Universit´e Joseph Fourier
MAT233 Fonction de plusieurs variables 2013-2014
Feuille d’exercices 7
Exercice 1 1) D´eterminer la courbure de la courbe param´etr´eeγ(t) = (rcos(t), rsin(t)), o`u t∈R.
2) Calculer la longueur de l’astro¨ıdeγ: [−π, π]→R2,t7→(acos3t, asin3t).
3) Soit γ : I → R2, t 7→ (x(t), y(t)) une courbe param´etr´ee r´eguli`ere et de classe.
D´eterminer la courbure κ(t) au pointγ(t) en fonction dex, yet de leurs d´eriv´ees.
Appliquer votre r´esultat `a la cyclo¨ıdet 7→ (a(t−sint), a(1−cost)), a > 0 pour d´eterminer la courbure de la courbe en chacun de ses points r´eguliers.
4) Soitγ:I→R2une courbe r´eguli`ere. Soit (ρ(t), θ(t)) la param´etrisation polaires de γ, autrement dit, γ(t) = (ρ(t) cosθ(t), ρ(t) sinθ(t)). On suppose queρet θ sont de classeC2. D´eterminer la courbureκ(t) au point de param`etret, en fonction deρ,θ et de leurs d´eriv´ees. Appliquer votre r´esultat `a la cardio¨ıde polaireρ=a(1 + cosθ) (a6= 0).
5) Donner une param´etrisation de l’ellipse d´efinie par l’´equation x2
a2 +y2
b2 = 1 a >0, b >0.
D´eterminer la courbure de cette courbe.
6) Calculer la longueur de la cardio¨ıde polaireρ=a(1 + cosθ) aveca >0 fix´e.
Exercice 2 Pour toute fonctionf `a valeurs r´eelles de classeC2 d´efinie sur un ouvert U du planR2, on d´esigne par ∆f lelaplacien def, d´efini comme :
∆f(x, y) = ∂2f
∂x2(x, y) +∂2f
∂y2(x, y).
On dit que la fonctionf estharmonique si ∆f = 0. Dans cette partie, on munit le plan R2de la norme euclidienne usuellek.k. On a
k(x, y)k:=p x2+y2 pour tout (x, y)∈R2.
1) Soitϕ:R2\{(0,0)} →]0,+∞[ la fonction d´efinie commeϕ(x, y) =k(x, y)k. Montrer que∂ϕ/∂x=x/ϕet∂ϕ/∂y=y/ϕ.
2) Montrer que log◦ϕest une fonction harmonique surR2\ {(0,0)}.
Dans la suite, on fixe une fonction f d´efinie sur R2 qui est harmonique. Pour tout ε >0, on d´esigne parfε:R2→Rla fonction qui envoie (x, y) enf(x, y) +ε(x2+y2).
Pour toutr >0, soient
Dr:={(x, y)∈R2 : k(x, y)k6r} et Cr:={(x, y)∈R2 : k(x, y)k=r}.
On d´esigne parγr: [0,2π]→R2la courbe param´etr´ee telle queγr(t) = (rcos(t), rsin(t)).
3) Montrer que la restriction defε `aDr atteint son maximum en un pointθε,r. 4) Montrer que, siθε,r6∈Cr, alors on a simultan´ement
∂2fε
∂x2(θε,r)60, ∂2fε
∂y2(θε,r)60.
En d´eduire que θε,r appartient n´ecessairement `a Cr. On peut calculer le laplacien de la fonctionfε.
5) Montrer que la restriction de la fonctionf `aDratteint son maximum en un point deCr. En d´eduire que, si deux fonctions harmoniques sur Rsont ´egales le long du cercleCr, alors elle sont ´egales dans le disqueDr.
6) On d´efinit une fonctionF sur [0,+∞[ comme F(r) =
Z 2π
0
f(rcos(t), rsin(t)) dt.
Montrer que cette fonction est bien d´efinie et est continue sur [0,+∞[.
7) Montre que, sih:R2→Rest une fonction de classeC1, alors on a Z 2π
0
h(γr(t)) sin(t) dt=1 r
Z
Dr
∂h
∂y(x, y) d(x, y), Z 2π
0
h(γr(t)) cos(t) dt=1 r
Z
Dr
∂h
∂x(x, y) d(x, y).
On peut par exemple transformer l’int´egrale double en des int´egrales successives.
8) Montrer que la restrcition deF `a ]0,+∞[ est d´erivable et montrer que sa d´eriv´ee est ´egale `a 0. On peut appliquer les r´esultats obtenu dans la question pr´ec´edente.
9) Montrer que la fonctionf est int´egrable sur le disque Dr et on a Z
Dr
f(x, y) d(x, y) =πr2f(0,0).
