L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2011-2012
D. Blottière Mathématiques
Devoir maison n˚2
Pour le mardi 3 janvier.
Exercice 1 : Calcul d’une somme télescopique
1. Montrer qu’il existe un unique couple(a, b)∈R2tel que :
∀x∈R\
−1 2,1
2
1
4x2−1 = a
2x−1 + b 2x+ 1.
On donnera les valeurs deaet b.
2. En déduire une expression de la sommeSn =
n
X
k=1
1
4k2−1 sans symboleX
(et sans pointillé...) pour tout n∈N∗.
Exercice 2 : Encadrement de (1 + x)
npour x ∈] − 1, 1[ et n ∈ N
≥21. Soitx∈R+. Montrer par récurrence que pour tout entiernsupérieur ou égal à 2 : (1 +x)n≥1 +nx (inégalité de Bernoulli).
2. Soitx∈Ret soitnun entier supérieur ou égal à 2. Montrer que :
(1 +x)n−(1 +nx) =
n
X
k=2
n k
xk.
3. Soitx∈R+et soitnun entier supérieur ou égal à 2. Déduire de la question 2. une nouvelle démonstration de l’inégalité de Bernoulli :
(1 +x)n ≥1 +nx.
4. Soit désormaisx∈]−1,1[et soitnun entier supérieur ou égal à 2.
(a) Déduire de la question 2. que :
|(1 +x)n−(1 +nx)| ≤x2
n
X
k=2
n k
(b) Calculer la valeur de la somme
n
X
k=2
n k
.
(c) Déduire des questions (a) et (b) que :
|(1 +x)n−(1 +nx)| ≤2nx2
(d) En appliquant le résultat de la question (c), donner un encadrement de(1,005)4.
Exercice 3 : Résolution d’une équation polynomiale de degré 5
Vérifier que −1 est racine du polynômeP défini par :
P = 4X5+ 4X4−8X3−8X2+ 3X+ 3 puis déterminer toutes les racines deP.
1
Exercice 4 : Étude de quelques propriétés d’une fonction homographique
Soitf: R\ {−2} →R\ {1}; x7→ x−2 x+ 2.
1. Montrer quef est bijective et calculer sa bijection réciproquef−1.
2. Démontrer que la courbeCf représentative def dans un repère du plan présente une symétrie centrale.
On précisera les coordonnées de ce centre de symétrie.
Exercice 5 : Résolution graphique et analytique d’une équation
Soitf la fonction donnée ci-dessous par sa courbe représentativeCf dans un repère orthonormé du plan.
1 2 3 4 5 6
−1
−2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−1
Cf
b b
1. Quel est le domaine de définitionDf def? 2. Résoudre graphiquement l’équationf(x) = 0.
3. On se propose ici d’écrire analytiquement (i.e. à l’aide d’une formule)f(x)pour toutx∈ Df, en séparant plusieurs cas.
(a) Déterminer trois intervallesI1, I2, I3 vérifiant les trois conditions :
(i) les intervallesI1, I2, I3 sont deux à deux disjoints (i.e. d’intersection vide) ; (ii) I1 ∪ I2 ∪ I3=Df;
(iii) la restriction def à chacun des intervallesI1, I2, I3 est affine.
(b) Proposer une écriture analytique (i.e. à l’aide d’une formule) def(x)pour toutx∈ Df en séparant les casx∈I1,x∈I2 et x∈I3.
4. On souhaite à présent résoudre analytiquement (i.e. par le calcul) l’équationf(x) = 0.
(a) Pour chaquek∈ {1,2,3}, déterminer l’ensembleSk des solutions de l’équationf(x) = 0appartenant à l’intervalleIk.
(b) SoitSl’ensemble de toutes les solutions de l’équationf(x) = 0appartenant àDf. Quelle relation lie S1,S2,S3 etS?
(c) Déduire des questions (a) et (b) l’ensembleS.
5. Comparer les réponses obtenues aux questions 2. et 4.(c).
^ ^ ^
Bonnes vacances
^ ^ ^2
