ATS 2021-22 Chapitre M10
M10 - Ondes transversales sur une corde
1 Equation d’onde des cordes
1.1 Modélisation d’une corde
1.1.1 Description
On étudie une corde de longueurL peu-extensible ou très tendue (comme une corde de guitare), définie par sa masse linéiqueµ(enkg/m), et la tensionToà laquelle elle est soumise, par exemple à l’aide d’une masse mcomme sur le schéma. Au repos elle est confondue avec l’axeOx :
Les mouvements transversaux de la corde sont décrits par l’altitudey(x, t) de chacun de ses "éléments"dl.
1.1.2 Hypothèses
1. Pesanteur négligée pour la corde devant sa tension (car mcorde m). Frottements avec l’air négligés.
2. Déplacements de la corde négligés selonz pour simplifier le problème à une seule dimension et négligés selon x par inextensibilité de la corde. Ainsi les coordonnées (x, z) de chaque élément de corde sont constantes au cours du temps. Cela revient à dire quechaque élément de corde est en mouvement rectiligne suivant y, de sorte que son accélération se réduise à :
~a= ∂2y
∂t2. ~uy
3. Déplacements selony de faible amplitude, de sorte que l’angleα(x, t) que fait la tangente à la corde en xàt soit très faible également (cet angle est très exagéré sur le schéma pour rester visible).
On pourra donc écrire, au premier ordre :
cosα≈1 et sinα≈tanα≈α 4. Lien entreαety.
Par définition la pente de la tangente à la courbey(x) (à t fixé) vaut ∂y∂x. Or géométriquement, la pente de la tangente s’identifie aussi à tanα≈α, d’où :
α≈ ∂y
∂x 5. Valeur approchée de la longueurdl d’un élément de corde.
D’après le schéma on a géométriquement : dl=p
dx2+dy2= r
dx2(1 +dy2
dx2) =dxp
1 + tan2α≈dxp
1 +α2≈dx
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1.2 Etablissement de l’équation d’onde
Appliquons le PFD à un élément de corde situé entrexetx+dx, afin d’obtenir l’équation de son mouvement.
Sa masse vautdm=µdl≈µdx. Les forces qu’il subit, en dehors de la gravité et des frottements, négligés, sont les tensions exercées par le reste de la corde : celle-ci est en effet constituée d’éléments solidaires entre eux qui se "tirent" les uns les autres pour rester en contact. Ces tensions sont logiquement tangentielles à la corde au point où on les évalue et orientées de telle manière qu’elles tendent à maintenir "accroché" l’élément au reste de la corde.
On noteT(x) la norme de la tension de la corde enx. Avec toutes les hypothèses précédentes et en projetant les tensions, le PFD s’écrit (suivant les directionsxet y) :
dm 0
∂2y
∂t2
=T(x+dx).
cos(α(x+dx, t)) cos(π/2−α(x+dx, t))
+T(x).
cos(π−α(x, t)) cos(π/2 +α(x, t))
µdx 0
∂2y
∂t2
=T(x+dx).
cos(α(x+dx, t)) sin(α(x+dx, t))
+T(x).
−cos(α(x, t))
−sin(α(x, t))
≈T(x+dx).
1 α(x+dx, t)
+T(x).
−1
−α(x, t)
La projection surxmontre que la norme de la tension est uniforme tout le long de la corde : 0 =T(x+dx)−T(x) ⇒ T(x+dx) =T(x) =T(L) =To
Enfin la projection sury implique, en reconnaissant un développement de Taylor à l’ordre 1 : µdx∂2y
∂t2 =To(α(x+dx, t)−α(x, t)) =To
∂α
∂xdx=To
∂2y
∂x2dx On obtient alorsl’équation de propagation, ouéquation d’onde, des cordes :
∂2y
∂t2 =To µ.∂2y
∂x2
1.3 Equation de d’Alembert
L’équation différentielle précédente, couplant l’espace et le temps, découverte en 1747, appartient à la famille deséquations de d’Alembertdont la structure est :
∂2f
∂t2 =c2∂2f
∂x2 avec c=cst
Elle fait intervenir une constante du milieu de propagation appelée célérité, qui dans le cas des cordes vaut :
c= s
To
µ
Montrer de deux manières quec est homogène à une vitesse. Commentaire sur l’inertie/raideur du milieu.
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1.4 Solutions de l’équation d’onde
Montrer que l’OPH et l’OS vues au chapitre précédent sont bien solutions de l’équation de d’Alembert à condition queω=kc.
La constantec = q
To
µ apparaît donc comme la vitesse de propagation des ondes le long d’une corde de tensionTo et de masse linéiqueµ.
2 Modes propres d’une corde attachée à ses deux extrémités
De la même façon que les fréquences propresfpsont les fréquences naturelles auxquelles un système oscille librement, lesmodes propresdésignent les ondes stationnaires qui sont adaptées à lui et qui peuvent s’établir durablement en son sein. En toute logique, les modes propres y(x, t) =ymcos(kx−φ).cos(ωt−Ψ) ont pour fréquencef =ω/2πles fréquences propresfp de la corde.
2.1 Recherche expérimentale (cf TP)
On sait qu’un moyen de trouver les fréquences propres d’un système consiste à l’exciter successivement à des fréquences différentes jusqu’à ce que le système entre en résonance : en effet on a alors fexcitation =fp
(cf M7). On observera donc les ondes correspondant aux modes propres lorsque le système résonne. Excitons une corde attachée à ses deux extrémités en la soumettant à des ondes sinusoïdales de fréquence réglable... on observe pour certaines fréquences bien précises :
...
On reconnaît l’aspect d’onde stationnaire des modes propres et on remarque qu’ils respectent lesconditions aux limitesimposées par la situation : en l’occurence, du fait que la corde soit attachée à ses deux extrémités, les pointsx= 0 etx=L sont nécessairement des nœuds.
2.2 Expression théorique
Cherchons les modes propres d’une corde attachée aux deux bouts, de longueurL, de masse linéiqueµet tendue avec une tensionTo. L’expression de départ est celle d’une onde stationnaire deω quelconque :
y(x, t) =ymcos(kx+φ).cos(ωt+ Ψ) avec ω=kc=k s
To µ
à laquelle on va imposer les conditions aux limites du problème : y(0,∀t) = 0 et y(L,∀t) = 0
Cherchons lesω qui vérifient les conditions aux limites.
y(0,∀t) = 0 ⇒ ymcos(φ).cos(ωt+ Ψ) = 0 ⇒ ym= 0 ou cos(φ) = 0 en effet cos(ωt+ Ψ) peut être nul pour quelques valeurs det mais pas∀t.
ym= 0 est bien une solution du problème mais elle n’a aucun intérêt (absence d’onde sur la corde...). On arrive donc à :
cos(φ) = 0 ⇒ φ= (2m+ 1)π
2 avec m∈Z Par des raisonnements analogues, la seconde condition aux limites impose :
y(L,∀t) = 0 ⇒ ymcos(kL+φ).cos(ωt+ Ψ) = 0 ⇒ cos(kL+φ) = 0 ⇒ kL+φ= (2p+ 1)π
2 avec p∈Z En mixant les deux conclusions, on arrive à :
kL= (2p+ 1−2m−1)π
2 = (p−m)π=nπ avec n∈Z
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Ainsi, on montre que seule une suite discrète de valeurs dek et donc deωet de f est solution du problème : kn=nπ
L ; ωn=knc=nπc
L ; fn=ωn/2π=n c 2L
Les fréquencesfn ne sont autres que les fréquences propres du système, et le nième mode propre s’écrit : yn(x, t) =ymncos(nπ
Lx+φn).cos(nπc
Lt+ Ψn)
La méthode la plus efficace pour représenter graphiquement le mode propre n consiste 1) à placer les conditions aux limites, 2) à exprimer le lien entre L et sa longueur d’onde λn, et à se rappeler que 2 nœuds voisins sont distants deλn/2.
Ici : λn = fc
n = 2cLnc = 2Ln ⇔ L =nλ2n, d’où :L = λ21, L= 2λ22, L = 3λ23, etc... ce qui graphiquement se traduit par le fait que :
— pour le mode 1 (appelé fondamental),L= une distance internodale
— pour le mode 2 (appelé 1er harmonique),L= deux distances internodales
— pour le mode 3 (appelé 2nd harmonique),L= trois distances internodales...
On retrouve évidemment les figures suivantes :
...
2.3 Onde réelle émise par une corde
Lorsqu’on excite une corde avec un vibreur à l’une de ses fréquences de résonance, on est en régime sinusoïdal forcé et l’onde stationnaire produite sur la corde est purement sinusoïdale. Au contraire, dans les conditions réelles d’utilisation d’une corde musicale, lorsqu’on frotte une corde de guitare par exemple, on la soumet à une excitation ponctuelle et non sinusoïdale. Voici par exemple la représentation temporelle puis spectrale de l’onde produite par la plus grosse corde d’une guitare jouée à vide (un La...) :
On distingue dans le spectre une série de fréquences multiples entières de la plus basse f1 ≈ 112 Hz, le fondamental, qui donne son nom à la note. Il en résulte une onde non sinusoïdale assez compliquée, fruit de la superposition de tous les modes propres. Une onde "réelle" est une combinaison de toutes les ondes adaptées aux conditions limites.
Les harmoniques 1, 2, 4 et 6 sont très présents tandis que les 3 et 5 sont peu représentés. Le poids relatifs des harmoniques dans unLa−110 joué par une guitare ou par une flûte est très différent et définit ce qu’on appelle le timbre de l’instrument.
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