L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚5
In´ equations, valeur absolue, sym´ etries de courbes
Exercice 60 : R´esoudre dansRles in´equations suivantes.
(a) (x−1)2<1 (b) x+ 1
x−1 < x2+x−1 (c) x+ 2 x <4 (d) x2−4x−5
−x2+ 2x−1 ≥0 (e) x+ 1
x > x−1
2x (f) −1<x−2 x+ 3 <2
(g) x
x−2−2≥−x+ 3
x+ 1 (h) 1
1 + 1 x
≤1−1
x (i) 2−x <√
x2−5x+ 4
Exercice 61 : Soita∈R. R´esoudre dans Rl’in´equation x
x−a− x
x+a < 2a2 x2−a2.
Exercice 62 : R´esoudre les syst`emes d’in´equations suivants dansR.
(S1) :
x x−1 <4
3x x+ 1 <2
(S2) :
x2−x−2 3x−3 >0
−x2−x+ 2 x <0
Exercice 63 : Soita, b, ctrois r´eels positifs.
1. Montrer que : (a+b+c)[(a−b)2+ (a−c)2+ (b−c)2] = 2(a3+b3+c3−3abc).
2. En d´eduire que sia, b, cne sont pas tous les trois ´egaux, alorsa3+b3+c3>3abc.
3. Prouver quea3+b3+c3= 3abc⇐⇒a=b=c.
Exercice 64 : Montrer que :
∀(a, b)∈R2 (a+b)2≤2(a2+b2).
⋆ Exercice 65 1. Montrer que :
∀(a, b)∈R2 a+b≤ 1
2+a2+b2. 2. En d´eduire que :
∀(a, b)∈R2 a+b <(1 +a2)(1 +b2).
⋆ Exercice 66 : Montrer que :
∀(a, b, c)∈R3 (a2+ 1)(b2+ 1)(c2+ 1)≥8abc.
1
Exercice 67 : On donne la repr´esentation graphique d’une fonctionf d´efinie sur l’intervalle [−2,5].
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
Cf
[
•
•
•
1. Donner une expression (≪formule≫) def(x).
(a) R´esoudre alg´ebriquement l’´equation et l’in´equation suivantes.
a) f(x) = 3 b) f(x)>3.
Retrouver graphiquement les r´esultats obtenus.
(b) Discuter suivant les valeurs dem∈Rdu nombre de solutions de l’´equationf(x) =m.
Exercice 68 : On consid`ere la fonctionf d´efinie sur [−3,6] par f(x) =
1 2x+ 1
− |2−x|.
1. Donner une expression de f(x) sans valeur absolue, en ´ecrivant l’intervalle [−3,6] comme une r´eunion de sous-intervalles judicieusement choisis.
2. Repr´esenter graphiquementf.
3. R´esoudre graphiquement, puis par le calcul,f(x) = 1.
4. R´esoudre graphiquement, puis par le calcul, l’´equation et l’in´equation suivantes.
a) f(x) = 1
2x−2 b) f(x)< 1 2x−2.
Exercice 69 : Pour toutx∈R, on posef(x) =|x−3|+ 2|x−5|+ 3.
1. Exprimerf(x) sans valeur absolue, `a l’aide d’un tableau.
2. R´esoudre les ´equations et in´equations suivantes.
(a) f(x) = 16 (b) f(x)≤17 (c) f(x)<17 (d) f(x) =−3 (e) f(x) = 2 (f) f(x)≤ 5
2
Dans les trois exercices suivants, on cherche un intervalle sur lequel on est certain que la condition indiqu´ee est v´erifi´ee. On ne cherche pas ≪le≫ meilleur intervalle possible (si tant est que ceci ait un sens). On travaillera donc toujours par condition suffisante.
Exercice 70
1. Trouver α∈R+∗ tel que :
∀x∈]3−α,3 +α[ 4.9< x+ 2<5.1. 2
2. En d´eduire un intervalleI de centre 3 tel que :
∀x∈ I |x2−x−6|<0.001.
3. Plus g´en´eralement, ´etant donn´e un nombre strictement positifε, trouverα∈R+∗ (d´ependant bien sˆur de ε) tel que :
∀x∈]3−α,3 +α[ |x2−x−6|< ε .
Exercice 71
1. Donner un encadrement de 1
x+ 3 pour x∈]−5.01,−4.99[.
2. ´Etant donn´e un nombre strictement positifε, trouverα∈R+∗ (d´ependant bien sˆur deε) tel que :
∀x∈]−5−α,−5 +α[
x+ 5 x+ 3
< ε .
⋆ Exercice 72 : : ´Etant donn´e un nombre strictement positifε, trouverα∈R+∗ (d´ependant bien sˆur deε) tel que :
∀x∈]2−α,2 +α[
x2−4 < ε .
Exercice 73 : Montrer que :
∀(x, y)∈R2 ⌊x⌋+⌊y⌋ ≤ ⌊x+y⌋ ≤ ⌊x⌋+⌊y⌋+ 1.
Exercice 74 : R´esoudre graphiquement, puis alg´ebriquement, l’´equation :
⌊x⌋=5 2 −x sur l’intervalle [0,3].
Exercice 75 : SoitR= (O,−→i ,−→j) un rep`ere du plan. Sif est une fonction, on noteCf sa courbe repr´esentative dansR.
1. Soitf1:R→R,x7→x2−4. Montrer queCf1 admet un axe de sym´etrie que l’on pr´ecisera.
2. Soitf2:R→R,x7→(x−3)2+ 2. Montrer queCf2 admet un axe de sym´etrie que l’on pr´ecisera.
3. Plus g´en´eralement, soient a, b, c∈ Ravec a6= 0 et soitf3:R→ R, x7→ax2+bx+c. Montrer que Cf3 admet un axe de sym´etrie que l’on pr´ecisera.
Exercice 76 : SoitR= (O,−→ i ,−→
j) un rep`ere du plan. Sif est une fonction, on noteCf sa courbe repr´esentative dansR.
1. Soitf1:R∗→R,x7→ x+ 1
x . Montrer que Cf1 admet un centre de sym´etrie que l’on pr´ecisera.
2. Soitf2:R\ {−2} →R,x7→ x−1
x+ 2. Montrer queCf2 admet un centre de sym´etrie que l’on pr´ecisera.
3. Plus g´en´eralement, soient a, b, c, d∈Ravecc6= 0 et soit f3:R\
−d c
→R,x7→ ax+b
cx+d. Montrer que Cf3 admet un centre de sym´etrie que l’on pr´ecisera.
3
