

(i) f ∈S(E) ;

(ii) Quels que soientx,y∈E,〈f(x),y〉 = 〈x,f(y)〉; (iii) La matrice def dansBest une matrice symétrique.

Ï

Comment utiliser le théorème spectral ?

• SiMest une matrice symétrique réelle, alorsMest diagonalisable et il existeP ortho- gonale etDdiagonale telles queP^>M P=D.

• Si f ∈S(E), alorsf est diagonalisable et si on noteλ1, . . . ,λnles valeurs propres de f (chacune apparaissant autant de fois que sa multiplicité en tant que racine deχf), alors il existeB=(e₁, . . . ,e_n) base orthonormée deEtelle que f(e_i)=λie_ipour tout i ∈ ‚1,nƒ. En particulier si on note, dans une telle baseB,x=x₁e₁+ · · · +x_ne_navec x₁, . . . ,xn∈R^{, alors :}

f(x)=λ1x₁e₁+ · · · +λnx_ne_n

°

°f(x)°

°²=λ²₁x²₁+ · · · +λ²_nx²_n ­

f(x),x®

=λ1x²₁+ · · · +λnx_n²

Illustrations du cours

Exercice 1Un endomorphisme symétrique de E. Soita∈E. On définit une applicationf surEen posant :

∀x∈E, f(x)=x− 〈a,x〉a Démontrer quef est un endomorphisme symétrique deE.

Exercice 2Un endomorphisme symétrique deRn[X]. SurE=Rn[X], on définit le produit scalaire : (P,Q)7→R1

−1P(t)Q(t) dtet on considère l’application f définie surEpar :

∀P∈R^{n[X], f(P)=2X P0+(X2−1)P00} Démontrer quef est symétrique.

Exercice 3Une propriété des endomorphismes symétriques. Démontrer que si f ∈L(E) est symétrique, alors Kerf =(Imf)^⊥.

Exercice 4Une matrice orthogonale. Démontrer que la matriceMsuivante est orthogonale :

M=1 3

³ _{2 1 −2}

−2 2 −1

−1−2−2

´

Exercice 5Diagonalisation de matrices symétriques réelles de taille3. Déterminer une base orthonormée de vecteurs propres pour chacune des matricesAetB suivantes :

A=

³ _{2 1 −1}

1 2 −1

−1−1 4

´

, B=

³_{2 1 1}

1 2 1 1 1 2

´

Exercice 6Équation matricielle (1). SoitA∈Sn(R) telle que Sp(A)⊂R⁺. Démontrer qu’il existe une matriceB∈Sn(R) telle queB²=A.

Exercice 7Équation matricielle (2). Déterminer les matricesA∈Sn(R) telles que A³− 2A²+3A=0.

Exercice 8Un automorphisme orthogonal de E. Soita∈E,a6=0. On définit une application f surEen posant :

∀x∈E, f(x)=x− 〈a,x〉a

Déterminer à quelle condition sura l’endomorphisme f est orthogonal. Lorsque cette condition est satisfaite, décriref.

Exercice 9Une propriété des automorphismes orthogonaux. Sif ∈O(E), alors Sp(f)⊂{−1, 1}

et les sous-espaces Ker(f −id) et Ker(f +id) sont orthogonaux.

Exercice 10Automorphismes orthogonaux deR². On munitR²de sa structure euclidienne canonique.

(a) Étudier les endomorphismes canoniquement associés aux matrices : A= 1

p5

¡_{1 2}

2−1

¢; B= 1

p5

¡₁₋₂

2 1

¢

(b) Déterminer la matrice dans la base canonique de la rotation qui envoie le vecteur¡₂

1

¢ sur le vecteur¡₁

2

¢.

(c) Déterminer la matrice dans la base canonique de la réflexion qui envoie le vecteur¡₂

1

¢ sur le vecteur¡₁

2

¢.

Exercice 11Une caractérisation des symétries orthogonales. Soit s :E →E. Démontrer l’équivalence entre :

(i) L’applications est une symétrie orthogonale deE;

(ii) L’applications est un endomorphisme symétrique et orthogonal deE.

Exercice.À faire vous-même pour voir si vous avez compris. On travaille dansR1[X] avec le produit scalaire de l’exercice 2. PourP∈R1[X] on définit :

f(P)=P(X)−P(−X) g(P)=P(−X)

Expliciter f(P) etg(P) en notant P =a X +b. Démontrer que f est un endomorphisme symétrique deR1[X] etg est un automorphisme orthogonal deR1[X].

Vrai/Faux

On considère un espace euclidienE.

(1) Si f ∈S(E), alors il existeBbase orthonormée deE telle que Mat_B(f) est diagonale.

(2) Si f ∈L(E) et les sous-espaces propres de f sont deux à deux orthogonaux, alors f ∈S(E).

(3) Si f ∈L(E) et il existeBbase orthonormée deEconstituée de vecteurs propres pour f, alors f ∈S(E).

(4) Si f ∈S(E) etBest une base deE constituée de vecteurs propres pourf, alorsBest une base orthonormée deE.

(5) Sif ∈S(E) etuetv sont deux vecteurs propres de f, alors soituetv sont associés à la même valeur propre, soituetvsont orthogonaux.

(6) Si f ∈S(E) et f²=f, alors f est un projecteur orthogonal.

(7) Si f est un projecteur orthogonal, alorsf ∈S(E)∩O(E).

(8) Si f ∈S(E) et f²=id, alors f est une symétrie orthogonale.

(9) Si f est une symétrie orthogonale, alors f ∈S(E)∩O(E).

(10) Sif ∈S(E) et Sp(f)={−1, 1}, alors f est une symétrie orthogonale.

(11) Sif ∈S(E) et f est une symétrie orthogonale, alors Sp(f)={−1, 1}.

(12) Sif ∈S(E) et Sp(f)={0, 1}, alors f est un projecteur orthogonal.

(13) Sif ∈S(E) et f est un projecteur orthogonal, alors Sp(f)={0, 1}.

(14) Sif ∈S(E) et f ∈GL(E), alorsf⁻¹∈S(E).

(15) Sif ∈O(E) etλ∈R^{, alorsλf ∈O(E).}

(16) Sif ∈L(E) et∀x∈E,〈f(x),x〉 = 〈x,f(x)〉, alors f ∈S(E).

L’espaceRⁿest muni du produit scalaire canonique.

(17) SiM∈Sn(R^{) etf} est l’endomorphisme canoniquement associé à f, alors f ∈S(R^n).

(18) SiM∈Sn(R), alors il existeP∈GL_n(R) telle queP⁻¹M P est diagonale.

(19) SiM∈Sn(R), alors il existeP∈O_n(R) telle queP⁻¹M P est diagonale.

(20) SiM∈Sn(R^{) et siP∈GLn(}R^{) etP−1M P} est diagonale, alorsP∈On(R^).

(21) SiM∈Sn(R⁾∩O_n(R), alors Sp(M)={−1, 1}.

(22) SiM∈Mn(R) et s’il existeP∈O_n(R) telle queP⁻¹M Pest diagonale, alorsM∈Sn(R^).

(23) SiM∈On(R^{) et siM} est diagonalisable, alorsM∈Sn(R^).

(24) SiM∈O_n(R^{) et Sp(M)}={−1, 1}, alorsM est diagonalisable.

Le planR²est muni du produit scalaire canonique. Le terme « rotation » signifie « rotation vectorielle deR². » On rappelle qu’une réflexion deR²est une symétrie orthogonale deR² par rapport à un sous-espace vectoriel de dimension 1.

(25) La composée de deux rotations deR²est une rotation.

(26) La composée de deux réflexions deR²est une réflexion.

(27) Sirest une rotation deR², alors il existe deux réflexionss₁ets₂telles quer=s₁◦s₂. (28) Sisest une réflexion deR², alors il existe deux rotationsr₁etr₂telles ques=r₁◦r₂. (29) Sif ∈S(R²⁾∩O(R^{2) alorsf} n’est pas une rotation.

(30) Sif ∈O(R^{2) et Sp(f)}6= ;, alors f est diagonalisable.

1v2f3v4 f5 v6v7f8v 9v10v

11f12v1 3f14v15 f1 6f1 7v18 v19v2 0f2 1f22v23 v24f25v 26f2 7v28f29 f30 v

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