Enoncé D1988 (Diophante)
La saga de l’angle de 60° (10ème épisode)
Soient O etI les centres du cercle circonscrit et du cercle inscrit d’un triangleABC. Les points D,E etF désignent les points de contact du cercle inscrit avec les côtésBC,CA etAB.
Montrer que la droite (OI) est perpendiculaire à la bissectrice de l’angle 6 EDF si et seulement si l’angle 6 BAC est égal à 60°.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
OetI se projettent surBCenM etDrespectivement. Supposant ABC non isocèle, et par exemple AB < AC, les projections du vecteurIO sont
surBC : (AC−AB)/2 =R(sinB−sinC), et surDI :RcosA−r =R(1−cosB−cosC).
Ainsi tan(DC, IO) = 1−cosB−cosC sinB−sinC . Dans les triangles isocèles BDF etCDE, on a (DF, DB) = (π−B)/2, (DC, DE) = (π−C)/2, puis (DE, DF) =π−(DF, DB)−(DC, DE) = (B+C)/2, et siDZ est la bissectrice intérieure de l’angle (DE, DF) (DI, DZ) =−π/2 + (DC, DE) + (DE, DF)/2 = (B−C)/4.
tan(DI, DZ) = 1−cos(B/2−C/2) sin(B/2−C/2) ,
et en multipliant haut et bas par 2 cos(B/2 +C/2) = 2 sin(A/2), tan(DI, DZ) = 2 sin(A/2)−cosB−cosC
sinB−sinC .
La perpendicularité deOI etDZ s’écrit (moduloπ) (IO, DZ) =π/2 = (DC, DI), d’où (DI, DZ) = (DC, IO), et l’égalité des tangentes donne 2 sin(A/2) = 1, A= 60°, CQFD.
Si ABC est isocèle avec B = C,AB =AC, DZ est l’axe de sy- métrie passant parA, O, I. Il ne peut y avoir perpendicularité que siO etI sont confondus (OI est alors de direction indéterminée), le triangleABC est équilatéral et à nouveau l’angleA= 60°.
