Exercice 1 (Questions de cours). On souhaite montrer que SO

Universit´ e de Bourgogne Partiel du 7 novembre 2017

G´ eom´ etrie – Master 1 PMG Temps disponible : 2 heures

Toutes les r´ eponses doivent ˆ etre justifi´ ees. Il est possible d’admettre la r´ eponse ` a une question afin de r´ epondre aux questions suivantes.

Exercice 1 (Questions de cours). On souhaite montrer que SO

(R) est un groupe simple.

a) D´ efinir groupe simple. Dire pour quels n ∈ N le groupe Z/ n Z est simple.

b) Justifier que M ∈ SO

(R) est une rotation d’angle ϑ ssi tr ( M ) = 1 + 2 cos ( ϑ ) . c) Soit N ∈ SO

(R) ∖ {1

} . Justifier que Φ ( M ) = tr ( M N M

N

) d´ efinit une appli-

cation Φ ∶ SO

(R) → [ a, 3 ] pour un certain a ∈ [− 1, 3 [ .

d) Soit H ≠ {1

} sous groupe normal de SO

(R) et 1

≠ N ∈ H. Montrer qu’il existe n ∈ N et M

∈ SO

(R) tel que M

N M

N

∈ H est une rotation d’angle π / n.

e) Conclure que H contient un renversement puis justifier que H = SO

(R) .

Exercice 2 (Questions rapides). Soit D, D

droites d’un plan euclidien affine dirig´ e par E. Soit σ et σ

r´ eflexions orthogonales d’axe D, D

.

1. Montrer que, si D et D

sont parall` eles, σ ○ σ

est une translation. De quel vecteur ? 2. Montrer que autrement σ ○ σ

est une rotation. De quel centre ? De quel angle ? 3. Soit #— u ∈ E. Montrer que, si #— u ⊥ D, σ ○ t

est une r´ eflexion d’axe parall` ele ` a D.

4. Montrer que autrement σ ○ t

est la composition d’une r´ eflexion τ et d’une trans- lation de direction parall` ele ` a l’axe de r´ eflexion de τ . Quel est cet axe ?

Exercice 3. Soit K un corps (commutatif) et consid´ erons la structure affine canonique de K

. Soit ϕ ∶ K

→ K

et ψ, ξ ∶ K

→ K

d´ efinies par :

ϕ ( y

, y

) = ( y

+ 2y

+ 1, 2y

+ 3y

− 2, 3y

+ 4y

+ 3, 4y

+ 5y

− 4 ) , ψ ( x

, x

, x

, x

) = ( x

− x

− 2, x

− x

+ x

+ 1 ) ,

ξ ( x

, x

, x

, x

) = ( x

− x

− 2, x

− x

+ 1 ) .

Soit G = ξ

({( 5, 5 )}) et F = Im ( ϕ ) .

2

1. Justifier que F , G sont des sous espaces affines de K

.

2. Calculer dim (F) et dim (G) puis les directions de F et G . Montrer F ∩ G = ∅ . 3. Soit D ⊂ K

la droite affine d’´ equation a

y

+ a

y

+ a

= 0 et F

l’image de ϕ ∣

.

Dire ` a quelle condition sur ( a

, a

, a

) on a aff (F

, G) = K

. 4. Quel est le rang de # —

ϕ ○ ψ ? Est-ce qu’il d´ epend de la caract´ eristique de K ? 5. Dire si ψ ○ ϕ et ξ ○ ϕ sont des bijections affines ; autrement en trouver l’image.

6. Justifier que ξ ○ ϕ poss` ede un unique point fixe puis ´ etudier les points fixes de ψ ○ ϕ.

Exercice 4. Munissons M

(R) de la norme ∥ M ∥

= tr ( M

M ) . On veut montrer : inf {∥ M ∥∣ M ∈ SL

(R)} = √

n.

1. D´ eduire de la densit´ e de GL

(R) dans M

(R) et de la d´ ecomposition polaire que M ∈ M

(R) s’´ ecrit M = P S avec P ∈ O

(R) et S sym´ etrique ` a valeur propres positives ou nulles.

2. Montrer que ∥ M ∥

= ∑

λ

, o` u λ

, . . . , λ

sont les valeurs propres de S.

3. Soit µ = ∏

λ

. Montrer µ = det ( S

) = det ( M )

.

4. Utiliser l’in´ egalit´ e entre moyennes g´ eom´ etrique et arithm´ etique pour d´ eduire que

∥ M ∥

≥ nµ

puis que ∥ M ∥ ≥ √

n ∣ det ( M )∣

. 5. D´ eduire que, si M ∈ SL

(R) , alors ∥ M ∥ ≥ √

n puis calculer ∥ M ∥ si M ∈ SL

(R) ∩

O

(R) . Conclure.