FILTRAGE - ONDES - MÉCANIQUE

FILTRAGE - ONDES - MÉCANIQUE

CALCULATRICES AUTORISÉES

I. Pickup de guitare électrique

On étudie le comportement fréquentiel d’un «pickup» (ou micro) de guitare électrique. Il s’agit d’un capteur électromécanique transformant les vibrations mécaniques de la corde métallique en signal élec- trique. Nous ne nous intéresserons pas ici à la conversion mécanoélectrique, mais nous allons étudier le fonctionnement électrique du capteur.

Filtrage d’un signal.

On considère un filtre dont le diagramme de Bode du gain en décibel est représenté sur la figure 1.

1.

D’après la figure 1, donner la nature du filtre et la valeur de la fréquence de résonance, no- tée f

.

Déterminer l’équation de l’asymptote basse fréquence et la pente de l’asymptote haute fréquence.

2.

On pose Q et H

des réels positifs sans di- mension, et la pulsation réduite x =

0

avec ω

la pulsation propre. Parmi les fonctions de transfert ci-dessous, une seule correspond au diagramme précédent. Justifier de laquelle il peut s’agir, en précisant le type de filtre pour chaque fonction de transfert.

(i) H = H

1 + jx ; (ii) H = H

1 + j

x

;

(iii) H = 1+jx− x

Q

; (iv) H = H

−j_Q^x

+ x

1

Figure

1 – Diagramme de Bode d’un filtre.

On travaille dans toute la suite avec la fonction de transfert choisie, qui convient au diagramme de la figure 1.

3.

À partir de la fonction de transfert :

a)

exprimer le gain en décibel pour x = 1 ;

b)

déterminer les équations des asymptotes à basse et haute fréquence (G

en fonction de log x).

À quelle pulsation ces asymptotes se croisent-elles ?

4.

Déduire de ces résultats les valeurs de H

, du facteur de qualité Q et de la fréquence propre f

=

pour le diagramme de la figure 1.

5.

On envoie en entrée du filtre un signal sinusoïdal noté u

(t), d’amplitude U

= 1, 0 V et de fréquence

f variable. À l’aide du diagramme de Bode de la figure 1, déterminer l’amplitude, notée U

, de la

tension de sortie u

(t) pour f = 300 Hz, f = 3, 0 kHz puis f = 8, 0 kHz.

6.

On considère un signal électrique périodique, caractéristique de la vibration d’une corde de guitare électrique, dont le spectre est donné sur la figure 2.

a)

Déterminer la fréquence du mode fondamental de ce signal.

b)

En rassemblant les résultats dans un tableau, estimer les ampli- tudes, en volts, du fondamental et des harmoniques situées respecti- vement au voisinage de 3 kHz et 8 kHz, ainsi que leurs valeurs une fois filtrés par le filtre de la figure 1.

Figure

2 – Spectre du son produit par une corde de guitare électrique. L’abscisse représente les fré- quences de ses composantes sinusoïdales et l’ordonnée représente 20 log

ref

avec U l’amplitude de la sinusoïde et U

= 10 mV.

Modèle électrocinétique du pickup chargé sur un amplificateur de guitare.

On modélise le pickup par une source de ten- sion e(t) (provenant de la conversion en signal électrique du son émis par la corde de gui- tare), une inductance L = 4, 6 H, une résis- tance R = 20 kΩ et une capacité C = 150 pF.

Le pickup est branché sur un amplificateur de guitare comme indiqué sur le circuit de la fi- gure 3, dans lequel C

représente la capacité du câble et R

la résistance d’entrée de l’am- plificateur.

Figure

3 – Modélisation d’un pickup branché par un câble à un amplificateur de guitare.

On considère le cas où e(t) est sinusoïdale d’amplitude E constante, quelle que soit la fréquence f (pul- sation ω). On s’intéresse à la fonction de transfert H =

avec u

le complexe associé à la tension u

d’amplitude U

et e le complexe associé à e. On notera U

l’amplitude complexe de u

.

7.

Faire les schémas électriques équivalents du montage de la figure 3 dans les cas très basse et très haute fréquences. Déterminer l’expression de u

(t) dans chacun de ces cas.

Quelle est a priori la nature de ce filtre ?

8.

Établir l’expression de la fonction de transfert du circuit figure 3, à mettre sous la forme choisie à la question

l’amplificateur est R

= 10 MΩ (R

R).

9.

Expliciter les expressions de H

, Q et ω

.

Faire les applications numériques de f

et Q pour C

= 420 pF.

II. Cordes vibrantes

II.1. Propagation d’un signal le long d’une corde

Un signal progressif (perturbation) se propage le long d’une corde d’axe (Ox), tendue. À la date t = 0, le signal part du point O, origine de l’axe (Ox) et se propage selon les x croissants. Le graphique ci- dessous représente le déplacement au cours du temps d’un point M de la corde d’abscisse x

= 8, 0 cm, déplacement noté u

(x

, t).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

-1 2

-2 3

-3

u

(x

,t) (cm)

0 t (ms)

Figure

4 – Perturbation temporelle au point M d’abscisse x

= 8, 0 cm.

1.

À quelle date t

la perturbation arrive-t-elle en M ? Calculer la célérité c de l’onde le long de la corde.

2.

La célérité des ondes sur une corde tendue dépend de la tension T de cette corde (force avec laquelle elle est tendue) et de sa masse linéique µ (masse par unité de longueur). Par analyse dimensionnelle, donner l’expression de c en fonction de T et µ, à un facteur multiplicatif sans dimension près.

3.

Pour augmenter cette célérité, pourrait-on tendre la corde plus fortement ? choisir une corde de masse plus grande (pour une même longueur) ? produire une perturbation d’amplitude différente ? Justifier les réponses.

4.

Pendant quelle

∆t le point M est-il affecté par le passage de l’onde ? Quelle est la

de la perturbation ?

5.

On considère un point N d’abscisse x

= 32, 0 cm. À quelle date t

la perturbation arrive-t-elle en N ? Représenter l’évolution temporelle du signal au point N sur le canevas de la figure 1 en annexe.

6.

Exprimer l’allure u

(x, t

) de la corde à la date t

= 8, 0 ms. La représenter sur le canevas de la figure 2 en annexe. On placera les points M et N sur la corde.

7.

La corde est en fait fixée à un support à l’abscisse x = L = 40 cm. Justifier qu’il existe une onde réfléchie u

(x, t). Établir son expression en fonction de l’onde incidente u

en x

.

Représenter l’allure de u

(x, t

) à la date t

= 15, 0 ms sur le canevas de la figure 3 en annexe.

II.2. Positionnement des frettes d’une guitare

On considère la corde de «La» d’une guitare, corde homogène, quasi-inextensible, de masse linéique µ

(masse par unité de longueur) et de longueur L, tendue entre ses deux extrémités fixes O et A avec une

tension constante T . Les points O (au niveau du chevalet, cf. figure ci-dessous) et A (au niveau du sillet)

sont solidaires de la guitare. À l’équilibre, la corde est rectiligne.

Pour le guitariste, les notes accessibles sont quantifiées par des barrettes (frettes), placées sur le manche.

Ces frettes permettent de réduire momentanément la longueur de la corde, la tension T (et donc la célérité c des ondes) restant constante. En bloquant la corde avec le doigt contre la frette, le guitariste diminue la longueur de la corde libre de vibrer (longueur de vibration allant alors de la frette jusqu’au chevalet) et obtient la note voulue. On cherche à déterminer les emplacements à donner aux frettes lors de la construction du manche de la guitare.

8.

Donner la définition d’un mode propre sinusoïdal de vibration de la corde.

Indiquer le lien entre la longueur L de la corde et la longueur d’onde λ

du n-ième mode propre.

En déduire les expressions des fréquences f

correspondantes, en fonction de c et L, et l’expression mathématique du n-ième mode u

(x, t).

9.

Dessiner l’allure de la déformation associée au mode de vibration fondamental (n = 1) à deux instants différents. Faire de même pour les trois harmoniques suivants (n = 2, 3 et 4).

10.

La corde de « La » a une longueur L

= 0, 64 m, et correspond à la fréquence f

= 110 Hz. En déduire la célérité des ondes dans cette corde.

11.

Justifier où il faut placer la frette permettant de «monter» la note d’une octave, c’est-à-dire pour doubler la fréquence fondamentale et donc obtenir la fréquence f

= 2f

?

12.

La guitare s’appuie sur la gamme «dodécaphonique» (12 sons) : do - do# (ou ré[) - ré - ré# (ou mi[) - mi - fa - fa# (ou sol[) - sol - sol# (ou la[) - la - la# (ou si[) - si - do (note de l’octave supérieure). L’intervalle entre deux notes consécutives de cette gamme s’appelle le demi-ton. Le signe #, ou «dièse», signifie qu’un demi-ton est ajouté à la note et [, ou «bémol», qu’un demi-ton est retranché. On passe d’une note de la gamme à la suivante en multipliant la fréquence toujours par la même constante K . En répétant 12 fois l’opération, on retrouve l’intervalle d’une octave.

Calculer la valeur de la constante K.

13.

Déterminer,

K

L

, la distance ∆x sur le manche de la guitare entre le sillet et la frette N

1 permettant de passer du La au La# . Calculer la valeur numérique de ∆x.

14.

Le fait d’effleurer la corde, sans la presser complètement, permet de la laisser vibrer sur toute sa

longueur tout en imposant un nœud de vibration à l’endroit où l’on pose le doigt : ceci a pour effet

de supprimer une partie des harmoniques. Dans le cas de la corde «La», de fréquence fondamentale

f

= 110 Hz, en effleurant la corde soit au quart soit aux trois quarts de sa longueur L

, un son

plus aigu est émis, avec seulement quelques harmoniques. Évaluer la fréquence f de vibration du

son émis.

III. Manège pendulaire

L’ensemble du problème sera traité dans le référentiel terrestre

considéré galiléen. Les frottements sont négligés.

Un manège pendulaire est constitué de bras horizontaux de longueur L, placés à une hau- teur h au-dessus du plateau, auxquels sont liées des nacelles par une tige rigide de lon- gueur d et dont la masse est négligeable (les liaisons pivot sont considérées parfaites). Les nacelles sont modélisées comme des points ma- tériels de masse m. On note g l’intensité du champ de pesanteur uniforme.

Le manège est entraîné en rotation à une vi- tesse angulaire ω par rapport au référentiel terrestre, autour de son axe fixe (Oz), le point O étant pris au niveau du plateau. On consi- dère dans toute la suite que cette vitesse angu- laire est constante. On note (

u

,

u

,

u

) la base cylindrique orthonormée directe d’axe (Oz).

La fixation permet aux nacelles de basculer dans un plan vertical contenant le bras sus- penseur, l’attache faisant alors un angle α avec la verticale (voir figure 5).

Figure

5 – Manège pendulaire.

On s’intéresse à une nacelle, identifiée par le point M représentant sa position.

1.

Définir le caractère galiléen d’un référentiel.

Pourquoi le référentiel terrestre peut-il ici être considéré comme galiléen ?

Expliciter le vecteur position

OM de la nacelle M dans la base cylindrique.

Pour une vitesse angulaire ω constante, la nacelle reste avec une inclinaison α constante lorsque le régime stationnaire est atteinte. On se placera dans cette situation dans toute la suite du problème.

3.

Quelle est alors la trajectoire décrite par la nacelle dans le référentiel terrestre ? Donner son (ses) équation(s) intrinsèque(s) en coordonnées cylindriques.

4.

Exprimer les vecteurs vitesse

v et accélération

a de la nacelle de masse m en fonction de L, d, ω et α sur la base cylindrique.

5.

Inventorier les forces extérieures exercées sur la nacelle M et les représenter sur un schéma. On admettra que dans les conditions du mouvement, la force exercée par la tige sur la nacelle est colinéaire à la tige.

6.

Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la nacelle. En déduire l’expression de la norme T de la tension de l’attache reliant la nacelle au bras en fonction de m, g et α.

7.

Établir l’équation reliant α et ω. La mettre sous la forme a(1 + b. sin α) = tan α et identifier les quantités a et b. Expliquer qualitativement pourquoi la masse m n’intervient pas.

8.

Sur un même graphe, tracer l’allure des courbes tan α et a(1 + b. sin α) (avec a > 0 et 0 < b < 1) en fonction de α pour α

[0, 2π].

En déduire que l’on obtient deux solutions sur α, à identifier sur le graphe précédent, dont les valeurs α

et α

sont comprises respectivement sur les intervalles [0, π/2] et [π, 3π/2].

9.

Représenter schématiquement la nacelle et les forces qui lui sont appliquées dans ces deux positions.

Déterminer dans chaque cas si la position d’équilibre ainsi trouvée est stable ou instable.

Définition : une position d’équilibre est stable (instable) si lorsqu’on en écarte légèrement le système, la somme des forces tend à le ramener vers (l’éloigner de) cette position d’équilibre.

10.

On donne L = 10, 0 m, d = 4, 0 m et g = 9, 8 m.s

. Quelle est la valeur de la vitesse angulaire ω amenant à α = 30

? Donner cette valeur en rad.s

puis en tours par minute (tr.min

).

Quelle serait alors, exprimée en « g » , l’accélération subie par les passager ?

* * *

* * *

(pensez à détacher et rendre votre annexe avec votre NOM et Prénom)

ANNEXE (Cordes vibrantes) - NOM Prénom :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

-1 2

-2 3

-3

u

(x

,t) (cm)

0 t (ms)

Figure 1

- Perturbation temporelle incidente au point N .

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

1

-1 2

-2 3

-3

u

(x,t

) (cm)

0 x (cm)

Figure 2

- Perturbation spatiale incidente à la date t

= 8, 0 ms.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

1

-1 2

-2 3

-3

u

(x,t

) (cm)

0 x (cm)

Figure 3

- Perturbation spatiale réfléchie à la date t

= 15, 0 ms.