De belles collections de palindromes

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De belles collections de palindromes

Problème A383 de Diophante

Question 1 - Zig calcule la somme S de tous les entiers palindromes de n chiffres et constate que S se termine par 17 zéros. Déterminer l’entier n qu’il a choisi et la somme S qu’il a obtenue.

Question 2 - Démontrer que quelle que soit la valeur de n, la somme des chiffres de la somme de tous les entiers palindromes de n chiffres est une constante.

Question 3 - Existe-t-il un entier m tel que la somme de tous les entiers palindromes de m chiffres se termine par 2019 zéros ? par 2020 zéros ? par 2021 zéros ?

Solution

Avant de répondre aux questions, calculons la somme S selon les premières valeurs de n.

n = 2

P = uu où 1≤u≤9

å P = 11*å u = 11*45 = 495 n = 3

P = udu où 1≤u≤9 et 0≤d≤9

å P = åu åd (101*u + 10*d)

= åu (1010*u + 450) = 45450 + 9*450 = 49500 n = 4

P = uddu où 1≤u≤9 et 0≤d≤9

å P = åu åd (1001*u + 110*d)

= åu (10010*u + 4950) = 450450 + 9*4950 = 495000 n = 5

P = udcdu où 1≤u≤9 et 0≤d≤9 et 0≤c≤9

å P = åu åd åc (10001*u + 1010*d + 100*c) = åu åd (100010*u + 10100*d + 4500)

= åu (1000100*u + 454500 + 45000) = åu (1000100*u + 499500) = 45004500 + 9*499500 = 49500000

n = 6

P = udccdu où 1≤u≤9 et 0≤d≤9 et 0≤c≤9

å P = åu åd åc (100001*u + 10010*d + 1100*c) ...

= åu (10000100*u + 499500)

= 4500045000 + 9*49995000 = 495000000

(2)

En notant S(n) la somme de tous les entiers palindromes de n chiffres, il apparaît que S(n+2) = 1000*S(n) avec S(2) = 495 et S(3) = 49500

Je laisse le plaisir au lecteur de vérifer que :

si n = 2*k alors S(n) s’écrit 495 suivi de 3*(k-1) zéros sinon n = 2*k + 1 alors S(n) s’écrit 495 suivi de 3*k-1 zéros Réponse à la question 1 : n = 13 avec k = 6

Réponse à la question 2 : la somme des chiffres de S(n) est 18, pour tout n > 1.

Réponse à la question 3 : seuls les entiers z égaux modulo 3 à 0 ou 2 correspondent à un nombre de zéros possibles. Ainsi S(1344) se termine par 2019 zéros et S(1345) se termine par 2021 zéros.