• Aucun résultat trouvé

Université de Caen 2

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "Université de Caen 2"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

Université de Caen 2

e

semestre 2013-2014

UFR Sciences Mathématiques

L3 MASS Espaces euclidiens

Matrices symétriques

Exercice 1. Diagonaliser les matrices suivantes en base orthonormée :

A =

1 1 0 1 1 1 0 1 1

 , B =

1 −1 −1

−1 1 −1

−1 −1 1

 , C =

0 0 1 0 1 0 1 0 0

 , D =

1 0 1 0 1 0 1 0 1

 .

Exercice 2. Trouver une racine carrée des matrices suivantes : A =

3 −1

−1 3

, B =

1 2 2 4

.

Exercice 3. On considère les matrices

U =

0 1 0 1 0 0 0 0 1

 , V = 1 3

2 −2 −1

2 1 2

−1 −2 2

 .

Vérier que U et V sont orthogonales. Dire si ce sont des symétries, des rotations, ou ni l'un ni l'autre. Le cas échéant, déterminer l'axe de rotation.

Exercice 4. On considère l'endormorphisme de R

3

donné dans la base canonique par la matrice

A =

2 1 0 0 1 2 1 3 1

 .

a. On pose B =

t

AA . Dire pourquoi B est diagonalisable. Sans calcul, que peut-on dire de ses valeurs propres ? b. Diagonaliser B en base orthonormée.

c. Déterminer |A| , la racine carrée (symétrique positive) de B . d. Déterminer la matrice orthogonale V telle que A = V |A| . Exercice 5.

a. Soit S ∈ M

n

( R ) une matrice symétrique et orthogonale.

(i) Quelles sont les valeurs possibles pour les valeurs propres de S ?

(ii) Dans le cas n = 2 montrer que S est soit I

2

, soit −I

2

, soit conjuguée à

10−10

. b. Soit A ∈ M

n

( R ) une matrice antisymétrique.

(i) Montrer que les valeurs propres de A sont imaginaires pures.

(ii) Que peut-on dire de la matrice iA ? En déduire que A est diagonalisable dans M

n

( C ) .

Références

Documents relatifs

[r]

[r]

Les résultats des deux questions précédentes restent-il valables sur un espace de Hilbert réel..

Les représenter dans le plan et donner leurs points

Déterminer (en donnant des bases) l’image et le noyau

Grâce à la fonction considérée au a, montrer que la dernière inclusion peut être stricte..

Représenter les sous-ensembles suivants de R 2 puis dire s'ils sont ouverts, fermés, ou ni l'un ni l'autre, en justiant

Etudier l'existence et la nature d'extremums éventuels des fonctions de deux variables réelles dénies dans R 2 par les expressions suivantes