A383. De belles collections de palindromes
On noteepnun entier palindrome `anchiffres, etEPnl’ensemble de tels entiers.
Cardinal de EPn
Le chiffre des unit´es (et celui de poids 10n−1) ´evolue de 1 `a 9 (pas 0).
Ceux de poids10j (et ceux de poids10n−j), ´evoluent de 0 `a 9 pour n >2et 1< j≤ p, avecp=dn
2e(partie enti`ere par exc`es).
Le cardinal deEPnest donc : C(n) = 9 10p−1 Exemples : p= 1 C(1) =C(2) = 9
p= 2 C(3) =C(4) = 90 p= 3 C(5) =C(6) = 900 Somme des epn
Remarque pr´eliminaire : la somme des chiffres des unit´es vaut C
9 ∗45 = 45 10p−1,
Celle des chiffres de poids fort vaut5 10n−1∗C= 0.45 10n+p. La somme des chiffres interm´ediaires de poids10j vaut C
10∗45 = 0.405 10j+p. S1 = 45, S2 = 495, S3 = 49500, S4 = 495000, S5 = 49500000, . . . A partir deS2, on a une ´evolution r´eguli`ere :
- l’ajout d’un chiffre augmenteS d’un facteur10
- le passage d’un nombre pair de chiffres au nombre impair sup´erieur augmente Cet donc aussiSd’un facteur10 suppl´ementaire.
On d´emontre facilement le 1er effet par r´ecurrence, en s´eparant les chiffres de poids fort d’une part, et l’ensemble des autres d’autre part (on ajoute `a cet ensemble une colonne de chiffres dont la somme est 9 fois plus grande; donc le nouvel ensemble est 10 fois plus grand que l’ancien).
Le 2`eme effet est ´evident.
Les questions de l’exercice
Le nombre de0deSnest : z =n+p−3. On remarque que les valeurs de z sont congrues `a0ou `a 2modulo3.
Q1 : Pour avoir17 z´eros : n= 13,p= 7.
Q2 : A l’exception du casn= 1,Sns’´ecrit495suivi dezz´eros; donc la somme des chiffres deSnest constante.
Q3 : On peut avoir2019 ou2021z´eros, mais pas2020≡1mod3
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