G247 : Le mec(c)ano de la géométrie du triangle
Mon petits-fils a une belle collection de tiges métalliques Meccano de longueurs entières 2,3,4,...n < 100 cm qui lui permet de construire la Tour Eiffel en miniature. Avec les n-1 tiges de longueurs toutes
différentes, il sait construire N triangles scalènes distincts (c’est à dire non isométriques). Je complète sa collection en lui offrant k tiges de longueurs entières de n + 1 à n + k cm. S’il ne peut pas confectionner le modèle réduit de la tour Burj Dubaï, il parvient à construire 2N triangles scalènes distincts. Déterminer n et k.
Le nombre N=f(n) de triangles que l’on peut construire avec les n-1 tiges de 2 à n est égal au nombre de façons de choisir 3 tiges parmi les n-1, qui respectent l’inégalité triangulaire: nous parlerons alors de triplet triangulaire.
Si le plus grand élément du triplet triangulaire est 2p, on peut choisir de 2p-3 façons le plus petit élément, si l’élément médian est 2p-1, de 2p-5 façons si l’élément médian est 2p-2, etc... Soit un nombre total de triplets triangulaire de plus grand élément 2p égal à t(2p)=1+3+...+(2p-3)=(p-1)2. De même, le nombre de triplets triangulaires de plus grand élément 2p+1 est égal à t(2p+1)=2+4+...+2p-2 =p(p-1).
Pour n=2p, nous avons alors N=f(2p)=t(4)+t(5)+...+t(2p)=1+2+...+(p-1)(p-2)+(p-1)2 ; soit f(2p)=2*(1+...+(p-1)2)-(1+...+(p-1)=2p(p-1)(2p-1)/6-p(p-1)/2=p(p-1)(4p-5)/6
De même f(2p+1)=f(2p)+t(2p+1)=p(p-1)(4p+1)/6
Le plus petit nombre n, pour lequel il existe k tel que f(n+k)=2f(n) est n=40, avec k=10 : f(40)= 4750, et f(50)=9500 (puisque 25*24*95=2*(20*19*75) ); la solution suivante est obtenue pour n=90, k=23, f(90)=57750, et f(113)=115500 (puisque
56*55*225=2*(45*44*175) )
