Exercices d’entraînement sur la valeur absolue

Exercices d’entraînement sur la valeur absolue

1 Résoudre dans  l’équation | x + 1 | =  + 2.

2 Résoudre dans  les équations suivantes :

2 x   x 1 0 (1) ; 3 x   x 4 0 (2) ; 2 1 0 2

x  x  (3) ; x²   x 1 0 (4) ; x   x 1 0 (5).

Indications :

Envisager deux cas selon que x  0 ou que x < 0.

Rédiger selon le modèle ci-dessous (ne rien écrire sur cette feuille).

1^er cas : x  0

(1) est alors successivement équivalente à

…..

…..

…..

2^e cas : x < 0

(1) est alors successivement équivalente à

…..

…..

…..

Conclusion :

L’ensemble des solutions de (1) dans  est S₁ = ……….

3 Résoudre dans  l’inéquation | x | – 2  3.

4 Tracer la représentation graphique de la fonction f : x  | x – 4 | sur l’écran de la calculatrice graphique.

Résoudre alors graphiquement l’équation | x – 4 | = 3.

Réponses

1 L’ensemble des solutions de l’équation est S = { + 1 ; –  – 3}.

2 ₁ 1

1 ;3

S  

  

  ; S2  





  

  ; S₄   ; ₅ 1

S  2 

 

 

3 On doit isoler la valeur absolue dans le membre de gauche.

Solutions détaillées

1 Résolvons dans  l’équation | x + 1 | =  + 2.

Cette équations est successivement équivalente à : x + 1 =  + 2 ou x + 1 = –  – 2

x =  + 1 ou x = –  – 3

Soit S l’ensemble des solutions de l’équation.

S = { + 1 ; –  – 3}

2 Résolution d’équations avec valeur absolues

Ces équations ne sont pas du type de celles résolues en classe donc on est obligé de « faire des cas ».

 Résolvons dans  l’équation 2 x   x 1 0 (1).

1^er cas : x  0

Dans _, (1) est successivement équivalente à :

2x + x – 1 = 0 3x = 1

1 x3

2^e cas : x < 0

Dans ^*_, (1) est successivement équivalente à :

– 2x + x – 1 = 0 – x = 1

x = – 1

Conclusion :

L’ensemble des solutions de (1) dans  est ₁ 1 1 ;3

S  

  

 .

 Résolvons dans  l’équation 3 x   x 4 0 (2).

1^er cas : x  0

Dans _, (2) est successivement équivalente à :

3x + x – 4 = 0 4x = 4

x = 1

2^e cas : x < 0

Dans ^*_, (2) est successivement équivalente à :

– 3x + x – 4 = 0 – 2x = 4

x = – 2

Conclusion :

L’ensemble des solutions de (2) dans  est S2  





 Résolvons dans  l’équation 2 1 0 2

x  x  (3).

1^er cas : x  0

Dans _, (3) est successivement équivalente à :

2 1 0

2

x x 

4 2

2 2 2 0

x x

   5x = – 2

2

x  5 impossible car x  0

2^e cas : x < 0

Dans ^*_, (3) est successivement équivalente à :

2 1 0

2

x x

   

4 2

2 2 2 0

x x

    3x = – 2

2

x  3 qui convient Conclusion :

L’ensemble des solutions de (4) dans  est ₄ 2

S  3 

  

 .

 Résolvons dans  l’équation x   x 1 0 (5).

1^er cas : x  0

Dans _, (5) est successivement équivalente à :

x – x – 1 = 0 impossible

2^e cas : x < 0

Dans ^*_, (5) est successivement équivalente à :

– x – x – 1 = 0 –2x = 1

1

x  2 qui convient Conclusion :

L’ensemble des solutions de (5) dans  est ₅ 1

S  2 

 

 .