Université de Caen 2

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Université de Caen 2

^e

semestre 2007-2008

UFR de Sciences Mathématiques

L2 MASS Analyse

Analyse 4 : Continuité

Exercice 1. Montrer que l'application f : R

²

→ R dénie comme suit est continue sur R

²

: f (x, y) = xy

p x

²

+ y

²

+ 1 .

Exercice 2. Soit f : R

²

→ R l'application dénie par

f (x, y) =





 xy

p x

²

+ y

²

si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0).

Montrer que f est continue en (0, 0) .

On pourra commencer par montrer que |x| ≤ p

x

²

+ y

²

et |y| ≤ p

x

²

+ y

²

pour tout (x, y) ∈ R

²

. Exercice 3. Soit f : R

²

→ R l'application dénie par

f(x, y) =

( xy

x

²

+ y

²

si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0).

L'application f est-elle continue en (0, 0) ? On pourra calculer f (x, x) pour x 6= 0 . Qu'en est-il si on pose f (0, 0) =

¹₂

au lieu de 0 ?

Exercice 4. Soit f : R

²

→ R l'application dénie par

f (x, y) =





 x

²

y

x

⁴

+ y

²

si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0).

Montrer que f est continue sur R

²

\ {(0, 0)} , puis sur toute droite passant par (0, 0) .

Faire tendre (x, y) vers (0, 0) sur la parabole d'équation y = x

²

. L'application f est-elle continue en (0, 0) ? Exercice 5. On munit R

²

de la norme euclidienne canonique, et R de la norme usuelle. Soit n un entier positif, et soit f : R

²

−→ R la fonction dénie par :

f (x, y) = xy

ⁿ

x

²

+ y

²

si (x, y) 6= (0, 0) et f (0, 0) = 0.

a. Montrer que pour tous entiers p , q ∈ N et tous réels x , y ∈ R on a |x

^p

y

^q

| ≤ (x

²

+ y

²

)

^p+q²

. b. On suppose que n > 1 . Montrer que la fonction f est continue sur R

²

.

c. On suppose que n = 1 . Montrer que la fonction f n'est pas continue sur R

²

entier.

Exercice 6. Soit f : R

²

→ R l'application dénie par

f (x, y) = (

y x ln

1 + x y

si xy 6= 0

0 si xy = 0.

a. Montrer que O = {(x, y) ∈ R

²

| xy 6= 0} est un ouvert de R

²

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semestre 2007-2008

UFR de Sciences Mathématiques

L2 MASS Analyse

Analyse 4 : Continuité

Exercice 1. Montrer que l'application f : R

→ R dénie comme suit est continue sur R

: f (x, y) = xy

p x

+ y

+ 1 .

Exercice 2. Soit f : R

→ R l'application dénie par

f (x, y) =





 xy

p x

+ y

si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0).

Montrer que f est continue en (0, 0) .

On pourra commencer par montrer que |x| ≤ p

x

+ y

et |y| ≤ p

x

+ y

pour tout (x, y) ∈ R

. Exercice 3. Soit f : R

→ R l'application dénie par

f(x, y) =

( xy

x

+ y

si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0).

L'application f est-elle continue en (0, 0) ? On pourra calculer f (x, x) pour x 6= 0 . Qu'en est-il si on pose f (0, 0) =

au lieu de 0 ?

Exercice 4. Soit f : R

→ R l'application dénie par

f (x, y) =





 x

y

x

+ y

si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0).

Montrer que f est continue sur R

\ {(0, 0)} , puis sur toute droite passant par (0, 0) .

Faire tendre (x, y) vers (0, 0) sur la parabole d'équation y = x

. L'application f est-elle continue en (0, 0) ? Exercice 5. On munit R

de la norme euclidienne canonique, et R de la norme usuelle. Soit n un entier positif, et soit f : R

−→ R la fonction dénie par :

f (x, y) = xy

x

+ y

si (x, y) 6= (0, 0) et f (0, 0) = 0.

a. Montrer que pour tous entiers p , q ∈ N et tous réels x , y ∈ R on a |x

y

| ≤ (x

+ y

)

. b. On suppose que n > 1 . Montrer que la fonction f est continue sur R

.

c. On suppose que n = 1 . Montrer que la fonction f n'est pas continue sur R

entier.

Exercice 6. Soit f : R

→ R l'application dénie par

f (x, y) = (

y x ln

1 + x y

si xy 6= 0

0 si xy = 0.

a. Montrer que O = {(x, y) ∈ R

| xy 6= 0} est un ouvert de R

et que f est continue sur O . b. Montrer que, pour tout a 6= 0 , la fonction f est continue en f (a, 0) .

c. Calculer f (a, a) pour tout a . La fonction f est-elle continue en (0, 0) ? Exercice 7. Étudier la continuité sur R

de l'application

f (x, y) =