Exercice 1. Questions de cours. (4 points)

UPMC - L1 2010-2011 LM125

Contrˆ ole continu num´ ero 1 (1 heure)

Les r´ eponses aux exercices doivent ˆ etre clairement r´ edig´ ees. Le d´ etail des calculs doit apparaˆıtre sur la copie. La pr´ esentation doit ˆ etre la plus soign´ ee possible. Le barˆ eme donn´ e pour chaque exercice est indicatif, le correcteur se garde la possibilit´ e de le modifier.

Exercice 1. Questions de cours. (4 points)

Ces questions portent sur des d´ efinitions, le correcteur attend de l’´ etudiant une rigueur irr´ eprochable.

Par exemple, toutes les notations doivent ˆ etre introduites.

– Donner la d´ efinition du produit matriciel (pour des matrices non n´ ecessairement carr´ ees).

– Prouver l’unicit´ e de la matrice inverse d’une matrice carr´ ee inversible.

Exercice 2. (6 points)

Soient a un param` etre r´ eel et S

le syst` eme suivant :



 



 



2x + z + (a − 4)t = 5

−x + y + 2t = 4 x − y + (1 − a)z − 2t = −1 3x − y + (1 − a)z − 6t = 1.

Ecrire la matrice A et la matrice augment´ ee B associ´ ees au syst` eme S

. Appliquer l’algorithme de Gauss, puis r´ esoudre S

en discutant selon les valeurs de a. Dans quels cas A est-elle inversible ? Calculer A

le cas ´ ech´ eant.

Exercice 3. (3 points)

Soit A = (a

)

∈ M

( R ). On d´ efinit la trace de A, not´ ee tr(A), par la formule tr(A) = P

i=1

a

.

On d´ efinit ´ egalement la matrice transpos´ ee que l’on notera

A ∈ M

(R), par la formule

A

i,j

= a

pour tout 1 ≤ i, j ≤ n.

Montrer que si tr A(

A)

= 0 alors A = 0.

Exercice 4. (4 points) On consid` ere la matrice A =





−1 0 0

−1 −1 1

1 0 −1



.

1. V´ erifier que (A + I

)

= 0.

2. D´ eterminer A

pour tout entier n positif.

3. Montrer, ` a l’aide de ce qui pr´ ec` ede, que A est inversible, et donner sa matrice inverse.

Exercice 5. (3 points)

Dans chacun des cas suivants, d´ eterminer si F est un sous-espace vectoriel du R-espace vectoriel E.

– E = R

, F = {(x, y) ∈ R

: xy = 0}.

– E = M

(R), F = l’ensemble des matrices d’ordre n triangulaires sup´ erieures.

– E = R

, F = {(x, y, z) ∈ R

: z = 0 et x + y = 0}.

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